Մասնակից:ՍԵՐԳԵՅ/Ավազարկղ3
Լամբերտի -ֆունկցիան սահմանվում է որպես ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիա՝ կոմպլեքս թվերի համար։ Նշանակվում է կամ ։ Ցանկացած կոմպլեքս թվերի համար սահմանվում է ֆունկցիոնալ հավասարության միջոցով․
Լամբերտի -ֆունկցիան չի կարող արտահայտվել էլեմենտար ֆունկցիաներում։ Կիրառվում է կոմբինատորիկայում, օրինակ՝ ծառերի քանակը հաշվելու ինչպես նաև հավասարություններ լուծելու ժամանակ։
Պատմություն
խմբագրելФункция изучалась ещё в работе Леонарда Эйлера 1779-го года, но не имела самостоятельного значения и названия вплоть до 1980-х годов. Как самостоятельная функция была введена в системе компьютерной алгебры Maple, где для неё использовалось имя LambertW. Имя Иоганна Генриха Ламберта было выбрано, поскольку Эйлер ссылался в своей работе на труды Ламберта, и поскольку «называть ещё одну функцию именем Эйлера было бы бесполезно»[1].
Բազմիմաստություն
խմբագրելthumb|Основная (синяя) и дополнительная (фиолетовая) ветви функции thumb|288px|right|График W0(x) для −1/e ≤ x ≤ 4 Поскольку функция не является инъективной на интервале , является многозначной функцией на .
- Если ограничиться вещественными и потребовать , будет определена однозначная функция — основная ветвь функции .
- Если ограничиться вещественными , и потребовать , будет определена однозначная функция — дополнительная ветвь функции .
Асимптотики
խմբագրելПолезно знать асимптотики функции при стремлении к некоторым ключевым точкам. Например, для ускорения сходимости при выполнении рекуррентных расчётов.
Այլ բանաձևեր
խմբագրելСвойства
խմբագրելС помощью дифференцирования неявной функции можно получить, что при функция Ламберта удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:
С помощью теоремы об обращении рядов можно получить выражение для ряда Тейлора; он в окрестности нуля сходится при :
С помощью интегрирования по частям можно найти интеграл от W(z):
Значения в некоторых точках
խմբագրել- , при
- (постоянная Омега)
Формулы
խմբագրել
Решение уравнений с помощью W-функции
խմբագրելРешения многих трансцендентных уравнений могут быть выражены в форме W-функции.
Пример 1:
- , следовательно, , откуда .
Пример 2:
- , следовательно, , откуда .
Пример 3:
- , тогда , следовательно, , откуда .
Обобщённые применения W-функции Ламберта
խմբագրելСтандартная W-функция Ламберта показывает точные решения трансцендентных алгебраических уравнений формы:
где a0, c и r являются вещественными константами. Решением такого уравнения является . Ниже перечислены некоторые из обобщённых применений W-функции Ламберта:[2][3][4]
- Эта функция может быть использована в общей теории относительности и в квантовой механике (квантовой гравитации) в нижних измерениях. В журнале «Classical and Quantum Gravity»[5] была представлена ранее неизвестная связь между этими двумя понятиями, где правая сторона уравнения превращается в квадратный многочлен по переменной x:
- и где константы r1 и r2, являются корнями этого квадратичного многочлена. В данном случае решением этого уравнения является функция с аргументом x , а ri и ao являются параметрами этой функции. С этой точки зрения, несмотря на то, что данное обобщённое применение W-функции Ламберта напоминает гипергеометрическую функцию и функцию «Meijer G», оно принадлежит к другому типу функций. Когда r1 = r2, то обе стороны уравнения (2) могут быть упрощены к уравнению (1), и таким образом общее решение упрощается к стандартной W-функцией. Уравнение (2) показывает определяющие отношения в скалярном поле дилатонноя, из чего следует решение задачи измерения линейной гравитации парных тел в 1+1 измерениях (измерение пространства и измерение времени) в случае неравных масс, а также решение задачи двумерного стационарного уравнения Шрёдингера с потенциалом в виде дельта-функции Дирака для неодинаковых зарядов в одном измерении.
