Հենման ֆունկցիա

Մաթեմատիկայում ոչ դատարկ փակ ուռուցիկ A բազմության, որը գտնվում է $\mathbb {R} ^{n}$–ում, հենման ֆունկցիան՝ h_A–ն, բնութագրում է A–ի հենման հիպերհարթությունների հեռավորությունները կորդինատային կենտրոնից։ Յուրաքանչյուր ոչ դատարակ փակ ուռուցիկ A բազմությունը միակ ձևով է որոշվում h_A–ից։ Ավելին հենման ֆունկցիան A ուռուցիկ բազմության համար մրցում է շատ այլ բնական երկրաչափական օպերատորների հետ, ինչպիսիք են շրջումը, Մինկովսկու գումարը և այլ օպերատորներ։ Այս հատկությունների շնորհիվ հենման ֆունկցիան Ուռուցիկ Երկրաչափության մեջ հիմնական գաղափարներից է։

Սահմանում

Հենման ֆունկցիան $h_{A}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ տես . A ոչ դատարակ ուռուցիկ $\mathbb {R} ^{n}$-ում բազմության համար տրվում է հետևյալ կերպ.

$h_{A}(x)=\sup\{x\cdot a:a\in A\},$$x\in \mathbb {R} ^{n}$;

Ներկայացումը ստացվում է ավելի ինտուիտիվ, երբ $x$-ը միավոր վեկտոր է. այսինք, երբ A-ն գտնվում է փակ կիսահարթության մեջ։

$\{y\in \mathbb {R} ^{n}:y\cdot x\leqslant h_{A}(x)\}$

Եւ առնվազն մի կետ կա A-ի սահմանային տիրույթում, որ գտնվում է

$H(x)=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:y\cdot x=h_{A}(x)\}$

այս կիսահարթության մեջ։ H(x) հիպերհարթությունը այդ պատճառով կոչվում է X միավոր վեկտորին հենված արտաքին կիսահարթություն ։ Արտաքին բառը կարևոր է այստեղ, քանի որ X-ի ուղղոությունը շատ կարևոր է դեր է խաղում։ H(x) բազմությունը ընդհանուր առմամբ տարբեր է H(-x)-ից։ Այս դեպքում h_A -ն H(x)-ի հեռավորությունն է կենտրոնից։

Օրինակներ

A={a} միատարր բազմության հենման ֆունցիան ներկայացվում է $h_{A}(x)=x\cdot a$ տեսքով։

Էվկլիդյան B₁ միավոր գնդի հենման ֆունցիան ներկայացվում է $h_{B_{1}}(x)=|x|$ տեսքով։

Հատկություններ

Որպես A-ից կախված ֆունկցիա

Վերափոխված կամ ընդլայնված բազմությունների հենման ֆունկցիան սերտ կապ ունի հիմական A բազմությոնից

$h_{\alpha A}(x)=\alpha h_{A}(x),\qquad \alpha \geq 0,x\in \mathbb {R} ^{n}$

և

$h_{A+b}(x)=h_{A}(x)+x\cdot b,\qquad x,b\in \mathbb {R} ^{n}.$

ավելի ընդհանրացված տեսքը․

$h_{A+B}(x)=h_{A}(x)+h_{B}(x),\qquad x\in \mathbb {R} ^{n},$

որտեղ A + B-ն Մինկովսկու գումար-ն է․

$A+B:=\{\,a+b\in \mathbb {R} ^{n}\mid a\in A,\ b\in B\,\}.$

2 ոչ դատարկ կոմպակտ ուռուցիկ բազմությունների Հաուսդորֆյան հեռավորությունը՝ $d_{\mathrm {H} }(A,B)=\|h_{A}-h_{B}\|_{\infty }$ -ն կարող են ներկայացվեն հենման ֆունկցիայի տեսքով։

$d_{\mathrm {H} }(A,B)=\|h_{A}-h_{B}\|_{\infty }$

որտեղ, աջ կողմի արտահայտության մեջ միավոր նորմն է օգտագործվում։

Հենման ֆունկցիայի հատկությունները, որպես A բազմությունից ֆունկցիա, երբեմն ընդհանրացվում է ասույթով, որ $\tau$:A $\mapsto$ h _A արտածում է ոչ դատարկ կոմպակտ ուռուցիկ բազմությունները միավոր գնդի վրա որոշված միակ ֆունկցիայի միջոցով, որի դրական համասեռ ընդլայնումը ուռուցիկ է։