Մասնակից:Զաբելա Աբելյան/Ավազարկղ 5
Այս մասնակիցը «Վիքին սիրում է Գիտություն» նախագծի մասնակից է։ |
Քառակուսային հավասարում,
- ընդհանուր տեսքի հանրահաշվական հավասարում
որտեղ -ը, անկախ փոփոխական, , , -ն, գործակիցներ, ընդ որում
արտահայտությունը անվանում են քառակուսային եռանդամ[1].
Արմատը, դա փոփոխականի արժեքն է, վերածելով քառակուսային եռանդամը զրոյի, իսկ քառակուսային հավասարումը` ճշմարիտ հավասարության: Քառակուսային հավասարման տարրերն ունեն հատուկ անվանումներ:[1]:
- -ն կոչվում է առաջին կամ ավագ գործակից,
- -ն կոչվում է երկրորդ, միջին կամ -ի գործակից,
- -ն կոչվում է ազատ անդամ.
Քառակուսային հավասարումը կոչվում է բերված, որում ավագ գործակիցը հավասար է մեկի [1]. Այդպիսի հավասարում կարող ենք ստանալ ամբողջ հավասարումը բաժանելով ավագ գործակցի:
Լրիվ կոչվում է այնպիսի քառակուսային հավասարումը, որի բոլոր գործակիցները տարբեր են 0-ից:
Թերի կոչվում է այնպիսի քառակուսային հավասարումը, որում, բացի ավագ անդամից, գործակիցներից մեկը (կամ երկրորդ գործակիցը, կամ ազատ անդամը), հավասար է 0-ի:
Պատմական տեղեկություններ քառակուսային հավասարման մասին խմբագրել
Հին Բաբելաոն խմբագրել
Մեր թվարկությունից առաջ երկրորդ հազարամյակին բաբելոնցիները գիտեին ինչպես լուծել քառակուսային հավասարումը [1]: Հին Բաբելոնում նրանց լուծումը խիստ կապված էր գործնական խնդիրների հետ, հիմնականում այնպիսին, ինչպես հողատարածքների մակերեսների չափումը, հողային աշխատանքները,ռազմական կարիքների հետ կապված,ընդհանրապես մաթեմատիկայի և աստղագիտության զարգացումով պայմանավորված է այդպիսի գիտելիքների առկայությունը: Հայտնի է եղել ինչպես լրիվ, այնպես էլ թերի քառակուսային հավասարման լուծման եղանակներ:Բերենք, Հին Բաբելոնում լուծվող քառակուսային հավասարման լուծումների օրինակներ, օգտագործելով ժամանակակից հանրահաշվական գրառումներ:
Քառակուսային հավասարման լուծման կանոնների ժամանակակից շատ անալոգիաներ,բայց բաբելոնյան տեքստերում դատողությունները ֆիքսված չէին,ըստ որի ստացել էին այդ կանոնները:
Հնդկաստան խմբագրել
Քառակուսային հավասարման օգնությամբ լուծվող խնդիրներ, հանդիպում ենք «Ариабхаттиам» աստղագիտության տրակտում, գրված հնդիկ աստղագետ և մաթեմատիկոս Արիաբխատաի կողմից մեր թվարկության 499 թվականին: Քառակուսային հավասարման արմատների առաջին հայտնի բանաձևի ընդհանրացումը պատկանում է հնդիկ գիտնական Բրահմագուպտա (մոտо 598 թ.)[1]; Բրահմագուպտան շարադրեց քառակուսային հավասարման լուծման ունիվերսալ կանոնը , բերված կանոնական տեսքի : ; բացի այս ենթադրվեց, որ գործակիցները, բացի -ից կարող են բացասական լինել: Գիտնականի ձևակերպված կանոնը իր գոյությամբ համընկնում է այժմյանի հետ:
Քառակուսային հավասարման արմատները իրական թվերի բազմությունում խմբագրել
I եղանակ Արմատների հաշվման ընդհանուր բանաձևը խմբագրել
քառակուսային հավասարման արմատները ընդհանուր դեպքում գտնելու համար պետք է օգտվել ներքևում բերված ալգորիթմից:
Պայման | |||
