Երեք խորանարդների խնդիր

Երեք խորանարդների խնդիր, խնդիր, որի նպատակը $x^{3}+y^{3}+z^{3}=w^{3}\,$ հավասարման լուծում հանդիսացող բոլոր ամբողջ թվերը գտնելն է։

Հատկանշական է, որ չնայած առաջարկվում է այս հավասարման մի քանի լուծում ռացիոնալ թվերի դեպքում, դրա լուծումն անհայտ է ամբողջ թվերի դեպքում։

Ամբողջ թվերով լուծման օրինակներ

Ամենափոքր բնական լուծումներ.

$3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}$

$1^{3}+6^{3}+8^{3}=9^{3}$

$3^{3}+10^{3}+18^{3}=19^{3}$

$7^{3}+14^{3}+17^{3}=20^{3}$

$4^{3}+17^{3}+22^{3}=25^{3}$

$18^{3}+19^{3}+21^{3}=28^{3}$

$11^{3}+15^{3}+27^{3}=29^{3}$

$2^{3}+17^{3}+40^{3}=41^{3}$

$6^{3}+32^{3}+33^{3}=41^{3}$

$16^{3}+23^{3}+41^{3}=44^{3}$

Բացասական թվերով լուծումներ.

$-1^{3}+9^{3}+10^{3}=12^{3}$

$-2^{3}+9^{3}+15^{3}=16^{3}$

$-2^{3}+15^{3}+33^{3}=34^{3}$

$-2^{3}+41^{3}+86^{3}=89^{3}$

$-3^{3}+22^{3}+59^{3}=60^{3}$

Լրիվ ռացիոնալ պարամետրեր

Գոդֆրի Հարոլդ Հարդիի և Ռայթի լուծումը.

• $x=-a(b-3c)(b^{2}+3c^{2})+a^{4}$

  $y=\quad a(b+3c)(b^{2}+3c^{2})-a^{4}$

  $z=\quad a^{3}(b-3c)-(b^{2}+3c^{2})^{2}$

  $w=\quad a^{3}(b+3c)-(b^{2}+3c^{2})^{2}$

Ն. Էլկիես

${\begin{cases}x=d(-(s+r)t^{2}+(s^{2}+2r^{2})t-s^{3}+rs^{2}-2r^{2}s-r^{3}),\\y=d(t^{3}-(s+r)t^{2}+(s^{2}+2r^{2})t+rs^{2}-2r^{2}s+r^{3}),\\z=d(-t^{3}+(s+r)t^{2}-(s^{2}+2r^{2})t+2rs^{2}-r^{2}s+2r^{3}),\\w=d((s-2r)t^{2}+(r^{2}-s^{2})t+s^{3}-rs^{2}+2r^{2}s-2r^{3})\end{cases}}$

Գ. Ալեքսանդրով

${\begin{cases}x=x_{0}(x_{0}+y_{0})a^{2}+(w_{0}^{2}-z_{0}^{2})ab-y_{0}(w_{0}-z_{0})b^{2},\\y=y_{0}(x_{0}+y_{0})a^{2}-(w_{0}^{2}-z_{0}^{2})ab-x_{0}(w_{0}-z_{0})b^{2},\\z=z_{0}(x_{0}+y_{0})a^{2}-(y_{0}^{2}-x_{0}^{2})ab+w_{0}(w_{0}-z_{0})b^{2},\\w=w_{0}(x_{0}+y_{0})a^{2}-(y_{0}^{2}-x_{0}^{2})ab+z_{0}(w_{0}-z_{0})b^{2}\end{cases}}$

Լուծման այլ օրինակներ

Յուրի Լիննիկ, 1940

• $x=b(a^{6}-b^{6})$

  $y=a(a^{6}-b^{6})$

  $z=b(2a^{6}+3a^{3}b^{3}+b^{6})$

  $w=a(a^{6}+3a^{3}b^{3}+2b^{6})$

  $x=a^{2}(b^{6}-7)+9ac-3c^{2}$

  $y=a^{2}{\big [}b^{3}(2b^{3}+9)+7{\big ]}-3ac(2b^{3}+3)+3c^{2}$

  $z=a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}+3)+2{\big ]}-3abc(b^{3}+2)+3bc^{2}$

  $w=a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}+6)+11{\big ]}-3abc(b^{3}+4)+3bc^{2}$

  $x=3a^{2}(b^{6}-7)-9ac-c^{2}$

  $y=3a^{2}{\big [}b^{3}(2b^{3}-9)+7{\big ]}-3ac(2b^{3}-3)+c^{2}$

  $z=3a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}-6)+11{\big ]}-3abc(b^{3}-4)+bc^{2}$

  $w=3a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}-3)+2{\big ]}-3abc(b^{3}-2)+bc^{2}$

Ռոջեր Հեթ-Բրաուն [1], 1993 г.

• $x=9a^{4}$

  $y=3a-9a^{4}$

  $z=1-9a^{3}$

  $w=1$

Մորդել Լուիս Ջոուել, 1956 г.

