Ընդհանրացված ֆունկցիա

Ընդհանրացված ֆունկցիա, ֆունկցիայի դասական գաղափարն ընդհանրացնող մաթեմատիկական հասկացություն, որի հիմքում ընկած է այն փաստը, որ ամեն մի $x\in R^{n}$ կետի շրջակայքում ըստ Լեբեգի ինտեգրելի $f(x)$ ֆունկցիան $(f\in L_{1}(loc))$ որոշվում է (համարյա ամենուրեք), եթե հայտնի են $\int \limits f\varphi d_{x}$ ինտեգրալների արժեքները «փորձնական» ${\varphi }$ ֆունկցիաների որոշակի $D={\varphi }$ բազմության վրա։ Ընդհանրացված ֆունկցիաների տեսությունն առավել բեղմնավոր է ստացվում, երբ $D$-ն այն անվերջ դիֆերենցելի ֆունկցիաների բազմությունն է, որոնցից յուրաքանչյուրը որոշակի $R_{\varphi }$ շառավղով գնդից դուրս հավասար է զրոյի, իսկ

$\varphi _{n}\rightarrow \varphi \qquad (\varphi _{n},\varphi \in D)$

$n\rightarrow \infty$

զուգամիտությունը նշանակում է, որ բոլոր $\varphi _{n}$–երը հավասար են զրոյի միևնույն $R$ շառավղով գնդից դուրս և բոլոր ${\frac {\partial ^{k}\varphi _{n}}{\partial ^{\alpha _{1}....}\partial ^{\alpha _{n}}}}=D^{\alpha }\partial _{n}$ ածանցյալները հավասարաչափ զուգամիտում են։ Այդ դեպքում $D$-ն գծային տոպոլոգիական (հաշվելի–նորմավորված) տարածություն է և հետևաբար կարելի է դիտարկել նրա համալուծ տարածությունը, այսինքն՝ $f:D\rightarrow R$ գծային (անընդհատ) ֆունկցիոնալների տարածությունը։ Յուրաքանչյուր այդպիսի $f(\varphi )$ ֆունկցիոնալ կոչվում է ընդհանրացված ֆունկցիա։ Ընդ որում $f(\varphi )$ի փոխարեն ընդունված է գրել նաև $(f,\varphi )$: Այսպիսով, ընդհանրացված ֆունկցիան որոշված է $D$ փորձնական ֆունկցիաների դասում և ընդունում է իրական արժեքներ, իսկ $(f\in L_{1}(loc))$ դասական ֆունկցիաները $D'$–ի մեջ են ընդգրկվում այն իմաստով, որ համապատասխան $(f,\varphi )$ ընդհանրացված ֆունկցիան կարելի է սահմանել $(f,\varphi )=\int \limits f\varphi d_{x}$ բանաձևով, քանի որ աջ մասը պատկանում է $D'$–ին։$D'$–ը շատ լայն դաս է։ Մասնավորապես այդ դասին է պատկանում ֆիզիկայում հայտնի $\delta (x-x_{0})$ Դիրակի ֆունկցիան, այսինքն՝ $(\delta (x-x_{0}),\varphi )=\varphi (x_{0})$ ֆունկցիոնալը։ $D^{\alpha }f,(f\in D')$ սահմանվում է որպես $(D^{\alpha }f,\varphi )=(f,(-1)^{|x|}D^{\alpha }\varphi )$ ֆունկցիոնալ, ուստի ընդհանրացված ֆունկցիաներն ունեն բոլոր կարգի ածանցյալներ։ Ընդհանրացված ֆունկցիայի այս գաղավւարը մտցրել է Ս. Լ. Սոբոլևը, իսկ նրա հետագա զարգացումը և կիրառությունները կապված են առաջին հերթին Լ. Շվարցի անվան հետ։ Ընդհանրացված ֆունկցիայներն այժմ լայն կիրառություն են գտել մաթեմատիկայում և ֆիզիկայում՝ մասնավորապես քվանտային տեսության մեջ։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 4, էջ 105)։