Գաուս-Զեյդելի մեթոդ

Գաուս-Զեյդելի մեթոդը (Զեյդելի մեթոդ, Լիբմանի պրոցես, հաջորդական փոխարինումների մեթոդ) հանդիսանում է դասական իտերացիոն մեթոդով հավասարումների համակարգի լուծում [1]։ Այն անվանվում է ի պատիվ Զեյդելի և Գաուսի։

Խնդրի դրվածքըԽմբագրել

Դիտարկենք հավասարումների համակարգը՝

 , где  

կամ

 

և ցույց տանք, թե ինչպես կարելի է լուծել այն Գաուս-Զեյդելի մեթոդով։

ՄեթոդըԽմբագրել

Մեթոդի էությունը պարզաբանելու համար առաջադրանքը գրենք հետևյալ տեսքով՝

 

Այստեղ  -րդ հավասարումում մենք աջ մաս տեղափոխեցինք բոլոր այն   անդամները, որտեղ բավարարում էր   պայմանը։ Այս գրառումը կարող է ներկայացվել հետևյալ ձևով՝

 

որտեղ ընդունված նշանակումներով  մատրից է, որում գլխավոր անկյունագծի վրա գրված են   մատրիցի համապատասխան անդամները, իսկ մնացած անդամները զրոներ են, այնինչ   և   մատրիցները պարունակում են   մատրիցի վերևի և ներքևի եռանկյունային մասերը, որոնց գլխավոր անկյունագծի վրա զրոներ են։ Գաուս-Զեյդելի մեթոդում իտերացիոն պրոցեսը ստեղծվում է հետևյալ բանաձևով՝

 

համապատասխան   սկզբնական մոտարկման ընտրությամբ։

Գաուս-Զեյդելի մեթոդը կարելի է դիտարկել որպես Յակոբիի մեթոդի մոդիֆիկացիա։ Մոդիֆիկացիայի հիմնական գաղափարը կայանում է նրանում, որ այստեղ   նոր արժեքները օգտագործվում են անմիջապես ստանալուց հետո, այնինչ Յակոբիի մեթոդում այն չի օգտագործվում մինչև հաջորդ իտերացիան՝

 

որտեղ

 

Այսպիսով,  -րդ կոմպոնենտի  -րդ մոտարկման հաշվարկը կատարվում է

 

բանաձևով։

Օրինակ,  -ի դեպքում`

 , այսինքն  
 , այսինքն  
 , այսինքն  

Զուգամիտության պայմանԽմբագրել

Բերենք զուգամիտության մեթոդի բավարար պայման։

  Թեորեմ.
Դիցուկ  , որտեղ   մատրիցն հակադարձ է   մատրիցին։ Այդ դեպքում ցանկացած   սկզբնական մոտարկման ընտրության դեպքում՝
  1. Գաուս-Զեյդելի մեթոդը զուգամիտում է,
  2. մեթոդի զուգամիտության արագությունը հավասար է երկրաչափական պրոգրեսիայի զուգամիտության արագությանը   հայտարարով,
  3. ճիշտ է   գնահատման սխալը։

Դադարեցման պայմանըԽմբագրել

Զեյդելի պրոցեսի իտերացիայի ավարտի պայմանը անհրաժեշտ   ճշգրտության դեպքում կրճատ ձևով ունի այսպիսի տեսք՝

 

Իտերացիոն պրոցեսի առավել ճշգրիտ պայմանը ունի այսպիսի տեսք՝

 

և պահանջում է ավելի շատ հաշվարկներ։ Այն բավականին հարմար է կտրտված մատրիցների համար։

Իրականացման օրինակ C++ - ումԽմբագրել

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

// Ավարտի պայման
bool converge(double xk[10], double xkp[10], int n, double eps)
{
	double norm = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++)
		norm += (xk[i] - xkp[i]) * (xk[i] - xkp[i]);
	return (sqrt(norm) < eps);
}

double okr(double x, double eps)
{
	int i = 0;
	while (eps != 1)
	{
		i++;
		eps *= 10;
	}
	int okr = pow(double(10), i);
	x = int(x * okr + 0.5) / double(okr);

	return x;
}

bool diagonal(double a[10][10], int n)
{
	int i, j, k = 1;
	double sum;
	for (i = 0; i < n; i++) {
		sum = 0;
		for (j = 0; j < n; j++) sum += a[i][j];
		sum -= a[i][i];
		if (sum > a[i][i]) 
		{
			k = 0; 
			cout << a[i][i] << " < " << sum << endl;
		}
		else
		{
			cout << a[i][i] << " > " << sum << endl;
		}
		