Իրական արմատների թիվը | Երկու արմատ | Մեկ արմատ (ինչ որ կոնտեքստում ասում են երկու հավասար արմատների մասին կամ նրա համընկնող արմատների, նաև անվանում են 2-ի բազմապատիկ արմատ) | եզրակացնում են այն մասին, որ իրական թվերի բազմությունում արմատ չկա |
Բանաձև | Կոմպլեքս արմատների բանաձևը տես ներքևում համապատասխան բաժնում |
Բանաձևը կարելի է ստանալ հետևյալ կերպ
Բազմապատկենք յուրաքանչյուր մասը -ով և ավելացնենք :
Ծանոթություն: ակնհայտ է, 2-ի բազմապատիկ արմատների համար բանաձևը հանդիսանում է ընդհանուր բանաձևի մասնավոր դեպք, ստացվում է տեղադրելով նրա մեջ D=0 հավասարությունը, իսկ եզրակացությունը իրական արմատների բացակայության մասին, երբ D<0 հետևում է նույնը կատարել, հաշվի առնելով, որ այդ դեպքում -D>0, իսկ .}}
Շարադրված մեթոդը ունիվերսալ է, սակայն ոչ միակը: Մի հավասարման լուծմանը կարելի է մոտենալ տարբեր եղանակներով, նախապատվությունը ընդհանրապես կախված է հենց լուծվողից: Բացի դրանից, հաճախ այդ եղանակներից մի քանիսը թվում է բավականաչափ նրբագեղ, պարզ, պակաս աշխատատար, քան ստանդարտը:
II եղանակ. Քառակուսային հավասարման արմատները b զույգ գործակցի դեպքում խմբագրել
տեսքի հավասարման համար, այսինքն, զույգ -ի դեպքում, որտեղ
(1) բանաձևի փոխարեն, գտնված արմատների համար կարելի է օգտագործել ավելի պարզ արտահայտություն[1].
Ծանոթություն: վարը տրված բանաձևը կարելի է ստանալ ստանդարտ բանաձևի մեջ տեղադրելով b=2k արտահայտությունը և կատարել այդ դեպքում ոչ բարդ ձևափոխություններ:
Ոչ բերված | Բերված | D>0 | Ոչ բերված | Բերված |
հարմար է հաշվել տարբերիչի մեկ չորրոդի արժեքը
Բոլոր անհրաժեշտ հատկություններն այդ դեպքում պահպանվում է . |
. | |||
D=0 |
III եղանակ. Թերի քառակուսային հավասարման լուծում խմբագրել
Թերի քառակուսային հավասարման լուծման համար պետք է մոտենալ առանձնակի: Քննարկենք երեք հնարավոր իրադրություն:
|
Եթե , ապա հավասարումը ունի երկու իրական արմատներ , եթե , ապա , իսկ եթե , ապա հավասարումը չունի իրական արմատներ. |
կամ Այդպիսի հավասարումը անպայման ունի երկու իրական արմատներ |
IV եղանակ.Գործակիցների մասնակի հարաբերակցությունների օգտագործում խմբագրել
Գոյություն ունի քառակուսային հավասարման մասնավոր դեպքեր, որում գործակիցները գտնվում են միմյանց միջև հարաբերակցության մեջ, թույլատրվում է լուծել այն անհամեմատ ավելի պարզ:
Քառակուսային հավասարման արմատներ, որի ավագ գործակցի և ազատ անդամի գումարը հավասար է երկրորդ գործակցին խմբագրել
Եթե քառակուսային հավասարման առաջին գործակցի և ազատ անդամի գումարը հավասար է երկրորդ գործակցին՝ , ապա նրա արմատ է հանդիսանում և ազատ անդամի հարաբերությունը ավագ անդամին՝ հակադիր նշանով թիվը ( ).
Եղանակ 1. Սկզբից պարզենք, իրոք այդպիսի հավասարումը ունի արմատ (այդ թվում ,երկու համընկնող)
- .
Այո, դա այդպես է, չէ որ ցանկացած իրական գործակիցների դեպքում , իսկ դա նշանակում է տարբերիչը ոչ բացասական է: Այսպիսով, եթե , ապա հավասարումը ունի երկու արմատ, իսկ եթե , ապա այն ունի միայն մեկ արմատ: Գտնենք այդ արմատները:
- .
