Մասնակից:Զաբելա Աբելյան/Աբելյան խումբ
Աբելյան (կամ տեղափոխական) խումբը— խումբ է, որում խմբային գործողությունը հանդիսանում է տեղափոխական, երբեմն ասում են,աբելյան խումբ , եթե ցանկացած երկու տարրերի համար .
Սովորաբար աբելյան խմբի խմբային գործողությունների նշանակման համար օգտագործվում է հավելում (լատ. additivus) գրառում,այսինքն՝ խմբային գործողությունները նշանակվում է նշանով և անվանվում է գումարում [1].
Անվանումը տրված է նորվեգական մաթեմատիկոս Հ. Աբելի պատվին խմբի տեղադրման հետազոտությունում իր ներդրման համար:
Օրինակներ
խմբագրել- Զուգահեռ խմբի տեղափոխումը գծային տարածությունում:
- Աբելյան ցանկացած Ցիկլային խումբ : Իրոք ճիշտ է ցանկացած и , որ
- :
- Մասնավորապես, ամբողջ թվի բազմությունը գումարման տեղափոխական խումբ է, դա ճիշտ է և հանման դասի համար:
- Ցանկացած օղակ հանդիսանում է իր գումարման տեղափոխական (աբելյան) խումբ, օրինակ կարող է ծառայել իրական թվերի դաշտը թվերի գումարման գործողություններով:
- Տեղափոխական օղակի հակադարձելի տարրերը (մասնավորապես ,ոչզրոյական տարրերը ցանկացած դաշտի) կազմում է բազմապատկման աբելյան խումբ:Օրինակ, աբելյան խումբ է ներկայացնում ոչզրոյական իրական թվերի բազմությունը բազմապատկման գործողություններով:
Կապակցված սահմանումներ
խմբագրել- Համանմանությամբ համաչափությունը վեկտորական տարածությունում, յուրաքանչյուր աբելյան խումբ է ունի կարգ: Այն որոշվում է ինչպես նվազագույն վեկտորական տարածության համաչափություն ռացիոնալ թվերի դաշտում, որում ներդրվում է խմբի ֆակտորի հյուսումը:
Հատկություններ
խմբագրել- Իհարկե, իզոմորֆ աբելյան խմբերի ծնունդը ուղղակի ցիկլային խմբի գումար է:
- իզոմորֆ աբելյան վերջավոր խմբերը ուղղակի ցիկլային վերջավոր խմբերի գումար է:
- Ցանկացած աբելյան խմբեր ունեն սովորական կազմություն ամբողջ թվերի մոդուլը օղակի նկատմամբ: Իրոք, դիցուք ը բնական թիվ է, իսկ ը տեղափոխական խմբի տարր գործողությամբ, նշանակված +, այդ ժամանակ կարելի է որոշել ինչպես ( անգամ) և .
- Պնդումները և թեորեմները , ճիշտ են աբելյան խմբերի համար (այսինքն. մոդուլի նկատմամբ գլխավոր իդեալներ տիրույթ), հաճախ կարող են մոդուլը ընդհանրացնել կամայական գլխավոր իդեալների տիրույթի նկատմամբ:Բնորոշ օրինակ է հանդիսանում վերջավոր աբելյան խմբի դասակարգումը, որը կարող ենք ընդհանրացնել մինչև ցանկացած վերջավոր մոդեւլի դասակարգումը գլխավոր իդեալների տիրույթի նկատմամբ:
- Հոմոմորֆիզմ բազմություն բոլոր խմբային հոմոմորֆիզմներից՝ ից , նույնպես հանդիսանում է աբելյան խումբ:Իրոք, դիցուք երկու հոմոմորֆիզմ խումբ է աբելյան խմբերի միջև, այդ ժամանակ դրանց գումարը , տրված ինչպես , նույնպես հանդիսանում է հոմոմորֆիզմ (դա ճիշտ է,եթե չի հանդիսանում տեղափոխական խումբ):
- Աբելյան հասկացությունը սերտ կապված է կենտրոն հասկացության հետ, խումբը բազմություն է, կազմված նրա այն տարրերից,որոնք տեղափոխում են խմբի յուրաքանչյուր տարրի հետ և գլխավոր դեր յուրօրինակ «աբելյան չափումներում:»Աբելյան խումբ է, այն ժամանակ և միայն այն ժամանակ, երբ նրա կենտրոնը համընկնում է ամբողջ խմբի կենտրոնի հետ:
Վերջավոր աբելյան խմբեր
խմբագրելՎերջավոր աբելյան խմբի հիմնական թեորեմը ապացուցում է,որ ցանկացած վերջավոր աբելյան խումբը հնարավոր է ր ցիկլային ենթախմբի գումարը բաշխվում է ուղղի վրա, որի հաջորդականությունը հանդիսանում է պարզ թվերի աստիճաններ:. Վերջավոր աբելյան խմբի կազմության մասին թեորեմայի այդ հետևանքը ընդհանուր է դեպքի համար, երբ խումբը չունի անվերջ տարերի հաջորդականություն: իզոմորֆ է ուղղակի գումարին և այն ժամանակ և միայն այն ժամանակ, երբ և փոխադարձ պարզ են: Հետևաբար, աբելյան խումբը կարելի է գրառել ուղղակի գումարի տեսքի
երկու տարբեր եղանակներով:
- Որտեղ թիվ պարզ աստիճանի է:
Վարիացիաներ և ընդհանրացումներ
խմբագրել- Դիֆերենցիալ խումբը կոչվում է աբելյան խումբ , որում տրված է այսպիսի էնդոմորֆիզմ , որ : Այդ էնդոմորֆիզմը անվանում են դիֆերենցիալ: Դիֆերենցիալ խմբի տարերին անվանում են շղթաներ, միջուկի տարրերը՝ ցիկլ, պատկերի տարրերը՝ սահմանային:
Տես նաև
խմբագրել
Գրականություն
խմբագրել- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7:
Ծանոթագրություն
խմբագրել- ↑ Աբելյան խումբ — статья из Математической энциклопедии. Ю. Л. Ершов