Հապքրոֆթ-Կարպ ալգորիթմ

Հապքրոֆթ-Կարպ ալգորիթմ (անգլ.՝ Hopcroft–Karp algorithm), Համակարգչային գիտության մեջ ալգորիթմ, որը որպես մուտք վերցնում է երկչափանի գրաֆը և արտադրում որպես թողարկման առավելագույն համապատասխան հզորությունը – ամենաշատ հնարավոր եզրերի սահմանումը այն հատկությամբ, որ ոչ մի երկու եզր չեն կիսում վերջնակետը։ Այն վատագույն դեպքում աշխատում է O(m√n) ժամանակում, որտեղ "O" վերաբերում է մեծ O նշումին, m-ը գրաֆում եզրերի թիվն է, և n-ը գրաֆի գագաթների թիվն է։ Խիտ գրաֆիդեպքում ժամանակային սահմանը դառնում է O(n^5/2), և պատահական գրաֆի համար այն աշխատում է մոտավորապես գծային ժամանակում։

Հապքրոֆթ-Կարպ ալգորիթմ
Տեսակ	ալգորիթմ և գրաֆների ալգորիթմ
Տվյալների կառուցվածք	$O(V)$
Վատագույն դեպքում կատարումը	$O(E{\sqrt {V}})$
Օգտագործում է	գրաֆ
Հայտնաբերող	John Edward Hopcroft?, Ռիչարդ Կարպ և Alexander V. Karzanov?
Անվանված է	John Edward Hopcroft? և Ռիչարդ Կարպ

Ալգորիթմը հայտնաբերվել է Ջոն Հապքրոֆթի և Ռիչարդ Կարպի կողմից 1973 թվականին։ Ինչպես և նախորդ համապատասխանեցնող մեթոդներում, ինչպիսին Հունգարական ալգորիթմը և Էդմոնդսի (1965) աշխատանքն է, Հապքրոֆթ-Կարպ ալգորիթմը բազմակի անգամ շատացնում է մասնակի համապատասխանեցումների չափը մեծացման ճանապարհ գտնելու միջոցով։ Ինչևէ, յուրաքանչյուր բազմակրկնություն մեծացման ճանապարհ գտնելու փոխարեն, ալգորիթմը գտնում են մի շարք առավելագույն սեղմ մեծացման ճանապարհներ։ Որպես արդյունք միայն O(√n) բազմակրկնություններ են անհրաժեշտ։ Նույն սկզբունքն է օգտագործվել ավելի բարդ ալգորիթմեր զարգացնելու նպատակով ոչ երկչափ համապատասխանությունների համար նույն ասիմտոտիկ աշխատաժամանակով ինչպիսին Հապսրոֆտ-Կառպ ալգորիթմն է։

Մեծացման ուղիներ

Գագաթը, որը չի հանդիսանում սահմանի վերջնակետ որոշ մասնակի համապատասխանող M-երի համար, անվանվում է ազատ գագաթ։ Հիմնական գաղափարը, որի վրա հիմնվա է ալգորիթմը այն է, որ մեծացման ուղինեը, ուղին, որը սկսվում է ազատ գագաթից, վերջանում է ազատ գագաթում, և միմյանց են հաջորդում չգերազանցված և համապատասխան ճանապարհի եզրերը։ Եթե M-ը n-ի համապատասխան չափն է, և P-ն հանդիսանում է մեծացման չափը M-ի համար, ապա սիմետրիկ տարբերությունըերկու եզրերի միջ, M ⊕ P, կստեղծեն համապատասխան n + 1 չափ։ Ուստի, մեծացման ուղիները փնտրելով, ալգորիթմը կարող է մեծացնել համապատասխանությունների չափը։

Եվ ընդհակառակը, ենթադրենք, որ համապատասխան M-ը օպտիմալ չէ, և թող P-ն լինի M ⊕ M*սիմետրիկ տարբերությունը, որտեղ M*-ը օպտիմալ համապատասխանուրյունն է։Այսպիսով P-ն պետք է ձևավորի հավաքածու առանձնացված մեծացման ուղիներից և շրջաններից կամ ուղիներից, որտեղ համապատասխան ու անհամապատասխան եզրերը հավասար թվով են. չափերի տարբերությունը M և M*-ի միջև P-ում ուղիների ավելացումների թիվն և։ Ուստր, եթե ոչ մի մեծացման ճանապարհ չի գտնվում, ապա ալգորիթմը ապահով դադարեցվում է, քանի որ այս դեպքում Mպետք է լինի օպտիմալ։

