Խորանարդ աստիճանի արմատ

Խորանարդ արմատ a-ից, նշվում է որպես ${\sqrt[{3}]{a}}$ կամ a^1/3, x թիվն է, որի խորանարդը հավասար է a։ Այլ կերպ ասած՝ դա $x^{3}=a$ հավասարման լուծումն է (սովորաբար ենթադրվում են իրական լուծումներ)։

$y={\sqrt[{3}]{x}}$ ֆունկցիայի գրաֆիկը

Իրական արմատ

Խորանարդ արմատը կենտ ֆունկցիա է։ Ի տարբերություն քառակուսի արմատի՝ խորանարդ արմատ կարող է դուրս բերվել նաև բացասական թվերից (այնպես, որ ստացվի իրական արդյունք)․

${\sqrt[{3}]{-x}}=-{\sqrt[{3}]{x}}$

Կոմպլեքսային արմատ

Խորանարդ արմատը c կոմպլեքս թվից (ցանկացած թվից) ունի ուղիղ երեք իմաստ (n աստիճանի արմատի մասնավոր դեպք)․

${\sqrt[{3}]{c}}={\sqrt[{3}]{\left|c\right|}}\left(\cos {\frac {\phi +2k\pi }{3}}+i\sin {\frac {\phi +2k\pi }{3}}\right),\quad k=0,1,2,\quad \phi =\arg {c}.$

Այստեղ ${\sqrt[{3}]{\left|c\right|}}$-ի տակ հասկացվում է հանրահաշվական արմատ $\left|c\right|$ թվից։

Մասնավոր դեպքեր․

${\sqrt[{3}]{1}}={\begin{cases}1\\\cos {\frac {2\pi }{3}}+i\sin {\frac {2\pi }{3}}=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\cos {\frac {2\pi }{3}}-i\sin {\frac {2\pi }{3}}=-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{cases}}$

${\sqrt[{3}]{-1}}={\begin{cases}-1\\\cos {\frac {\pi }{3}}+i\sin {\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\cos {\frac {\pi }{3}}-i\sin {\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{cases}}$

Երկու կոմպլեքս արժեքները խորանարդ արմատից ստացվում են իրական բանաձևերով․

${\sqrt[{3}]{x}}_{2,3}={\sqrt[{3}]{x}}\left(-{\frac {1}{2}}\pm i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)$

Այս արժեքները անհրաժեշտ է իմանալ խորանարդ աստիճանի հավասարումները ըստ Կարդնոյի բանաձևի լուծելու համար։

Դրական տեսք

Կոմպլեքս թվի արմատը կարելի է որոշել հետևյալ բանաձևով․

$x^{1/3}=\exp({\tfrac {1}{3}}\ln {x})$,

որտեղ ln բնական հիմքով լոգարիթմն է։

Եթե $x$ ներկայացնենք հետևյալ տեսքով՝

$x=r\exp(i\theta )$,

այդ դեպքում խորանարդ աստիճանի արմատի բանաձևը կընդունի հետևյալ տեսքը․

${\sqrt[{3}]{x}}={\sqrt[{3}]{r}}\exp({\tfrac {1}{3}}i\theta )$

Դա երկրաչափորեն նշանակում է, որ բևեռային կոորդինատներում մենք վերցնում ենք խորանարդ շառավղով արմատը և բևեռային անկյունը բաժանում երեք մասի, որպեսզի որոշենք խորանարդ աստիճանի արմատը։ Նշանակում է, որ եթե $x$-ը կոմպլեքս թիվ է, ապա ${\sqrt[{3}]{-8}}$ հավասար չի լինի $-2$, այլ հավասար կլինի $1+i{\sqrt {3}}$։

Հետաքրքիր փաստեր

Խորանարդ արմատը չի կարող լուծվել կարկինի և քանոնի օգնությամբ։ Դա է պատճառը, որ անլուծելի խնդիրները հասարակ խնդիրներ են՝ խորանարդի կրկնապատկում, անկյան տրիսեկցիա, ինչպես նաև կանոնավոր յոթանկյան կառուցում։

Նյութերի հաստատուն խտության դեպքում երկու մարմիններ հարաբերում են միմյանց, ինչպես նրանց զանգվածների խորանարդ արմատը։ Այսինքն, եթե մի ձմերուկը կշռում է երկու անգամ ավելի, քան մյուսը, ապա դրա տրամագիծը մեկ քառորդից միայն մի փոքր ավելի կլինի, քան մյուսինը, և առաջին հայացքից կթվա, թե զանգվածների տարբերությունը էական չէ։ Ուստի կշեռքի բացակայության դեպքում (աչքաչափով առևտրի ժամանակ) սովորաբար ավելի ձեռնտու է գնել մեծ պտուղը։

Տես նաև

• Արմատ (մաթեմատիկա)
• Քառակուսի արմատ

Արտաքին հղումներ

• Cube root at Wolfram MathWorld