- Эта функция может быть использована для решения частной задачи внутренних энергий квантовой механики, состоящей в определении относительного движения трёх тел, а именно трёхмерной молекулярный ион водорода[6][7]. В этом случае правая сторона уравнения (1) (или (2)) теперь становится отношением двух беспредельных многочленов по переменной x:
- где ri и si константы, а x является функцией между внутренней энергией и расстоянием внутри ядра R. Уравнение (3), а также его упрощённые формы, выраженные в уравнениях (1) и (2), относятся к типу дифференциальных уравнений с запозданием.
Применения W-функции Ламберта в основных проблемах физики не ограничиваются стандартным уравнением (1), как было недавно показано в областях атомной, молекулярной и оптической физики[8] и критерий «Кейпер-Ли» для Гипотеза Римана[9].
Вычисление
խմբագրել-функция может быть приблизительно вычислена с помощью рекуррентного соотношения[1]:
Пример программы на языке Python:
import math
def lambertW(x, prec=1e-12):
w = 0
for i in range(100):
wTimesExpW = w * math.exp(w)
wPlusOneTimesExpW = (w + 1) * math.exp(w)
w -= (wTimesExpW - x) / (wPlusOneTimesExpW - (w + 2) * (wTimesExpW - x) / (2 * w + 2))
if prec > abs((x - wTimesExpW) / wPlusOneTimesExpW):
break
if prec <= abs((x - wTimesExpW) / wPlusOneTimesExpW):
raise Exception("W(x) не сходится достаточно быстро при x=%f" % x)
return w
Для приближённого вычисления можно использовать следующую формулу[10]. Приведённая функция похожа, но более чем на 10 % отличается от функции Ламберта.
Примечания
խմբագրել- ↑ 1,0 1,1 Corless et al. On the Lambert W function (und) // Adv. Computational Maths.. — 1996. — Т. 5. — С. 329—359. Архивировано из первоисточника 18 հունվարի 2005.
- ↑ T. C. Scott, R. B. Mann General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function(անգլ.) // AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing) : journal. — 2006. — Т. 17. — № 1. — С. 41—47. — Архивировано из первоисточника 11 Հունիսի 2019.
- ↑ T. C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst Asymptotic series of Generalized Lambert W Function(անգլ.) // SIGSAM (ACM Special Interest Group in Symbolic and Algebraic Manipulation) : journal. — 2013. — Т. 47. — № 185. — С. 75—83. Архивировано из первоисточника 14 Հուլիսի 2014.
- ↑ T. C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst, W.Z. Zhang Numerics of the Generalized Lambert W Function (und) // SIGSAM. — 2014. — Т. 48. — № 1/2. — С. 42—56. Архивировано из первоисточника 14 Հուլիսի 2014.
- ↑ P. S. Farrugia, R. B. Mann, T. C. Scott N-body Gravity and the Schrödinger Equation(անգլ.) // Classical and Quantum Gravity : journal. — 2007. — Т. 24. — № 18. — С. 4647—4659. — Архивировано из первоисточника 6 Ապրիլի 2019.
- ↑ T. C. Scott, M. Aubert-Frécon, J. Grotendorst New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion(անգլ.) // Կաղապար:Нп3 : journal. — 2006. — Т. 324. — С. 323—338. — Архивировано из первоисточника 18 հունվարի 2016.
- ↑ Maignan, Aude; Scott, T. C. Fleshing out the Generalized Lambert W Function (und) // SIGSAM. — 2016. — Т. 50. — № 2. — С. 45—60. —
- ↑ T. C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini, J. D. Morgan III The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions(անգլ.) // Phys. Rev. A : journal. — 2007. — Т. 75. — С. 060101. —
- ↑ R.C. McPhedran; T. C. Scott; Aude Maignan The Keiper-Li Criterion for the Riemann Hypothesis and Generalized Lambert Functions (und) // ACM Commun. Comput. Algebra. — 2016. — Т. 57. — № 3. — С. 85-110. —
- ↑ Double precision function LAMBERTW(X) Արխիվացված է Սեպտեմբեր 2, 2005 Wayback Machine-ի միջոցով: в пакете QCDINS Արխիվացված է Ապրիլ 4, 2005 Wayback Machine-ի միջոցով:
Категория:Специальные функции Категория:Статьи с примерами кода Python