Մերգելյանի թեորեմ, կոմպլեքս անալիզի հայտնի արդյունք՝ ապացուցված հայ մաթեմատիկոս Սերգեյ Մերգելյանի կողմից 1951 թվականին։ Այն պնդում է հետևյալը.

Դիցուք, KC կոմպլեքս հարթության կոմպակտ ենթաբազմություն է այնպես, որ CK -ն կապակցված է, այսինքն՝ չենք կարող այն տրոհել երկու ոչ դատարկ ենթաբազմությունների այնպես, որ դրանցից յուրաքանչյուրը ընդհանուր կետ չունենա մյուս ենթաբազմության փակման հետ։ Այդ դեպքում՝ ցանկացած f : KC անընդհատ ֆունկցիա, որի նեղացումը int(K)-ի վրա հոլոմորֆ է, կարելի է K-ի վրա հավասարաչափ մոտարկել բազմանդամներով։ Այստեղ int(K)-ն K ենթաբազմության ներքին տիրույթն է։

Մերգելյանի թեորեմը Վայերշտրասի մոտարկման թեորեմի և Ռունգեի թեորեմի վերջնական կատարելագործումն ու ընդհանրացումն է։ Այն տալիս է բազմանդամներով մոտարկման դասական խնդրի բարդ լուծումը։

Այն դեպքում, երբ CK -ն կապակցված չէ, նախնական մոտարկման խնդրում բազմանդամները պետք է փոխարինվեն ռացիոնալ ֆունկցիաներով։ Ռացիոնալ մոտարկման խնդրի լուծման կարևոր քայլը ևս առաջարկվել է Մերգելյանի կողմից 1952 թվականին։ Ռացիոնալ մոտարկման վերաբերյալ հետագա խորքային քայլերը հիմնականում արվել են Ա․ Գ․ Վիտուշկինի կողմից։

Վայերշտրասի և Ռունգեի թեորեմները առաջարկվել են 1885 թ.-ին, միչդեռ Մերգելյանի թեորեմը թվագրվում է 1951 թ.-ին։ Ժամանակային այս հսկայական տարբերությունը զարմանալի չէ, քանի որ Մերգելյանի թեորեմի ապացույցը հիմնված է հզոր մեթոդի վրա, որը ստեղծել է Մերգելյանը։ Վայերշտրասից և Ռունգեից հետո մի շարք մաթեմատիկոսներ (մասնավորապես ՈՒոլշը, Կելդիշը և Լավրենտևը) նույնպես աշխատել են նույն խնդրի վրա։ Մերգելյանի առաջարկած լուծումը կառուցողական է և մինչ օրս մնում է միակը իր տեսակի մեջ։

ՀղումներԽմբագրել

  • Lennart Carleson, Mergelyan's theorem on uniform polynomial approximation, Math. Scand., V. 15, (1964) 167–175.
  • Dieter Gaier, Lectures on Complex Approximation, Birkhäuser Boston, Inc. (1987), ISBN 0-8176-3147-X.
  • W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw–Hill Book Co., New York, (1987), ISBN 0-07-054234-1.
  • A. G. Vitushkin, Half a century as one day, Mathematical events of the twentieth century, 449–473, Springer, Berlin, (2006), ISBN 3-540-23235-4/hbk.

Արտաքին հղումներԽմբագրել