Մասնավորապես, եթե , ապա կլինի մեկ արմատը՝
Օգտվենք քառակուսային հավասարման երկրաչափական մոդելից, մենք այն կդիտենք ինչպես պարաբոլի աբսցիսների առանցքի հետ հատման կետեր: Յուրաքանչյուր պարաբոլ անկախ նրա տրված արտահայտությունից հանդիսանում է պատկեր, համաչափ ուղղի նկատմամբ:Դա ցույց է տալիս, որ այդ ուղղին ուղղահայաց հուրաքանչյուր հատված , նրան հատվող պարաբոլը բաժանում է առանցքը համաչափ երկու հավասար մասերի: Ասվածը, մասնավորապես ճշմարիտ է և աբսցիսների առանցքի համար: Այսպիսով ցանկացած պարաբոլի համար ճշմարիտ է հետևյալ հավասարություններից մեկը՝ (если ) կամ (եթե ճշմարիտ է հակադիր իմաստով անհավասարությունը:) Օգտագործելով նույնությունը , արտահայտված մոդուլի երկրաչափական իմաստ, նույնպես ընդունելով, որ ( դա կարող ենք ապացուցել, տեղադրելով հավասարությունը քառակուսային եռանդամի մեջ , դրա համար -1 այդ հավասարման արմատն է), անցնենք հաջորդ հավասարության՝ : Եթե հաշվի առնենք, որ տարբերությունը այդ դեպքում, երբ ավելացնում ենք մոդուլը, միշտ դրական է, այն դեպքում, երբ հանում ենք՝ բացասական, որը ասում է այդ դեպքերում նույնությունների մասին և հիշելովէ հավասարության մասին , բացենք մոդուլը : Երկրորդ դեպքում կատարենք անալոգ ձևափոխություններ, հանգում ենք նույն արդյունքի
}}
- Այստեղից, նախքան ինչ-որ քառակուսային հավասարում լուծել, հետևում է ստուգել նրա նկատմամբ այդ թեորեմայի հնարավորությունը՝ համեմատել ավագ գործակցի և ազատ անդամի գումարը երկրորդ գործակցի հետ:
Քառակուսային հավասարման արմատներ, որի բոլոր գործակիցների գումարը հավասար է զրոյի խմբագրել
Եթե քառակուսային հավասարման բոլոր արմատների գումարը հավասար է 0-ի՝( ), ապա այդպիսի հավասարման արմատը հանդիսանում է -ը և ազատ անդամի հարաբերությունը ավագ գործակցին՝ ( ).
Եղանակ 1. Ամենից առաջ նկատենք, որ հավասարությունից հետևում է, որ Որոշենք արմատների թիվը
գործակիցների ցանկացած արժեքների դեպքում հավասարումը ունի առնվազը մեկ արմատ, իրոք, ցանկացած գործակիցների դեպքում՝ , իսկ նշանակում է և տարբերիչը ոչ բացասական է: Ուշադրություն դարձրեք, որ եթե , ապա հավասարումը ունի երկու արմատ, եթե , ապա միայն մեկ արմատ: Գտնենք այդ արմատները.
ինչը և պահանջվում էր ապացուցել:
- մասնավորապես, եթե , ապա հավասարումը ունի միայն մեկ արմատ, որը հանդիսանում է -ը:.
Եղանակ 2. Օգտվենք վերը նշված քառակուսային հավասարման որոշումից, հայտնաբերենք տեղադրման եղանակով, որ 1 թիվը ներկայացնում է այնպիսի դեպք՝ ճշմարիտ հավասարության , հետևաբար միավորը այդպիսի քառակուսային հավասարման արմատն է, Հետո, Վիետի թեորեմի համաձայն գտնենք երկրորդ արմատը, համաձայն այդ թեորեմի հավասարման արմատների արտադրյալը հավասար է թվի՝ հավասար ազատ անդամի առաջին գործակցի հարաբերությանը:- , ч.т.д. }}
- Այսպիսով նախ, ստանդարտ եղանակով հավասարումը լուծելուց առաջ հետևում է ստուգել դրա նկատմամբ այդ թեորեմի կիրառելությունը, գումարել այդ հավասարման բոլոր գործակիցները և տեսնել հավասար է 0-ի այդ գումարը:
V եղանակ. Քառակուսային եռանդամի վերլուծումը գծային արտադրիչների խմբագրել
Եթե տեսքի եռսնդամը հաջողվում է ինչ-որ կերպով ներկայացնել գծային բազմապատկիչների արտադրյալի, ապա կարելի է գտնել հավասարման արմատները, այն կլինեն և , իրոք, չէ որ , իսկ լուծելով գծային տրված հավասարումները, կստանանք վերը գրվածը:Նշենք, որ քառակուսային եռանդամը միշտ չէ բաշխվում իրական գործակիցներով գծային բազմատկիչների,դա հնարավոր է, եթե նրան համապատասխան հավասարումը ունի իրական արմատներ:
Դիտարկենք մի քանի մասնավոր դեպքեր.
