Մասնակից:Flora Karapetyan/Ավազարկղ8

Վերևինը Ռիմանի ինտեգրումն է, իսկ ներքևինը՝ Լեբեգի

Интеграл Лебе́га — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций.

Լեբեսգի ինտեգրալը Ռիմանի ինտեգրալի ընդհանրացումն է ֆունկցիաների ավելի լայն դասի:

Все функции, определённые на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла равны. Однако существует большой класс функций, определённых на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. Также интеграл Лебега может иметь смысл для функций, заданных на произвольных множествах (интеграл Фреше).

Բոլոր թվային տողի և Ռիմանի ինտեգրվող վերջավոր հատվածի վրա սահմանված բոլոր գործառույթները նույնպես Լեբեսգի ինտեգրալելի են, և այս դեպքում երկու ինտեգրալներն էլ հավասար են: Այնուամենայնիվ, գոյություն ունի գործառույթների մի մեծ դաս, որը սահմանվում է ընդմիջումով և Լեբեսգը ինտեգրելի է, բայց Ռիմանն անքակտելի: Բացի այդ, Lebesgue ինտեգրալը կարող է իմաստ ունենալ կամայական բազմությունների վրա սահմանված գործառույթների համար (Frechet integral):

Идея построения интеграла Лебега состоит в том, что вместо разбиения области определения подынтегральной функции на части и составления потом интегральной суммы из значений функции на этих частях, на интервалы разбивают её область значений, а затем суммируют с соответствующими весами меры прообразов этих интервалов.

Լեբեսգիега ինտեգրալի կառուցման գաղափարը կայանում է նրանում, որ ինտեգրանի սահմանման տիրույթը մասերի բաժանելու և այդ մասերի ֆունկցիայի արժեքներից անբաժանելի գումար կազմելու փոխարեն, դրա արժեքների շրջանակը բաժանել ընդմիջումների: , իսկ հետո ամփոփել այս ընդմիջումների հակադարձ պատկերների չափումները համապատասխան կշիռների հետ:

ՍահմանումОпределение

Интеграл Лебега определяют пошагово, переходя от более простых функций к сложным. Будем считать, что дано пространство с мерой $(X,{\mathcal {F}},\mu )$, и на нём определена измеримая функция $f\colon (X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$.

Lebesgue ինտեգրալը որոշվում է քայլ առ քայլ ՝ ավելի պարզ գործառույթներից անցնելով ավելի բարդի: Ենթադրենք, որ մեզ չափով տարածք է տրվում {\ displaystyle (X, {\ mathcal {F}}, \ mu)} , և դրա վրա սահմանվում է չափելի գործառույթ {\ displaystyle f \ colon (X, {\ mathcal {F}}) \ դեպի (\ mathbb {R}, {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}))}

Սահմանում 1․ Определение 1. Пусть $f$ — индикатор некоторого измеримого множества, то есть $f(x)=\mathbf {1} _{A}(x)$, где $A\in {\mathcal {F}}$. Тогда интеграл Лебега функции $f$ по определению:

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\equiv \int \limits _{X}f\,d\mu =\mu (A).$

Թող լինի $f$ որոշ չափելի հավաքածուի ցուցիչ, այսինքն$f(x)=\mathbf {1} _{A}(x)$, որտեղ $A\in {\mathcal {F}}$ ։Այնուհետև գործառույթի Lebesgue ինտեգրալը $f$ ըստ սահմանման՝

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\equiv \int \limits _{X}f\,d\mu =\mu (A)$։

Սահմանում 2․Определение 2. Пусть $f$ — простая функция, то есть $f(x)=\sum \limits _{i=1}^{n}f_{i}\,\mathbf {1} _{F_{i}}(x)$, где $\{f_{i}\}_{i=1}^{n}\subset \mathbb {R}$, а $\{F_{i}\}_{i=1}^{n}\subset {\mathcal {F}}$ — конечное разбиение $X$ на измеримые множества. Тогда

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\sum \limits _{i=1}^{n}f_{i}\,\mu (F_{i})$։

Թող լինի {\ displaystyle f} Պարզ գործառույթ է, այսինքն {\ displaystyle f (x) = \ գումար \ սահմանափակումներ _ {i = 1} ^ {n} f_ {i} \, \ mathbf {1} _ {F_ {i}} (x)} , որտեղ {\ displaystyle \ {f_ {i} \} _ {i = 1} ^ {n} \ ենթախումբ \ mathbb {R}} , բայց {\ displaystyle \ {F_ {i} \} _ {i = 1} ^ {n} \ ենթախումբ {\ mathcal {F}}} - վերջնական բաժանում {\ displaystyle X} չափելի հավաքածուների մեջ: Ապա

