Մասնակից:Grqamol/Ավազարկղ

Բելի թիվ` n էլեմենտանոց բազմության բոլոր չկարգավորված տրոհումների թիվն է՝ նշանակված $B_{n}$-ով։ Ըստ սահմանման ենթադրում են $B_{0}=1$։

$n=0,1,2,\dots$ համար $B_{n}$-ի արժեքները կազմում են հաջորդականություն։

1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21 147, 115 975, …

Բելի թվային շարքը իրենից ներկայացնում է n համարակալված գնդակների n նույնական տուփերում տեղավորելու եղանակների քանակը։

Բացի այդ Բելի թվերը հնարավորություն են տալիս իմանալ, թե n պարզ արտադրիչներից կազմված բաղադրյալ թիվը քանի եղանակով կարելի է արտադրիչների վերլուծել։

Մաթեմատիկական հատկություններ

Բելի թվերը կարելի է հաշվել Սթիրլինգի երկրորդ սեռի թվերի գումարի տեսքով։

$B_{n}=\sum _{m=0}^{n}S(n,m)$,

ինչպես նաև ներկայացնել ռեկուրենտ բանաձևի տեսքով՝

$B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{k}$.

Բելի թվերի համար ճշմարիտ է նաև Դոբինսկու բանաձևը՝

$B_{n}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}$.

Եթե $p$-ը պարզ է, ապա ճշմարիտ է Տուշարի համեմատությունը՝

$B_{n+p}\equiv B_{n}+B_{n+1}{\pmod {p}}$

և ավելի ընդհանրական՝

$B_{n+p^{m}}\equiv mB_{n}+B_{n+1}{\pmod {p}}$.

Բելի թվերի էքսպոնենցիալ ածանցվող ֆունկցիան ունի հետևյալ տեսքը՝

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}=e^{e^{x}-1}$.

Պատմություն

Բելի թվերն անվանվել են ի պատիվ Էրիկ Թեմփլ Բելի, ով գրել է նրանց մասին հազար ինը հարյուր երեսունվեց թվականին, հիմք ընդունելով հազար ինը հարյուր երեսունչորս թվականի հոդվածը, որում ուսումնասիրում էր Բելի պոլինոմյալը։ Բելը չի պնդել, որ հայտնաբերել է այս թվերը։ Իր հազար ինը հարյուր երեսունութ թվականի հոդվածում գրել է, որ Բելի թվերը «հաճախակի հետազոտված են» և «բացահայտվել են շատ անգամներ»։ Բելը զետեղում է նախկինում արված որոշ հրապարակումներ այս թվերի վրա, սկսած Դոբինսկիից(հազար ութ հարյուր յոթանասունյոթ թվական), որը տալիս է Դոբինսկու բանաձևը Բելի թվերի համար։ Բելն այս թվերն անվանել է «էքսպոզիցիոն թվեր»։ «Բելի թվեր» և $B_{n}$ հապավումը վերջիններիս տրվել են Բեքերի և Ռիորդանի կողմից(հազար ինը հարյուր քառասունութ թվական)։

Գրականություն

• Ламберто Гарсия дель Сид. Замечательные числа : Ноль, 666 и другие бестии. — М. : «Де Агостини», 2014. — Т. 21. — 160 с. — (Мир математики: в 40 т.). — ББК 22.1. — Կաղապար:УДК. — ISBN 978-5-9774-0682-6.
• Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. — М.: Высшая школа, 2006. — 392 с. — ISBN 5-06-005683-X

Б Категория:Комбинаторика *