Գումարի (տարբերության) քառակուսու բանաձևի օգտագործումը խմբագրել
Եթե քառակուսային եռանդամը ունի տեսք, ապա կիրառելով տրված բանաձևը, մենք կարող ենք վերլուծել այն գծային բազմապատկիչների և նշանակում է գտնել արմատները:
Գումարի (տարբերության) լրիվ քառակուսու անջատումը խմբագրել
Նմանապես տրված բանաձևը կիրառում են, օգտվելով մեթոդից, ստանալով «գումարի (տարբերության) լրիվ քառակուսու անջատումը» անվանումը: Բերված քառակուսային հավասարման համեմատ ներմուծված նախկին նշանակումներով, դա ցույց է տալիս հետևյալը
- Գումարում և հանում ենք նույն թիվը
. - կիրառվում է բանաձևը ստացված արտահայտությունում, հանելին և ազատ անդամը տեղափոխում են աջ մաս
- աջ և ձախ մասերից դուրս են բերում քառակուսային հավասարման արմատը և արտահայտում է փոփոխականով
Ծանոթություն: եթե նկատել եք, տրված բանաձևը համընկնում է «Բերված քառակուսային հավասարման արմատները» առաջարկված բաժնի հետ, որը իր հերթին, կարելի է ստանալ (1)ընդհանուր բանաձևից, a=1 հավասարության տեղադրման եղանակով:Այդ փաստը պարզապես համընկում չէ, նկարագրված մեթոդով, դուրս բերելով, ճշմարիտ է մի քանի լրացուցիչ դատողություններ կարելի է բերել ընդհանուր բանաձևով, և նույնպես ապացուցել տարբերիչի հատկությունը:
VI եղանակ. Վիետի ուղիղ և հակադարձ թեորեմի օգտագործումը խմբագրել
Վիետի ուղիղ թեորեմը (տես ստորև համանուն բաժնում) և նրա հակադարձ թեորեմը թույլ են տալիս բանավոր լուծել բերված քառակուսային հավասարումները, չդիմելով բավարար մեծածավալ բանաձևային հաշվարկումներին (1):
Համաձայն հակադարձ թեորեմայի, ցանկացած թվերի զույգ (թիվ) ,լինելով ստորև բերված հավասարումների համակարգի լուծումներ, հանդիսանում են հավասարման արմատներ:
Ընտրել բանավոր թվեր, այդ հավասարումներին բավարարելով, կօգնի ուղիղ թեորեմը:Նրա օգնությամբ կարելի է որոշել արմատների նշանները, չիմանալով հենց արմատները: Դրա համար հետևում է ղեկավարվել կանոններով.
- 1) Եթե ազատ անդամը բացասական է, ապա արմատները ունեն տարբեր նշաններ և մոդուլով ամենամեծ արմատի նշանը՝հ ավասարման երկրորդ գործակցի հակադիր նշանը:
- 2) Եթե ազատ անդամը դրական է, ապա երկու արմատները ունեն միանման նշաններ և այդ նշանը՝ հակադիր է երկրորդ գործակցի նշանին:
VII եղանակ. «Տեղափոխումների» մեթոդ խմբագրել
Այսպես կոչված «տեղափոխումների» մեթոդը թույլ է տալիս հանգեցել չբերված և չձևափոխված լուծումը ամբողջ գործակիցներով բերված տեսքի այն հավասարման ավագ գործակցին բաժանելու եղանակով՝ ամբողջ գործակիցներով բերվածի լուծման: Այն եզրափակվում է հետևյալում.
- 1)բազմապատկում ենք երկու մասը արտահայտությամբ
- 2) ներմուծենք նոր փոփոխական y=ax:
- .
Հետո հավասարումը լուծվում է բանավոր վերը նշված եղանակով, հետո վերադառնում ենք տրված ներմուծմանը և գտնում հավասարման արմատները и .
Ենթադրենք, մենք ցանկանում ենք լուծել հավասարումը օգտագործելով Վիետի հակադարձ թեորեմը:Եթե մենք փորձենք նրա երկու մասը 8-ի բաժանենք, ապա կստանանք կոտորակային գործակիցներով բերված տեսքի հավասարում, դրա համար կիրառել թեորեմը, կլինի շատ դժվար:Սակայն օգտվելով տեղափոխումների մեթոդից, մենք կարող ենք ստանալ բերված ամբողջ գործակիցներով:
- .
y=8x բանաձևով կատարենք փոփոխականի փոխարինում, կհանգենք հավասարման.
