Գծային համակարգ

Գծային համակարգերի շարժման ըստ կարևորության ղեկավարելիության մասին

Դիտարկենք հետևյալ դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգը՝

${{\dot {x}}_{j}}(t)=\sum \limits _{s=1}^{n}{{a_{js}}(t){x_{s}}}+\sum \limits _{i=1}^{k}{\alpha _{i}}\left({\sum \limits _{s=1}^{r_{i}}{b_{js}^{(i)}(t)u_{s}^{(i)}}}\right)\quad \quad (j=1,...,n)$(1.1)

Սահմանենք (1.1) համակարգի լրիվ ղեկավարելիությունը։

Սահմանում [1]։ (1.1) համակարգը կանվանենք լրիվ ղեկավարելի $\left[{{t_{0}},{t_{1}}}\right]$ ժամանակահատվածի վրա, եթե $\{{u^{(1)}},\ldots ,{u^{(k)}}\}$ ղեկավարումների համախմբությունից կարելի է գտնել այնպիսի ղեկավարումներ, որոնց ազդեցությամբ (1.1) համակարգը կամայական $x({t_{0}})$ սկզբնական դիրքից կարելի է տեղափոխել կամայական $x({t_{1}})$ վերջնական դիրք։

(1.1) համակարգի ղեկավարելիության ուսումնասիրության համար նպատակահարմար է կատարել հետևյալ նշանակումները [1]

$B(t,\alpha )=(\alpha _{1}B^{(1)}(t),\ldots ,\alpha _{k}B^{(k)}(t)),\,U=\left({\begin{array}{c}u^{(1)}\\\vdots \\u^{(k)}\end{array}}\right)$(1.2)

Այստեղ $B(t,\alpha )$ մատրիցը ունի $(n\times r)$ չափողականություն, որտեղ $r={\underset {i=1}{\overset {k}{\sum }}}r_{i},\,\alpha$ պարամեարերի համախմբությունը, իսկ U վեկտոր-սյան չափողականությունը հավասար է r։

Հաշվի առնելով (1.2) նշանակումները (1.1) համակարգը կարելի է գրել հետևյալ տեսքով

${\dot {x}}=A(t)x+B(t,\alpha )U$(1.3)

Ենթադրենք $A(t)$ և $B(t,\alpha )$ մատրիցների էլեմենտները համապատասխանաբար ունեն ընդհուպ մինչև $(n-2)$–րդ և $(n-1)$–րդ կարգի անընդհատ ածանցյալներ ըստ t-ի, $\left[{{t_{0}},{t_{1}}}\right]$ հատվածի գոնե ինչ-որ $t={t_{*}}$ կետի շրջակայքում։ Այդ $t={t_{*}}$ կետի շրջակայքում ներմուծենք ${L_{k}}(t,\alpha )$ մատրիցները հետևյալ ռեկուրենտ (անդրադարձ) առնչություններով՝

${L_{1}}(t,\alpha )=B(t,\alpha ),\;{L_{j}}(t,\alpha )=A(t){L_{j-1}}(t,\alpha )-{\frac {d{L_{j-1}}(t,\alpha )}{dt}},\;(j=2,...,n)$(1.4)

Հետևաբար, համաձայն [2], (1.3) ոչ ստացիոնար համակարգի համար տեղի ունի հետևյալ թեորեմը (լրիվ ղեկավարելիության բավարար պայմանը) [1]

Թեորեմ 1: Դիցուք $\left[{{t_{0}},{t_{1}}}\right]$ հատվածում գոյություն ունի $t={t_{*}}$ կետ, որում

$K(t,\alpha )=\{{L_{1}}(t,\alpha ),\ldots ,{L_{n}}(t,\alpha )\}$(1.5)

մատրիցի ռանգը հավասար է n-ի։ Այդ դեպքում (1.3) համակարգը լրիվ ղեկավարելի է հատվածի վրա։