Համապատասխանող խնդրի մեծացման ճանապարհը սերտորեն կապված է մեծացմանճանապարհների հետ, որը բխում է առավելագույն հոսքի խնդիրից, ճանապարհներ, որոնց երկայնքով կարելի է ավելացնել հոսքի գումարը հոսքի տերմինալների միջև։ Հնարավոր է փոխակերպել երկչափ համապատասխան խնդիրը առավելագույն հոսքի առանձին դեպքի, այնպես որ համապատասխանման խնդրի միմյանց հաջորդող ուղիները դառնում են հոսքերի խնդրի մեծացման ճանապարհ։ Ի դեպ, տեխնիկայի ընդհանրացումը, որը օգտագործվում է Հապսրոֆտ-Կառպ ալգորիթմում կամայական հոսքի ցանցերի համար հայտնի է որպես Դենիսի ալգորիթմ։

Ալգորիթմ

Ենթադրենք U-ն և V-ն երկու մասի բաժանված G-ի երկու հավաքածուներ են, և U-ի համապատասխանությունը V-ի հետ ցանկացած ժամանակ ներկայացված է որպես M-ի սահմանում։

Ալգորիթմը կատարվում է փուլերով։ Յուրաքանչյուր փուլ բաղկացած է հետևյալ քայլներց.

• Առաջինը ամենալայնի որոնումը փոխում է գրաֆի սյուները տողերով։ Uում ազատ սյուները օգտագործվում են որպես փնտրման սկզբնական սյուներ, և ձևավորում է փոփոխված առաջին տողը։ Փնտրման առաջին մակարդակում, միայն իրարից տարբեր եզրեր կարող են տեղաշարժվել(քանի որ U-ի ազատ սյուները ըստ սահմանման չեն դրան կարող կցվել որևէ համապատասխան եզրի); փնտրման հաջորդ մակարդակներում, փոփոխված եզրերը պահանջում են իրար համապատասխան և անամապատասխան հաջորդականություն։ Այսպիսով, երբ փնտրում ենք իրավահաջորդներ U-ի սյուներից, ապա միայն անհամապատասխան եզրերը կարող են փոխարինվել, մինչդեռ V-ի սյուներից միայն համապատասխան եզրերը կարող են փոխարինվել։ Որոնումը դադարում է k-ի առաջին տողում, որտեղ V-ում մի կամ ավելի ազատ սյուների են հասնում։
• Բոլոր ազատ սյուները V-ում k տողով հավաքված են F հավաքածույում։ Այսինքն, v սյունը դրվում է F-ում, միայն և միայն այն դեպքում, եթե այն ավարտվում է ամենակարճ արգումենտի ճանապարհով։
• Ալգորիթմը գտնում է խաչվող գագաթների առավելագույն հավաքածուն k լայնությամբ արգումենտի ուղիներում։ Այս հավաքածուն կարող է հաշվարկվել առաջինը ըստ խորության որոնում միջոցով F-ից դեպի U-ի ազատ սյուներ, որոնումը առաջնորդելու համար ագտագործելով լայնություն առաջին շերտը. առաջինը ըստ խորության որոնումը թույատրվում է միայն եզրերը կենտրոնացնելու համար, որը հանգեցնում է նախորդ շերտում չօգտագործված սյան, և ուղիները առաջինը ըստ խորության որոնուման ծառում պետք է միմյանց հաջորդեն համապատասխան և անամապատասխան եզրերը։ Հենց որ արգումենտի ճանապարհը գտնվում է, որը ներառում է F-ի մի որևէ սյուն, առաջինը ըստ խորության որոնումը շարունակվում է հաջորդ սյունից։
• Այս ճանապարհով գտնված յուրաքանչյուր ուղի օգտագործվում է M-ը մեծացնելու համար։

Ալգորիթմը դադարում է, երբ էլ ոչ մի մեծացման ճանապարհներ չեն գտնվում առաջինը ըստ խորության որոնուման ժամանակ առաջին փուլում։

Վերլուծություն

Ամեն փուլը բաղկացած է պարզ առաջինը ամենալայնի և առաջինը ամենախորի որոնումից։ Այսպիսով մեկ փուլը կարող է իրականացվել գծային ժամանակահատվածի ընթացքում։

Այս եղանակով, առաջին √n փուլը, գրաֆում n բարձրությունների և m եզրերի հետ, պահանջում է O(m √n) ժամանակահատված։