- .
Ակնհայտ է,որ նրա արմատները կլինեն -4 и 2 թվերը:. Անենք հակադարձ փոխարինումը.
Երկրաչափական իմաստ խմբագրել
Քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկը հանդիսանում է պարաբոլ. Քառակուսային հավասարման լուծումներ «արմատներ» անվանում են պարաբոլի աբսցիսների առանցքի հատման կետի աբսցիսը:Եթե քառակուսային ֆունկցիան նկարագրող պարաբոլը, չի հատվում աբսցիսների առանցքի հետ, հավասարումը իրական արմատներ չունի: Եթե պարաբոլը հատվում է աբսցիսների առանցքի հետ մի կետում (պարաբոլի գագաթում), հավասարումը ունի մեկ իրական արմատ (նույնպես ասում են հավասարումը ունի երկու համընկած արմատներ):Եթե պարաբոլը հատվում է աբսցիսների առանցքի հետ երկու կետերում, հավասարումը ունի երկու իրական արմատ (տես. պատկերը աջից):
Եթե գործակիցը դրական է, պարաբոլի ճյուղերը ուղղված են վերև և ընդհակառակը:Եթե գործակիցը դրական է (դրական -ի դեպքում, ընդհակառակը բացասականի դեպքում), ապա պարաբոլի գագաթը գտնվում է ձախ կիսահարթությունում և ընդահակառակը:
Քառակուսային հավասարման լուծման գրաֆիկական եղանակ խմբագրել
Բացի վերը նկարագրված ունիվերսալ եղանակից, գոյություն ունի այսպես կոչված գրաֆիկական եղանակ: Ընդհանուր առմամբ այս եղանակը ռացիոնալ տեսքի հավասարման լուծումը կայանում է հետևյալում, միևնույն կոորդինատային հարթությունում կառուցվում է и ֆունկցիաները և գտնում են գրաֆիկների ընդհանուր կետի աբսցիսը, գտնված թիվը և կլինի հավասարման արմատը:
- Կան քառակուսային հավասարման գրաֆիկական լուծման հինգ եղանակներ:
Եղանակ I խմբագրել
Այդ եղանակով քառակուսային հավասարման լուծման համար կառուցում են ֆունկցիայի գրաֆիկը և գտնում առանցքի հետ հատման կետերի աբսցիսները:
Եղաննակ II խմբագրել
Այդ եղանակով նույն հավասարման լուծման համար այն ձևափոխում են տեսքի և կառուցում են միևնույն կոորդինատային համակարգում քառակուսային ֆունկցիայի և գծային ֆունկցիայի գրաֆիկները, հետո գտնում են նրանց հատման կետի աբսցիսը:
Եղանակ III խմբագրել
Այդ եղանակով լուծելու համար տրված հավասարումը նախապես ձևափոխում են տեսքի, օգտվելով գումարի (տարբերության) լրիվ քառակուսու առանձնացման մեթոդից և հետո :Դրանից հետո կառուցվում ֆունկցիայի գրաֆիկը (այն հանդիսանում է ֆունկցիայի գրաֆիկը, տեղաշարժելով միավոր մասշտաբով աջ կամ ձախ կախված նշանից) և ուղղից, զուգահեռ աբսցիսների առանցքին:Հավասարման արմատները կլինեն պարաբոլի և ուղղի հատման կետերի աբսցիսները:
Եղանակ IV խմբագրել
Քառակուսային հավասարումը ձևափոխվում է տեսքի, կառուցվում է ֆունկցիայի գրաֆիկը (այն ներկայացնում է ֆունկցիայի գրաֆիկը, տեղափոխելով միավոր մասշտաբով վերև, եթե այդ գործակիցը դրական է կամ ներքև, եթե գործակիցը բացասական է ) և , գտնում են նրանց ընդհանուր կետերի աբսցիսները:
Եղանակ V խմբագրել
Քառակուսային հավասարումը ձևափոխվում է հատուկ տեսքի.
հետո
- .