	}

	return (k == 1);

}

int main()
{
	setlocale(LC_ALL, "");

	double eps, a[10][10], b[10], x[10], p[10];
	int n, i, j, m = 0;
	int method;
	cout << "Մուտքագրել քառակուսի մատրիցի չափը՝ ";
	cin >> n;
	cout << "Մուտքագրել հաշվարկի ճշտությունը՝ ";
	cin >> eps;
	cout << "Մուտքագրել А մատրիցն՝ " << endl << endl;
	for (i = 0; i < n; i++)
		for (j = 0; j < n; j++)
		{
			cout << "A[" << i << "][" << j << "] = ";
			cin >> a[i][j];
		}
	cout << endl << endl;
	cout << " Ձեր А մատրիցն՝ " << endl << endl;
	for (i = 0; i < n; i++)
	{
		for (j = 0; j < n; j++)
			cout << a[i][j] << " ";
		cout << endl;
	}

	cout << endl;

	cout << "Լրացրեք ազատ անդամների սյունը՝ " << endl << endl;
	for (i = 0; i < n; i++)
	{
		cout << "В[" << i + 1 << "] = ";
		cin >> b[i];
	}

	cout << endl << endl;

	/*
	Քայլ մեթոդ, որտեղ:
	a[n][n] - մատրիցի գործակիցներն են
	x[n], p[n] - Ընթացիկ և նախորդ լուծումները
	b[n] - Աջ մասերի սյունը
	Բոլոր թվարկված զանգվածները իրական են և
	պետք է որոշված լինեն հիմնական ծրագրում,
	ինչպես նաև x[n] մասիվում անհրաժեշտ է լրացնել սկզբնական
	սյան լուծումի մոտարկումը (օրիակ, բոլորը զրոներ)
	*/

	for (int i = 0; i < n; i++)
		x[i] = 1;

	cout << "Անկյունագծային գերակշռություն՝ " << endl;
	if (diagonal(a, n)) {
		do
		{
			for (int i = 0; i < n; i++)
				p[i] = x[i];
			for (int i = 0; i < n; i++)
			{
				double var = 0;
				for (int j = 0; j < i; j++)
					var += (a[i][j] * x[j]);
				for (int j = i + 1; j < n; j++)
					var += (a[i][j] * p[j]);
				x[i] = (b[i] - var) / a[i][i];
			}
			m++;
		} while (!converge(x, p, n, eps));

		cout << "Համակարգի լուծում՝" << endl << endl;
		for (i = 0; i < n; i++) cout << "x" << i << " = " << okr(x[i], eps) << "" << endl;
		cout << "Իտերացիա՝ " << m << endl;
	}
	else {
		cout << "Չի կատարվում անկյունագծերի գերակշռություն։" << endl;
	}

	system("pause");
	return 0;
}

Իրականացման օրինակ Python - ումԽմբագրել

from math import sqrt
import numpy as np

def seidel(A, b, eps):
    n = len(A)
    x = [.0 for i in range(n)]

    converge = False
    while not converge:
        x_new = np.copy(x)
        for i in range(n):
            s1 = sum(A[i][j] * x_new[j] for j in range(i))
            s2 = sum(A[i][j] * x[j] for j in range(i + 1, n))
            x_new[i] = (b[i] - s1 - s2) / A[i][i]

        converge = sqrt(sum((x_new[i] - x[i]) ** 2 for i in range(n))) <= eps
        x = x_new

    return x

Տես նաևԽմբագրել

ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. Ա․Գ․ Կուրոշ, Բարձրագույն հանրահաշվի դասընթաց, «Լույս» հրատարակչություն, Երևան, 1965

Արտաքին հղումներԽմբագրել