Կարելի է ցույց տալ, որ յուրաքանչյուր փուլը, մեծացնում է ամենակարճ արգումենտի ճանապարհի երկարությունը առնվազն մեկով։ Փուլը գտնում է տվյալ երկարությամբ արգումենտի ճանապարհի մաքսիմալ շարքը, այնպես որ մնացած ճանապարհները պետք է լինեն ավելի երկար։ Այդ պատճառով էլ ալգորիթմի √n սկզբնական փուլը ամբողջական է, հետևաբար մնացած ամենակարճ ճանապարհը պետք է լինի √n–ի եզրերը։ Այնուամենայնիվ սիմետրիկ տարբերություն հնարավոր օպտիմալ համաձայնության և գտնված M-ի սիմետրիկությունը, սկզբնական էտապում ձևավորում է բարձրությունների շարքը և ալտերնատիվ ցիկլերը։ Եթե այս շարքի յուրաքանչյուր ճանապարհի երկարությունը առնվազն √n է, ապա հավաքածուի մեջ կարող է լինել √m և օպտիմալ համաձայնության չաթը կարող է տարբերվել M-ի չափերից ոչ ավել √n –ի եզրերից։ Ալգորիթմի յուրաքանչյուր էտապից հետո մեծանում է համապատասխանությունների թիվը։ Քանի որ ալգորիթմը ընդհանուր առմամբ կատարում է 2√n փուլը, այն պահանջում է O(m √n) ընդհանուր ժամանակահատված վատագույն դեպքում։ Օրինակ միջին դեպքում նոսր երկկողմանի պատահական գրաֆները (բարելավելով իր նախորդ արդյունքները Motwani 1994 թ.) ցույց տվեցին, որ ամենայն հավանականությամբ բոլոր ոչ-օպտիմալ համապատասխանեցումները եղել են լոգարիթմական երկարությունների ավելանալու ճանապարհին։ Որպես հետևանք, այս գրաֆներում, Հապսրոֆտ-Կառպի ալգորիթմը պահանջում է O(log n) փուլեր և O(m log n) ընդհանուր ժամանակահատված։

Համեմատություն այլ երկչափ համապատասխանեցված ալգորիթմների հետ

Նոսր գրաֆների համար, Հապսրոֆտ-Կառպ ալգորիթմը շարունակում է ունենալ ամենահայտնի 'վատագույն դեպքի' կատարումը, բայց խիտ գրաֆների համար օգտագործում է ավելի ժամանակակից ալգորիթմ Alt et al. (1991)-ի կողմից հասնելով փոքր - ինչ ավելի լավ ժամանակի սահմանապակում O(n^1.5(m/log n)^0.5)։ Նրանց ալգորիթմը հիմնված է հրման-վերապիտակավորման առավելագույն հոսքի ալգորիթմի օգտագործման վրա և հետո, երբ այս ալգորիթմի ստեղծած համապատասղանեցումը մոտենում է օպտիմալ սահմանին, անցում է կատարվում Հապսրոֆտ-Կառպի եղանակին։

Մի շարք հեղինակներ հանդես են եկել երկչափ համապատասխանեցված ալգորիթմների փորձարարական համեմատություններով։ Դրանց արդյունքները ընդհանուր առմամբ հակված են ցույց տալու, որ Հապսրոֆտ-Կառպի եղանակը գործնականում այնքան լավը չէ, ինչքան տեսականորեն. այն գերազանցված է ինչպես պարզ առաջինը ամենալայնի և առաջինը ամենախորի ռազմավարություններով արգումենտի ճանապարհներ գտնելու հարցում, և հրման-վերապիտակավորման տեխնիկայով։

Ոչ երկչափ գրաֆներ

Ամենակարճ արգումենտի ուղիների առավելագույն շարքը գտնելու նույն գաղափարը աշխատում է նաև ոչ երկչափ գրաֆներում առավելագույն արտադրողական համապատասխանությունների փնտրման ժամանակ, և նույն պատճառներով էլ ալգորիթմը, որը հիմնված է այս մտքի վրա վերցնում է O(√n) փուլերը։ Ինչևէ, ոչ երկչափ գրաֆների համար, յուրաքանչյուր փուլում արգումենտի ճանապարհ գտնելու խնդիրը ավելի դժվար է։ Հիմնվելով մի քանի դանդաղ նախորդների աշխատանքի վրա, Micali & Vazirani (1980) ցույց տվեց, թե ինչպես պետք է իրականացնել փուլերը գծային ժամանակում, որի արդյունքում կառուցվում է ոչ երկչափ համապատասխանեցված ալգորիթմը, նույն սահմանված ժամանակուն ինչպես որ Հապսրոֆտ-Կառպի ալգորիթմը երկչափ գրաֆների համար։ Micali–Vazirani-ի տեխնիկան բարդ է, և նրա հեղինակները չեն ապահովում իրենց արդյունքների լրիվ ապացույցներ. այս խնդրի այլընտրանքային մեթոդը ավելի ուշ բացատրվել է այլ հեղինակների կողմից։