վերջացնելով ձևափոխությունները կառուցվում է գծային ֆունկցիայի գրաֆիկը և հակադարձ համեմատությամբ -ը, գտնում են այդ ֆունկցիաների հատման կետերի աբսցիսները: Այդ մեթոդը ունի կիրառելիության սահման, եթե , ապա մեթոդը չեն օգտագործում:
Քառակուսային հավասարումների լուծումը կարկինի և քանոնի օգնությամբ խմբագրել
Վերը նկարագրված գրաֆիկական մեթոդը ունեն գոյության թերություններ, այն բավականին աշխատատար է, այդ դեպքում կորերի՝ պարաբոլի և հիպերբոլի ճշգրտությամբ կառուցումը անբավարար: Տրված խնդիրները հատուկ չէ ստորև առաջադրված մեթոդին, ենթադրվում է ավելի ճշգրիտ կառուցումներ կարկնի և քանոնի նկատմամբ: Որպեսզի կատարենք այդպիսի լուծումը, պետք է կատարել հետևյալ գործողությունների հաջորդականությունը:
- Oxy կոորդինատային համակարգում կառուցել կենտրոնով շրջանագիծ, y առանցքի հետ հատելով C(0;1)կետում:
- Հետո հնարավոր է երեք դեպք.
- շրջանագծի շառավղի երկարությունը գերազանցում է S կետից աբսցիսների առանցքին իջեցված ուղղահայացի երկարությանը: Այդ դեպքում շրջանագիծը հատվում է x առանցքի հետ երկու կետերում, իսկ հավասարումն ունենում է երկու իրական արմատներ, հավասար այդ կետերի աբսցիսներին:
- շառավիղը հավասար է ուղղահայացին; մեկ կետ և 2-ի բազմապատիկ մեկ իրական արմատ;
- շառավիղը փոքր է ուղղահայացից; բազմությունում արմատներ չկան:
Դիտարկվող եղանակը ենթադրում է շրջանագծի կառուցում, հատվող օրդինատների առանցքին՝ կետերում (կետում), որի աբսցիսները հանդիսանում են լուծվող հավասարման արմատներ: Ինչպե՞ս կարելի է կառուցել այդպիսի շրջանագիծ: Ենթադրենք այն կառուցված է: Շրջանագիծը միարժեքորեն որոշվում է իր տրված երեք կետերով: Ենթադրենք այն դեպքում, եթե արմատները երկուսն են, դա թող լինի կետերը, որտեղ , բնականաբար, քառակուսային հավասարման իրական արմատները (ընդգծում եմ, եթե նրանք գոյություն ունեն): Գտնենք այդպիսի շրջանագծի կենտրոնի կոորդինատները: Դրա համար ապացուցենք, որ այդ շրջանագիծը անցնում է կետերով: Իրոք, համաձայն հատողի թեորեմի,ընդունված նշանակումներում տեղի է ունենում հավասարությունը(տես. նկարը): Ձևափոխելով այդ արտահայտությունը , ստանում ենք OD հատվածը , որը և որոշում է որոնելի D կետի օրդինատը: (վերջին ձևափոխություններում օգտագործված է Վիետի թեորեմը (տես, ստորև համանուն բաժնում)):Եթե արմատը մեկն է, ապա աբսցիսների առանցքը այդպիսի շրջանագծի շոշափող է և շրջանագիծը y առանցքի հետ հատվում է 1 կետում, ապա այն անպայման անցնում է նրանից և նշված օրդինատով կետից վերև (մասնավորապես, եթե 1=c/a, դա դեպքում համընկնող կետեր են), որ ապացուցում է հանգունորեն արդեն հատողի և շոշափողի մասին թեորեմի օգտագործումը, հանդիսանալով հատողի մասին թեորեմի մասնավոր դեպք: Առաջին դեպքում ( ), որոշվածը կլինի շփման կետ, y առանցքի կետ 1 օրդինատով, և նրա նույն կետը օրդինատով: Եթե c/a և 1, համընկնող կետեր են, իսկ արմատներն երկուս են, սահմանվածը կլինեն այդ կետերը և հատման կետերը աբսցիսների առանցքի հետ:Այն դեպքում, երբ (1=c/a) և արմատը մեկն է, ընդգծված տեղեկությունը բավարար է ապացուցման համար, որովհետև այդպիսի շրջանագիծը կարող է լինել միակը, նրա կենտրոնը կլինի քառակուսու գագաթը, առաջացած շոշոափողի և ուղղահայացի հատումից, իսկ շառավիղը՝ այդ քառակուսու կողմը կազմված 1:Ենթադրենք շրջանագծի կենտրոնը S-ն է,աբսցիսների առանցքի հետ ունենալով երկու ընդհանուր կետեր: Գտնենք նրա կոորդինատները, դրա համար այդ կետից իջեցնենք ուղղահայացներ առանցքներին: Այդ ուղղահայացների ծայրերը կլինեն AB и CD հատվածների միջնակետերը, չէ որ ASB и CSD եռանկյունները հավասարասրուն են, քանի որ AS=BS=CS=DS որպես միևնույն շրջանագծի շառավիղներ, հետևաբար, նրանց