Լեբեգի ինտեգրալ, արդի մաթեմատիկայի հիմնական հասկացություններից[1]։ Դիցուք հատվածի որևէ չափելի տրոհում է, այսինքն բազմությունները չափելի են (տես Չափ բազմության), զույգ առ զույգ չեն հատվում և նրանց գումարը -ն է։

Ինտեգրումը ըստ Ռիմանի (վերև) և ըստ Լեբեգի (ներքև)

-ը կոչվում է պարզ ֆունկցիա, եթե -ի վրա հաստատուն է, ասենք, հավասար է : -ի Լեբեգի ինտեգրալը կոչվում է արտահայտությունը և նշանակվում՝ (-ն լեբեգյան չափն է)։ Եթե -ը ոչ բացասական և չափելի ֆունկցիա է, ապա ըստ սահմանման , որտեղ supremum-ը վերցվում է բոլոր հնարավոր չափելի պարզ ֆունկցիաների դասում։

Քանի որ կամայական չափելի -ը ներկայացվում է ոչ բացասական չափելի ֆունկցիաների տարբերությամբ՝ , ապա -ի Լեբեգի ինտեգրալ են անվանում արտահայտությունը ( դեպքը բացառվում է) և նշանակում՝ կամ : Լեբեգի ինտեգրալի այս սահմանումը պիտանի է շատ ավելի ընդհանուր իրավիճակում, մասնավորապես, եթե -ն փոխարինվի բազմություններով։ Այս դեպքում ստացվող ընդհանրացումները պարունակում են Ռիմանի բացարձակ զուգամետ (բայց ոչ պայմանական) անիսկական ինտեգրալները։ Ռիմանի իմաստով ինտեգրելի ֆունկցիան ինտեգրելի է նաև Լեբեգի իմաստով (հակառակը ճիշտ չէ) և այդ ինտեգրալները համընկնում են։ Եթե վերջավոր է, ապա -ը կոչվում է հանրագումարելի ֆունկցիա։ Մաթեմատիկական առօրյայում հանդիպող բոլոր սահմանափակ ֆունկցիաները հանրագումարելի են։ Լեբեգի ինտեգրալի հիմնական արժանիքներից է այն, որ բավական «ճկուն» է սահմանային գործողություններ կատարելիս։ Օրինակ, եթե ֆունկցիաները հանրագումարելի են, եթե , ապա -ը նույնպես հանրագումարելի է և :

Լեբեգի ինտեգրալը զգալիորեն լայնացրեց դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի հիմնական՝ նախնական ֆունկցիան գտնելու բանաձևի շրջանակները

Տես նաևԽմբագրել

ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. Lebesgue, Henri (1904). «Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives». Paris: Gauthier-Villars.
Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 4, էջ 510