Եթե (1.3) համակարգը ստացիոնար է, այսինքն՝

${\dot {x}}=Ax+B(\alpha )U$(1.6)

ապա $K(t,\alpha )=K(\alpha )$ մատրիցը, համաձայն (1.4)-ի կընդունի հետևյալ պարզ տեսքը

$K(\alpha )=\{B(\alpha ),AB(\alpha ),\ldots ,{A^{n-1}}B(\alpha )\}$(1.7)

(1.5)-ը և (1.7)-ը Կալմանի մատրիցներն են համապատասխանաբար ոչ ստացիոնար՝ (1.3) և ստացիոնար՝ (1.6) համակարգերի համար։

Թեորեմ 2: Որպեսզի (1.6) ստացիոնար համակարգը լինի լրիվ ղեկավարելի կամայական $\left[{{t_{0}},{t_{1}}}\right]$ հատվածի վրա, անհրաժեշտ է և բավարար, որ ղեկավարելիության $K(\alpha )$ (1.7) մատրիցի ռանգը հավասար լինի n-ի։

Այս թեորեմների ապացույցը կատարվում է [2]-ում բերված համանման թեորեմների ապացույցների ձևով։

Հարկ է նշել, որ մի քանի ${u^{(i)}}\;(i=1,...,k)$ ղեկավարող ազդեցություններով համակարգի ղեկավարման հնարավորության դեպքում, լրիվ ղեկավարելիության հատկությունը ընդունում է առանձնահատուկ տեսք։

Որպես օրինակ դիտարկենք հետևյալ համակարգը

$\left\{{\begin{array}{c}{\dot {{x}_{1}}}=x_{1}+2x_{2}+\alpha _{1}u_{1}-\alpha _{2}u_{2}\\{\dot {{x}_{2}}}=2x_{1}+x_{2}+\alpha _{1}u_{1}-\alpha _{2}u_{2}\end{array}}\right.$(1.8)

Կազմենք այս համակարգի համար Կալմանի մատրիցները (երբ ${\alpha _{2}}=0,\;{\alpha _{1}}=0$ և միաժամանակ ${\alpha _{1}}\neq 0,\;{\alpha _{2}}\neq 0$ դեպքերում)։

$K_{1}(\alpha _{1})=\left({\begin{array}{cc}\alpha _{1}&3\alpha _{1}\\\alpha _{1}&3\alpha _{1}\end{array}}\right),\,$

$K_{2}(\alpha _{2})=\left({\begin{array}{cc}-\alpha _{2}&\alpha _{2}\\\alpha _{2}&-\alpha _{2}\end{array}}\right),\,$

$K(\alpha _{1},\alpha _{2})=\left({\begin{array}{cccc}\alpha _{1}&-\alpha _{2}&3\alpha _{1}&\alpha _{2}\\\alpha _{1}&\alpha _{2}&3\alpha _{1}&\alpha _{2}\end{array}}\right)$

Ղեկավարելիության մատրիցների տեսքերից երևում է, որ (1.8) համակարգը առանձին-առանձին ըստ ${u_{1}}$ ղեկավարման կամ ${u_{2}}$ ղեկավարման լրիվ ղեկավարելի չէ, քանի որ ${K_{1}}({\alpha _{1}})$ և ${K_{2}}({\alpha _{2}})$ մատրիցների ռանգերը հավասար չեն 2-ի։ Իսկ ${u_{1}}$ և ${u_{2}}$ ղեկավարումների միաժամանակ առկայության դեպքում $K({\alpha _{1}},{\alpha _{2}})$ մատրիցի ռանգը 2 է, այսինքն՝ (1.8) համակարգը ${u_{1}}$ և ${u_{2}}$ ղեկավարումների համախմբությամբ լրիվ ղեկավարելի է։

Արտաքին հղումներ

• Ֆեյնմանի դասախոսությունը գծային համակարգերի մասին

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 3, էջ 105)։