• $x=9a^{3}b+b^{4}$

  $y=9a^{4}$

  $z=-b^{4}$

  $w=9a^{4}+3ab^{3}$

  $x=9a^{3}b-b^{4}$

  $y=9a^{4}-3ab^{3}$

  $z=b^{4}$

  $w=9a^{4}$

  $x=9a^{3}b+b^{4}$

  $y=9a^{3}b-b^{4}$

  $z=9a^{4}-3ab^{3}$

  $w=9a^{4}+3ab^{3}$

Հանրահաշվական երկրաչափության մեթոդով ստացած լուծումներ

• $x=3a\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)-9$

  $y=\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)^{2}-9a$

  $z=3\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)(a+b)+9$

  $w=\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)^{2}+9(a+b)$

Ռամանուջան

• $x=3a^{2}+5ab-5b^{2}$

  $y=4a^{2}-4ab+6b^{2}$

  $z=5a^{2}-5ab-3b^{2}$

  $w=6a^{2}-4ab+4b^{2}$

  $x=a^{7}-3a^{4}(1+b)+a(2+6b+3b^{2})$

  $y=2a^{6}-3a^{3}(1+2b)+1+3b+3b^{2}$

  $z=a^{6}-1-3b-3b^{2}$

  $w=a^{7}-3a^{4}b+a(3b^{2}-1)$

  $x=-a^{2}+9ab+b^{2}$

  $y=a^{2}+7ab-9b^{2}$

  $z=2a^{2}-4ab+12b^{2}$

  $w=2a^{2}+10b^{2}$

Անհայտ հեղինակ, 1825

• $x=a^{9}-3^{6}$

  $y=-a^{9}+3^{5}a^{3}+3^{6}$

  $z=3^{3}a^{6}+3^{5}a^{3}$

  $w=3^{2}a^{7}+3^{4}a^{4}+3^{6}a$

Դ. Լեմեր 1955

• $x=3888a^{10}-135a^{4}$

  $y=-3888a^{10}-1296a^{7}-81a^{4}+3a$

  $z=3888a^{9}+648a^{6}-9a^{3}+1$

  $w=1$

Վ. Բ. Լաբկովսկի

• $x=4b^{2}-11b-21$

  $y=3b^{2}+11b-28$

  $z=5b^{2}-7b+42$

  $w=6b^{2}-7b+35$

Էյլեր և Բինե

• $x=1-(a-3b)(a^{2}+3b^{2})$

  $y=-1+(a+3b)(a^{2}+3b^{2})$

  $z=-a-3b+(a^{2}+3b^{2})^{2}$

  $w=-a+3b+(a^{2}+3b^{2})^{2}$

Հարդի և Ռայթ

• $x=a(a^{3}-2b^{3})$

  $y=b(2a^{3}-b^{3})$

  $z=b(a^{3}+b^{3})$

  $w=a(a^{3}+b^{3})$

  $x=a(a^{3}-b^{3})$

  $y=b(a^{3}-b^{3})$

  $z=b(2a^{3}+b^{3})$

  $w=a(a^{3}+2b^{3})$

Գ. Ալեքսանդրով 1972

• $x=7a^{2}+17ab-6b^{2}$

  $y=42a^{2}-17ab-b^{2}$

  $z=56a^{2}-35ab+9b^{2}$

  $w=63a^{2}-35ab+8b^{2}$

  $x=7a^{2}+17ab-17b^{2}$

  $y=17a^{2}-17ab-7b^{2}$

  $z=14a^{2}-20ab+20b^{2}$

  $w=20a^{2}-20ab+14b^{2}$

  $x=21a^{2}+23ab-19b^{2}$

  $y=19a^{2}-23ab-21b^{2}$

  $z=18a^{2}+4ab+28b^{2}$

  $w=28a^{2}+4ab+18b^{2}$

  $x=3a^{2}+41ab-37b^{2}$

  $y=37a^{2}-41ab-3b^{2}$

  $z=36a^{2}-68ab+46b^{2}$

  $w=46a^{2}-68ab+36b^{2}$

  $x=-4a^{2}+22ab-9b^{2}$

  $y=36a^{2}-22ab+b^{2}$

  $z=40a^{2}-40ab+12b^{2}$

  $w=48a^{2}-40ab+10b^{2}$

Կորովև, 2012

• $x=-(2a^{2}-2ab-b^{2})cd^{3}-(a^{2}-ab+b^{2})^{2}c^{4}$

  $y=\quad (2a^{2}-2ab-b^{2})c^{3}d+(a^{2}-ab+b^{2})^{2}d^{4}$

  $z=\quad (a^{2}+2ab-2b^{2})c^{3}d-(a^{2}-ab+b^{2})^{2}d^{4}$

  $w=\quad (a^{2}+2ab-2b^{2})cd^{3}-(a^{2}-ab+b^{2})^{2}c^{4}$

որտեղ $a$, $b\,,\,c\,$ և $d$ — ցանկացած ամբողջ թիվ են։