Եռանկյան անհավասարություն

Եռանկյան անհավասարություն, երկրաչափության , ֆունկցիոնալ վերլուծության և դրանց առնչվող առարկաներում հեռավորության ինտուիտիվ հատկություններից մեկը: Այն պնդում է, որ եռանկյան ցանկացած կողմի երկարությունը միշտ փոքր է, քան մյուս 2 կողմերի երկարությունների գումարը: Եռանկյան անհավասարությունը չափային տարածության, նորմայի և այլնի սահմանման մեջ, ներառված է որպես աքսիոմ: Դա հաճախ նաև թեորեմ է հանդիսանում տարբեր տեսություններում:

x, y, z կողմերով եռանկյան մեջ (x + y)-ը միշտ մեծ է z -ից

Էվկլիդեսյան երկրաչափությունԽմբագրել

 
Էվկլիդեսյան երկրաչափության եռանկյան անհավասարության պացույց

Դիցուք՝ տրված է   և   ընդորում   ստացվում է միայն այն դեպքում, երբ եռանկյան մեջ   գտնվում է   և   կետերի միջև, մի ուղղի վրա։

BD- ն՝ AB- ի շարունակությունն է (ըստ կառուցման):Ընդորում, β> α և AD> AC: Սակայն AD = AB + BD = AB + BC, այնպես, որ AB + BC> AC: Այս ապացույցը բերվում է Էվկլիդեսի տեսությունում( Գիրք 1)[1]։

Ապացուցում է եռանկյան անհավասարությունը հետևյալ կերպ։ Նախ՝ ապացուցվում է թեորեմ այն մասին, որ եռանկյան արտաքին անկյունը մեծ է ներքին անկյունից, որը նրան կից չէ: Դրանից բխում է թեորեմ,որ եռանկյունու մեծ կողմի հանդիպակած անկյունը մեծ է։ Հետագայում, օգտագործելով հակառակ եղանակը, մենք ապացուցում ենք այն թեորեմը, որ եռանկյան ավելի մեծ ներքին անկյան դիմաց գտնվում է մեծ կողմը, և այս թեորեմից դուրս է բերում եռանկյան անհավասարությունը:

Նորմավորված տարածությունԽմբագրել

Դիցուք՝  ֊ն նորմավորված վեկտորական տարածությունն է, որտեղ  ֊ը կամայական բազմություն է իսկ  ֊ը  ֊ի վրա որոշված նորմ։ Այդ դեպքում ըստ վերջինիս սահմանման ճիշտ է հետևյալ անհավասարությունը․

 

Մետրիկական տարածությունԽմբագրել

Դիցուք՝  ֊ն մետրիկական տարածություն է, որտեղ  -ը կամայական բազմություն է, իսկ    -ի վրա որոշված մետրիկա։ Ըստ վերջինիս սահմանման

 

Տարբերակում և ընդհանրացումԽմբագրել

Եռանկյան հակառակ անհավասարությունԽմբագրել

Մետրական և նորմավորված տարածությունում եռանկյան անհավասարության հետևանքն է հանդիսանում հետևյալ անհավասարությունը․

  •  

Եռանկյան անհավասարությունը եռանիստ անկյան համարԽմբագրել

Ուռուցիկ եռանիստ անկյան յուրաքանչյուր հարթ անկյուն փոքր է մյուս երկու հարթ անկյունների գումարից։

Կետերի կամայական թիվԽմբագրել

Նշանակենք  ֊ով   և   կետերի հեռավորությունը։ Այդ դեպքում տեղի ունի հետևյալ անհավասարությունը՝  ։ Անհավասարությունը ստացվում է երեք կետերի համար եռանկյան անհավասարությունը հաջորդաբար կիրառելով․

 [2]

ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. David E. Joyce (1997)։ «Euclid's elements, Book 1, Proposition 20»։ Euclid's elements։ Dept. Math and Computer Science, Clark University։ Վերցված է 2010-06-25 
  2. Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Физматлит, 1961. — C. 28