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\sum \limits _{i=1}^{n}f_{i}\,\mu (F_{i})$։

Սահմանում 3. Определение 3. Пусть теперь $f$ — неотрицательная функция, то есть $f(x)\geqslant 0\;\forall x\in X$. Рассмотрим все простые функции $\{f_{s}\}$, такие что $f_{s}(x)\leqslant f(x)\;\forall x\in X$. Обозначим это семейство ${\mathcal {P}}_{f}$. Для каждой функции из этого семейства уже определён интеграл Лебега. Тогда интеграл от $f$ задаётся формулой:

Թող հիմա {\ displaystyle f} Ոչ բացասական գործառույթ է, այսինքն {\ displaystyle f (x) \ geqslant 0 \; \ forall x \ in X} ... Եկեք դիտարկենք բոլոր պարզ գործառույթները {\ displaystyle \ {f_ {s} \}} այնպիսին է, որ {\ displaystyle f_ {s} (x) \ leqslant f (x) \; \ forall x \ in X} ... Մենք նշում ենք այս ընտանիքը {\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {f}} ... Այս ընտանիքի յուրաքանչյուր գործառույթի համար Lebesgue- ի ինտեգրալն արդեն սահմանվել է: Այնուհետեւ ինտեգրալը {\ displaystyle f} տրված է բանաձևով.

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\sup \left\{\int \limits _{X}f_{s}(x)\,\mu (dx)\;\vert \;f_{s}\in {\mathcal {P}}_{f}\right\}$

Наконец, если функция $f$ произвольного знака, то её можно представить в виде разности двух неотрицательных функций. Действительно, легко видеть, что:

Ի վերջո, եթե գործառույթը {\ displaystyle f} կամայական նշան, ապա այն կարող է ներկայացվել որպես երկու ոչ բացասական գործառույթների տարբերություն: Իրոք, հեշտ է տեսնել, որ.

$f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x),$

где

$f^{+}(x)=\max(f(x),0),\;f^{-}(x)=-\min(0,f(x))$։

Սահմանում 4.Определение 4. Пусть $f$ — произвольная измеримая функция. Тогда её интеграл задаётся формулой:

Թող լինի {\ displaystyle f} Կամայական չափելի գործառույթ է: Այնուհետև դրա ինտեգրալը տրվում է բանաձևով.

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f^{+}(x)\,\mu (dx)-\int \limits _{X}f^{-}(x)\,\mu (dx)$։

Սահմանում 5.Определение 5. Пусть наконец $A\in {\mathcal {F}}$ произвольное измеримое множество. Тогда по определению

Թող վերջապես {\ displaystyle A \ in {\ mathcal {F}}} կամայական չափելի հավաքածու: Հետո ըստ սահմանման

$\int \limits _{A}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f(x)\,\mathbf {1} _{A}(x)\,\mu (dx)$,

где $\mathbf {1} _{A}(x)$ — индикатор-функция множества $A$.

որտեղ {\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A} (x)} - ցուցանիշների սահմանման գործառույթ {\ ցուցադրման ոճ A}

ՕրինակПример

Рассмотрим функцию Дирихле $f(x)\equiv \chi _{\mathbb {Q} _{[0,1]}}(x)$, заданную на $([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),m)$, где ${\mathcal {B}}([0,1])$ — борелевская σ-алгебра на $[0,1]$, а $m$ — мера Лебега. Эта функция принимает значение $1$ в рациональных точках и $0$ в иррациональных. Легко увидеть, что $f$ не интегрируема в смысле Римана. Однако, она является простой функцией на пространстве с конечной мерой, ибо принимает только два значения, а потому её интеграл Лебега определён и равняется:

$\int \limits _{[0,1]}f(x)\,m(dx)=1\cdot m(\mathbb {Q} _{[0,1]})+0\cdot m([0,1]\setminus \mathbb {Q} _{[0,1]})=1\cdot 0+0\cdot 1=0.$

Действительно, мера отрезка $[0,1]$ равна 1, и так как множество рациональных чисел счётно, то его мера равна 0, а значит мера иррациональных чисел равна $1-0=1$.

