Կավարի տեսություն

Կավարի տեսություն, մաթեմատիկայի բաժին, որն ուսումնասիրում է մասնակի կարգավորված բազմությունների հանրահաշվական հատկությունները։ Կամայական ոչ դատարկ $A$ բազմության վրա որոշված երկտեղանի $\leqslant$ հարաբերությունը կոչվում է մասնակի կարգ, իսկ {$A,\leqslant$} համակարգը՝ մասնակի կարգավորված բազմություն, եթե $A$-ի կամայական $a,b,c$ տարրերի համար բավարարված են հետևյալ պայմանները.

1. $a\leqslant a$,
2. եթե $a\leqslant b$ և $b\leqslant c$, ապա $a\leqslant c$,
3. եթե a\leqslant b և $b\leqslant a$, ապա $a=b$։

Եթե $a\leqslant b$, բայց $a$-ն հավասար չէ $b$-ին, ապա ասում են, որ $a$-ն խիստ փոքր է $b$-ից և նշանակում՝ $a<b$։ $A$ բազմությունը կոչվում է {$A,\leqslant$} համակարգի հիմք։ Վերջավոր հիմք ունեցող մասնակի կարգավորված բազմությունը երբեմն հարմար է ներկայացնել գծագրի միջոցով՝ տարրերը տեղադրելով շերտ առ շերտ վարից վեր ըստ աճի և միմյանց միացնելով այն տարրերը, որոնք հարևան են ըստ կարգի, օրինակ՝ {$A,\leqslant$} համակարգը կոչվում է կավար, եթե $A$-ի կամայական $a,b$ տարրերի համար բավարարված են հետևյալ երկու պայմանները՝

ա. գոյություն ունի $A$-ին պատկանող $a,b$ տարրերի ճշգրիտ վերին կոպարը ըստ $\leqslant$ հարաբերության

բ. գոյություն ունի $A$-ին պատկանող $a,b$ տարրերի ճշգրիտ ստորին կոպարը ըստ $\leqslant$ հարաբերության

$a,b$ տարրերի ճշգրիտ վերին կոպարը սովորաբար նշանակում են $a\vee b$, իսկ ստորինը՝ $a\wedge b$։ {$A,\leqslant$} համակարգը կոչվում է վերին կիսակավար, եթե բավարարում է միայն ա. պայմանին, և ստորին կիսակավար, եթե բավարարում է միայն բ. պայմանին։ Գծագրում պատկերված համակարգը վերին կիսակավար է, բայց կավար չէ, որովհետև α և φ տարրերը չունեն ճշգրիտ ստորին կոպար։ Կավարի օրինակ է բոլոր բնական թվերի բազմությունը իր բնական կարգի հետ միասին, այդ դեպքում՝ $a\vee b=max(a,b)$, $a\wedge b=min(a,b)$։ Կավարը կոչվում է լրիվ, եթե նրա հիմքի յուրաքանչյուր ոչ դատարկ ենթաբազմություն ունի թե՝ ճշգրիտ վերին և թե՝ ճշգրիտ ստորին կոպար։ Վերջավոր հիմքով կավարները միշտ լրիվ են։ Բնական թվերով վերոհիշյալ կավարը լրիվ չէ։ $[a,b]$ հատվածը, որտեղ $a,b$-ն իրական թվեր են և $a<b$, իր բնական կարգի հետ միասին կազմում է լրիվ կավար։ Եթե {$A,\leqslant$} մասնակի կարգավորված բազմության համար գոյություն ունի այնպիսի $a\in A$ տարր, որ կամայական $b\in A$ բավարարում է $b\leqslant a$ պայմանին, ապա $a$-ն կոչվում է {$A,\leqslant$} համակարգի առավելագույն տարր։ Հանգունորեն սահմանվում է նվազագույն տարրը։ Գծագրում $\delta$-ն առավելագույն տարր է, իսկ նվազագույն տարր գոյություն չունի։ Առավելագույն տարրը նշանակում են $1$ նշանով, նվազագույնը՝ $0$ նշանով։ Եթե $a\in A$ և գոյություն չունի այնպիսի $b\in A$, որ $a<b$, ապա $a$ տարրը անվանում են մաքսիմալ։ Նման ձևով սահմանվում է մինիմալ տարրը։ Գծագրում $\delta$-ն մաքսիմալ տարր է, իսկ $\alpha$ և $\varphi$ տարրերը՝ մինիմալ։

Կավարը կոչվում է բաշխական, եթե նրա կամայական $a,b,c$ տարրերի համար տեղի ունի $a\land (b\vee c)=(a\land b)\vee (a\land c)$ առընչություն։ Կավարի տեսությունում մեծ դեր են խաղում այնպիսի կավարները (կոչվում են լրացումներով կավարներ), որոնք բաշխական են, ունեն $0$ և $1$, յուրաքանչյուր $a\in A$ տարրին համապատասխանում է այնպիսի ${\bar {a}}\in A$ տարր, որ $a\vee {\bar {a}}=1$ և $a\land {\bar {a}}=0$։ Լրացումներով բաշխական կավարները, որ կոչվում են բուլյան կավարներ (նաև բուլյան հանրահաշիվներ), Կավարի տեսության խորապես զարգացած բաժիններից են և լայն կիրառություններ ունեն մաթեմատիկայի տարբեր բնագավառներում, տեխնիկայում։ Պարզագույն բուլյան կավարների հիմքը բաղկացած է միայն երկու տարրից՝ $0,1$, և կոչվում է երկարժեք բուլյան հանրահաշիվ։ Կավարի տեսության գաղափարներն ու մեթոդները լայն կիրառություններ են գտել հանրահաշվի մաթեմատիկական տրամաբանության, պրոյեկտիվ և աֆինական երկրաչափությունների, չափի տեսության, ֆունկցիոնալ անալիզի, տոպոլոգիայի, հավանականությունների տեսության, քվանտային ու ալիքային մեխանիկայի, հարաբերականության տեսության մեջ։ Պատմականորեն կավարների ուսումնասիրությունն սկսել է անգլիական մաթեմատիկոս Ջորջ Բուլը 1847-ին, որը հետագայում բուլյան հանրահաշիվ կոչված կավարների հատկությունները կիրառել է իր ստեղծած ասույթների տրամաբանության մեջ։ Կավարի գաղափարի արդի սահմանումը տվել է գերմանական մաթեմատիկոս Էրնստ Շրյոդերը, 1890-ին։

Գրականություն

• Բիրկգոֆ Գ., «Теория Структур», Մոսկվա, 1952
• Սկրոնյակով Լ. Ա., «Элементы теории структур», Մոսկվա, 1970
• Սիկորսկի Ռ., Булевы алгебры, пер.с англ., Մոսկվա, 1969

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 5, էջ 280)։