բարձրությունները տարված հիմքերին նույնպես հանդիսանում են միջնագծեր: Գտնենք նշված հատվածների միջնակետերի կոորդինատները: Քանի որ պարաբոլը համաչափ է ուղղի նկատմամբ,ապա այդ ուղղի կետը նույն աբսցիսով հանդիսանում է AB հատվածի միջնակետ: Հետևաբար, S կետի աբսցիսը հավասար է այդ թվին: Այն դեպքում, երբ հավասարումը ունի մեկ արմատ, ապա x առանցքը հանդիսանում է շոշափողային կապ շրջանագծին, դրա համար համաձայն նրա հատկությանը, նրա շառավիղը ուղղահայաց է առանցքներին, հետևաբար և այդ դեպքում նշված թիվը կենտրոնի աբսցիսն է: Նրա օրդինատը գտնենք այսպես. . Երրորդ հնարավոր դեպքը, երբc\a=1 (և նշանակում է, a=c), ապա :
Քառակուսային հավասարման արմատները կոմպլեքս թվերի բազմությունում խմբագրել
Իրական գործակիցներով հավասարում խմբագրել
իրական գործակիցներով քառակուսային հավասարումը ունի ճիշտ երկու կոմպլեքս արմատ, որի մասին ասում է հանրահաշվի հիմնական թեորեմը. Այդ դեպքում, տարբերիչի արժեքից կախված, ինչպես մեկ, այնպես էլ երկու արմատը կարող են չունենալ կեղծ մաս և լինել իրական:
- դեպքում, իրական արմատները երկուսն են և այն որոշվում է հետևյալ բանաձևով
- դեպքում, արմատը մեկն է (որի մասին կարող ենք ասել ինչպես երկու հավասար կամ համընկնող արմատներ), 2-ի բազմապատիկ:
- դեպքում իրական (իրական) արմատ չունի, սակայն գոյություն ունի երկու կոմպլեքս արմատ, արտահայտված նույն բանաձևով, ինչ դրական տարբերիչի դեպքում: Այդպես նրան կարելի կրկին գրել, արտահայտված արմատ բացասական թվի կեղծ միավորի արտադրյալի տեսքով:
Կոմպլեքս գործակիցներով հավասարում խմբագրել
Կոմպլեքսի դեպքում՝ քառակուսային հավասարումը լուծվում է նույն (1) բանաձևով և վերը նշված իր տարբերակով, բայց տարբերելիությունը կայանում է միայն երկու դեպքում՝զրոյական տարբերիչ (մեկ կրկնակի արմատ) և ոչ զրոյական՝ (երկու պարզ արմատ):
Բերված քառակուսային հավասարման արմատներ խմբագրել
տեսքի քառակուսային հավասարումը, որում ավագ գործակից -ն հավասար է 1-ի, անվանում են բերված:Այս դեպքում արմատների համար (1) բանաձևը պարզեցվում է
Հուշամարզական կանոններ
- Из «Радионяни»:
«Մինուս»ը գրենք սկզբից ,
p կեսը նրա կողքին ,
«Պլյուս-մինուս»ը նշանն է արմատի,
Ծանոթ է մեզ մանկությունից:
Դե, իսկ արմատի տակ, բարեկամ,
Ստացվում է ամբողջը դատարկ բան:
p երկու կես և քառակուսի աստիճան
Մինուս՝ գեղեցիկ [2] q.
- Из «Радионяни» (այլ տարբերակ):
p-ն, իր նշանով հակադիր,
Բաժանենք նրան մենք երկուսի,
Եվ զգուշությամբ արմատներից
Անջատենք «մինուս-պլյուս» նշանի:
Իսկը շատ հարմար արմատների
p-ի կեսը քառակուսի աստիճան
Մինուս q, և ահա լուծումը,
Այսինքն, արմատները՝ հավասարման :
Վիետի թեորեմը խմբագրել
Ձևակերպում խմբագրել
բերված քառակուսային հավասարման արմատների գումարը հավասար է գործակցին «մինուս» նշանով, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին:
Ընդհանուր տեսքի,այսինքն՝ չբերված քառակուսային հավասարման :
Օգտվելով այդ թեորեմից, կարելի է լուծել որոշ չբերված քառակուսային հավասարումներ բանավոր:
}}
Քառակուսային եռանդամի վերլուծումը արտադրիչների և նրանից հետևող թեորեմ խմբագրել
Եթե հայտնի է քառակուսային եռանդամի երկու արմատները, կարելի է այն վերլուծել հետևյալ բանաձևով
- (2)
Ապացույց խմբագրել
Այդ պնդման ապացուցման համար օգտվենք Վիետի թեորեմից:Համաձայն այդ թեորեմի и արմատները քառակուսային հավասարումը ծնում համապատասխանություն նրա գործակիցների հետ : . Տեղադրենք այդ համապատասխանությունը քառակուսի եռանդամի մեջ
- :
Զրոյական տարբերիչի դեպքում լինում է գումարի կամ տարբերության քառակուսու բանաձևի տարբերակներից մեկը:
- (2) բանաձևից ունենք երկու կարևոր հետևություն.