ԴիտողություններЗамечания

• Так как $|f(x)|=f^{+}(x)+f^{-}(x)$, измеримая функция $f(x)$ интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда функция $|f(x)|$ интегрируема по Лебегу. Это свойство не выполняется в отношении интеграла Римана;
• В зависимости от выбора пространства, меры и функции, интеграл может быть конечным или бесконечным. Если интеграл функции конечен, то функция называется интегрируемой по Лебегу или суммируемой;
• Если функция определена на вероятностном пространстве $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ и измерима, то она называется случайной величиной, а её интеграл называют математическим ожиданием или средним. Случайная величина интегрируема, если она имеет конечное математическое ожидание.

ՀատկություններСвойства

• Интеграл Лебега линеен, то есть
• Լեբեսգի ինտեգրալը գծային է, այսինքն

  $\int \limits _{X}[af(x)+bg(x)]\,\mu (dx)=a\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)+b\int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$,

где $a,b\in \mathbb {R}$ — произвольные константы;

որտեղ $a,b\in \mathbb {R}$ կամայական հաստատուններ են,

• Интеграл Лебега сохраняет неравенства, то есть если $0\leqslant f(x)\leqslant g(x)$ почти всюду, $f(x)$ измерима и $g(x)$ интегрируема, то интегрируема и $f(x)$, и более того
• Լեբեսգի ինտեգրալը պահպանում է անհավասարությունները, այսինքն՝ եթե $0\leqslant f(x)\leqslant g(x)$ գրեթե ամենուր, $f(x)$ չափելի և $g(x)$ ինտեգրալ, ապա ինտեգրալելի և $f(x)$, և ավելին

  $0\leqslant \int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\leqslant \int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$;

• Интеграл Лебега не зависит от поведения функции на множестве меры нуль, то есть если $f(x)=g(x)$ почти всюду, то

  $\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$.

Լեբեգի ինտեգրալ գումարներИнтегральные суммы Лебега

Интегральными суммами Лебега для функции $f(x)$ и меры $\mu$ называются суммы вида

$S=\sum _{k=1}^{N}y_{k}\cdot \mu \{x\in X:y_{k}<f(x)\leqslant y_{k+1}\}$,

где $y_{1}<y_{2}<\dots <y_{N}$ — разбиение области значений функции $f(x)$.

Каждая такая сумма является интегралом Лебега от простой функции, аппроксимирующей функцию $f(x)$ - в каждой точке она принимает одно из значений $y_{1},y_{2},\dots ,y_{N}$ (а именно, $y_{k}$ на подмножестве $\{x\in X:y_{k}<f(x)\leqslant y_{k+1}\}$). Поэтому, если функция $f(x)$ интегрируема по Лебегу, эти суммы сходятся к её интегралу, когда $y_{1}\rightarrow -\infty$, $y_{N}\rightarrow +\infty$, и диаметр разбиения $\delta =\max\{y_{2}-y_{1},\dots ,y_{N}-y_{N-1}\}$ стремится к нулю.

Особенность интегральных сумм Лебега состоит в том, что для их вычисления не требуется вычислять значения интегрируемой функции — нужна на самом деле лишь функция распределения её значений:

$F(y)=\mu \{x\in X:f(x)\leqslant y\}$

Тогда интегральные суммы Лебега для функции $f(x)$ и меры $\mu$ становятся интегральными суммами Римана-Стилтьеса для функции $y$ и функции распределения $F(y)$:

$S=\sum _{k=1}^{N}y_{k}(F(y_{k+1})-F(y_{k}))\rightarrow \int \limits _{-\infty }^{+\infty }ydF(y)$.

Если функция распределения $F(y)$ имеет плотность: $dF(y)=\rho (y)dy$, то интегральные суммы Лебега преобразуются в интегральные суммы Римана:

$S=\sum _{k=1}^{N}y_{k}\rho (y_{k})(y_{k+1}-y_{k})\rightarrow \int \limits _{-\infty }^{+\infty }y\rho (y)dy$.

Поскольку функции распределения естественным образом возникают в теории вероятностей, статистической и квантовой физике, то и интегральные суммы Лебега фактически используются для вычисления интеграла Лебега, в основном, в приложениях этих теорий. Чаще же всего интеграл Лебега вычисляется как равный ему интеграл Римана (в тех случаях, когда последний имеет смысл).

Ֆունկցիաների հաջորդականությունների Lebesgue ինտեգրալների կոնվերգենցիանСходимость интегралов Лебега от последовательностей функций

• Теорема Леви о монотонной сходимости
• Теорема Лебега о мажорируемой сходимости
• Лемма Фату

ԳրականությունЛитература

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.

• Фролов Н. А. Теория функций действительного переменного. — 2-е. — М.: ГУПИМПР, 1961. — 173 с.

Категория:Теория вероятностей Категория:Теория меры Категория:Функциональный анализ Лебега