Կեղծ կոդ

/*

 G = G1 G2 {NIL}

where G1 and G2 are partition of graph and NIL is a special null vertex

*/

function BFS ()
  for v in G1
    if Pair_G1[v] == NIL
      Dist[v] = 0
      Enqueue(Q,v)
    else
      Dist[v] = ∞
  Dist[NIL] = ∞
  while Empty(Q) == false
    v = Dequeue(Q)
    for each u in Adj[v]
      if Dist[ Pair_G2[u] ] == ∞
        Dist[ Pair_G2[u] ] = Dist[v] + 1
        Enqueue(Q,Pair_G2[u])
  return Dist[NIL] != ∞

function DFS (v)
  if v != NIL
    for each u in Adj[v]
      if Dist[ Pair_G2[u] ] == Dist[v] + 1
        if DFS(Pair_G2[u]) == true
          Pair_G2[u] = v
          Pair_G1[v] = u
          return true
    Dist[v] = ∞
    return false
  return true

function Hopcroft-Karp
  for each v in G
    Pair_G1[v] = NIL
    Pair_G2[v] = NIL
  matching = 0
  while BFS() == true
    for each v in G1
      if Pair_G1[v] == NIL
        if DFS(v) == true
          matching = matching + 1
  return matching

Մանրամասներ

• Ahuja, Ravindra K.; Magnanti, Thomas L.; Orlin, James B. (1993), Network Flows: Theory, Algorithms and Applications, Prentice-Hall.
• Alt, H.; Blum, N.; Mehlhorn, K.; Paul, M. (1991), «Computing a maximum cardinality matching in a bipartite graph in time $\scriptstyle {\mathcal {O}}\left(n^{1.5}{\sqrt {\frac {m}{\log n}}}\right)$», Information Processing Letters, 37 (4): 237–240, doi:10.1016/0020-0190(91)90195-N.
• Bast, Holger; Mehlhorn, Kurt; Schafer, Guido; Tamaki, Hisao (2006), «Matching algorithms are fast in sparse random graphs», Theory of Computing Systems, 39 (1): 3–14, doi:10.1007/s00224-005-1254-y.
• Blum, Norbert (2001), A Simplified Realization of the Hopcroft-Karp Approach to Maximum Matching in General Graphs, Tech. Rep. 85232-CS, Computer Science Department, Univ. of Bonn.
• Chang, S. Frank; McCormick, S. Thomas (1990), A faster implementation of a bipartite cardinality matching algorithm, Tech. Rep. 90-MSC-005, Faculty of Commerce and Business Administration, Univ. of British Columbia. As cited by Setubal (1996).
• Darby-Dowman, Kenneth (1980), The exploitation of sparsity in large scale linear programming problems – Data structures and restructuring algorithms, Ph.D. thesis, Brunel University. As cited by Setubal (1996).
• Edmonds, Jack (1965), «Paths, Trees and Flowers», Canadian J. Math, 17: 449–467, doi:10.4153/CJM-1965-045-4, MR 0177907.
• Gabow, Harold N.; Tarjan, Robert E. (1991), «Faster scaling algorithms for general graph matching problems», Journal of the ACM, 38 (4): 815–853, doi:10.1145/115234.115366.
• Hopcroft, John E.; Karp, Richard M. (1973), «An n^5/2 algorithm for maximum matchings in bipartite graphs», SIAM Journal on Computing, 2 (4): 225–231, doi:10.1137/0202019.
• Micali, S.; Vazirani, V. V. (1980), «An $\scriptstyle O({\sqrt {|V|}}\cdot |E|)$ algorithm for finding maximum matching in general graphs», Proc. 21st IEEE Symp. Foundations of Computer Science, էջեր 17–27, doi:10.1109/SFCS.1980.12.
• Motwani, Rajeev (1994), «Average-case analysis of algorithms for matchings and related problems», Journal of the ACM, 41 (6): 1329–1356, doi:10.1145/195613.195663.
• Setubal, João C. (1993), «New experimental results for bipartite matching», Proc. Netflow93, Dept. of Informatics, Univ. of Pisa, էջեր 211–216. As cited by Setubal (1996).
• Setubal, João C. (1996), Sequential and parallel experimental results with bipartite matching algorithms, Tech. Rep. IC-96-09, Inst. of Computing, Univ. of Campinas.