Հետևություն 1 խմբագրել
- Եթե քառակուսային եռանդամը վերլուծվում է իրական գործակիցներով գծային արտադրիչների , ապա նա ունի նույն թվային բազմությանը պատկանող արմատներ:
Ապացույց խմբագրել
Ենթադրենք :Այդ ժամանակ կրկին գրենք այդ վերլուծությունը, կստանանք,
- .
Համեմատենք ստացված արտահայտությունը (2) բանաձևի հետ, գտնում ենք, որ այդպիսի եռանդամի արմատները հանդիսանում են և : Քանի որ գործակիցները իրական են, ապա և նրանց հակադիր հարաբերությամբ թիվը նույնպես հանդիսանում է բազմության տարր:
Հետևություն 2 խմբագրել
- Եթե քառակուսային եռանդամը չունի իրական գործակիցներով արմատներ, ապա նա չի վերլուծվում իրական գործակիցներով գծային արտադրիչների:
Ապացույց խմբագրել
Իրոք, եթե մենք ենթադրենք հակառակը (որ այդպիսի եռանդամը վերլուծվում է գծային արտադրիչների), ապա համաձայն հետևություն 1-ի, նա ունի արմատներ բազմությունում,որ հակասում է պայմանին և մեր ենթադրությունը ճշմարիտ չէ և այդպիսի եռանդամը չի վերլուծվում գծային արտադրիչների :
Քառակուսայինի բերվող հավասարումներ խմբագրել
Հանրահաշվական խմբագրել
տեդքի հավասարումը հանդիսանում է քառակուսայինի բերված հավասարում:
Ընդհանուր դեպքում այն լուծվում է տեղադրմամբ, լուծելով վերջին քառակուսային հավասարումը .
Լուծման դեպքում կարելի է վարվել առանց փոխարինման, լուծել երկու հավասարումների համախումբը,
- и
Եթե , ապա հավասարումը ընդունում է տեսքը,
Այդպիսի հավասարումը կոչվում է երկքառակուսի[3][1].
Փոխարինման միջոցով
քառակուսային հավասարումը հանգեցվում է
- հավասարման, հայտնի ինչպես
կրկնվող կամ ընհանրացված-համաչափ հավասարում[1].
Դիֆֆերանցիալ խմբագրել
Երկրորդ կարգի հաստատուն գործակիցներով համասեռ դիֆֆերենցիալ հավասարումը
տեղադրմամբ հանգեցվում է բնութագրական քառակուսային հավասարման,
Եթե այդ հավասարման լուծումներն են և մեկը մյուսին ոչ հավասար, ապա լուծման ընդհանուր տեսքն է՝
- , որտեղ և , կամայական հաստատուներ են:
Կոմպլեքս արմատների՝ , համար կարելի է գրառել ընդհանուր լուծումը, օգտվելով Էյլերի բանաձևից:
Եթե բնութագրական հավասարման լուծումները համընկնում են , ընդհանուր լուծումը գրառվում է հետևյալ տեսքով
Հաճախ այդպիսի տիպի հավասարումներ հանդիպում է մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի ավելի տարաբնույթ խնդիրներում, օրինակ տատանման տեսություն կամ հաստատուն հոսանքի շղթայի տեսություն:
Ծանոթագրություններ խմբագրել
Գրականություն խմբագրել
- Квадратное уравнение; Квадратный трёхчлен // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 133-136. — 352 с.
Հղումներ խմբագրել
- Вывод формулы корней полного квадратного уравнения. Решение приведённых квадратных уравнений и уравнений с чётным вторым коэффициентом / Фестиваль педагогических идей «Открытый урок».
- Калькулятор квадратного уравнения.