Բերտրանի պարադոքս

Բերտրանի պարադոքս, հավանականության տեսության դասական սահմանման խնդիրը։ Ժոզեֆ Բերտրանն իր Calcul des probabilités (1888) աշխատության պարադոքսը նկարագրեց որպես օրինակ, որ հավանականությունը չի կարող հստակ սահմանվել, մինչև պատահական փոփոխականի ընտրության մեխանիզմը կամ մեթոդը որոշված չլինի^[1]։

Բերտրանի ձևակերպումը խմբագրել

Բերտրանի պարադոքսը հետևյալն է. Դիտարկեք շրջանագծին ներգծված հավասարակողմ եռանկյուն։ Շրջանի լարը ընտրվում է պատահականության սկզբունքով։ Ո՞րքան է հավանականությունը, որ ընտրված լար ավելի երկար է, քան եռանկյան կողմը։ Բերտրանն առաջարկեց երեք լուծում, որոնք ակնհայտորեն ճիշտ են, բայց ունեն տարբեր արդյունքներ։

1 -ին մեթոդով ընտրված պատահական աղեղնե, կարմիրներն երկար են եռանկյան կողմից, իսկ կապույտները՝ կարճ։

«Պատահական ծայրերի» մեթոդը. շրջանագծի վրա պատահականորեն ընտրեք երկու կետ և տանենք նրանց միացնող լարը։ Փնտրվող հավանականությունը հաշվարկելու համար պատկերացրեք, որ եռանկյունը տարված է այնպես, որ նրա գագաթներից մեկը համընկնում է լարի ծայրակետերից մեկի հետ։ Նկատենք, որ եթե լարի մյուս ծայրը ընկած է եռանկյան երկու այլ գագաթների միջև եղած աղեղի վրա, ապա լարի երկարությունը ավելի մեծ է, քան եռանկյան կողմը։ Դիտարկվող աղեղի երկարությունը հավասար է շրջագծի մեկ երրորդին, դասական սահմանումից հետո` փնտրվող հավանականությունը կլինի՝ ${\frac {1}{3}}$ ։
2-րդ մեթոդով ընտրված պատահական աղեղներ
«Պատահական շառավղի» մեթոդը. վերցնենք շրջանագծի որևէ շառավիղ, նրա վրա պատահականորեն ընտրեք մի կետ։ Կառուցեք նշված կետով անցնող և այդ շառավղին ուղղահայաց լար։ Որոնելի հավանականությունը գտնելու համար պատկերացրեք, որ եռանկյունը անցնում է այնպես, որ նրա կողմերից մեկը ուղղահայաց լինի նշված շառավղին։ Աղեղն ավելի երկար է, քան եռանկյան կողմը, եթե նրա կենտրոնը ավելի մոտ է շրջանի կենտրոնին, քան տրված շառավղի և եռանկյան հատման կետը։ Եռանկյան կողմը կիսում է շառավիղը, հետևաբար այն բանի հավանականությունը, որ աղեղի երկարությունը մեծ է եռանկյան կողմի երկարությունից կլինի՝ ${\frac {1}{2}}$ ։
3-րդ մեթոդով ընտրված պատահական աղեղներ
«Պատահական կենտրոնի» մեթոդը. շրջանագծի ներսում պատահականորեն ընտրեք մի կետ, տանենք աղեղ, այնպես, որ այդ կետը լինի նրա կենտրոնը։ Աղեղն ավելի երկար կլինի, քան հավասարակողմ եռանկյան կողմը, եթե ընտրված կետը գտնվի եռանկյանը ներգծված շրջանագծի ներսում։ Ներգծված շրջանագծի մակերեսը մեծի շրջանագծի մակերեսի 1/4 -ն է, ուստի որոնելի հավանականությունը կլինի՝ ${\frac {1}{4}}$ ։

Մեթոդի ընտրությունը կարող է ներկայացվել նաև հետևյալ կերպ, աղեղը միանշանակ սահմանվում է իր կենտրոնով։ Վերոնշյալ երեք մեթոդներն էլ տալիս են կենտրոնի տարբեր դիրքեր։ 1 -ին և 2 -րդ մեթոդները ներկայացնում են երկու տարբեր անհամաչափ բաշխումներ, իսկ երրորդ մեթոդը տալիս է համաչափ բաշխում։ Մյուս կողմից, եթե նայեք ստորև նշված պատկերներին, կնկատեք, որ 2 -րդ մեթոդի ակղեղները տալիս են համաչափ ներկված շրջան, իսկ 1 -ին և 3 -րդ մեթոդները նման պատկեր չեն տալիս։

Աղեղների կենտրոններն ընտրված են պատահական։ Մեթոդ 1	Աղեղների կենտրոններն ընտրված են պատահական։ Մեթոդ 2	Աղեղների կենտրոններն ընտրված են պատահական։ Մեթոդ 3
Պատահականորեն ընտրված աղեղներ: Մեթոդ 1	Պատահականորեն ընտրված աղեղներ: Մեթոդ 2	Պատահականորեն ընտրված աղեղներ: Մեթոդ 3

Դասական լուծում խմբագրել

Խնդրի դասական լուծումը կախված է այն մեթոդից, որով ընտրվում է աղեղը։ Խնդիրն ունի կոնկրետ և որոշակի լուծում, միայն այն դեպքում, երբ տրված է աղեղի ընտրության մեթոդը։ Ընտրության մեթոդը եզակի չէ, ուստի լուծում ևս ունի տարբեր տարբերակներ։ Բերտրանի ներկայացրած երեք լուծումները համապատասխանում են աղեղի ընտրության տարբեր մեթոդներին, և լրացուցիչ տեղեկությունների բացակայության դեպքում նրանցից որևէ մեկը նախընտրելու պատճառ չկա։ Հավանականության դասական սահմանման այս և այլ պարադոքսներն արդարացնում են ավելի խիստ ձևակերպումներ, ներառյալ հաճախականության հավանականությունները և սուբյեկտիվ Բայեսյան հավանականությունները։

Ջեյնսի լուծումը՝ անորոշության սկզբունքի կրառությունով խմբագրել

Էդվին Ջեյնսը 1973 թվականին «Կոռեկտ առաջադրված խնդիր» աշխատությունում^[2] առաջարկեց Բերտրանի պարադոքսի լուծումը՝ հիմնված անորոշության սկզբունքի վրա, մենք չպետք է օգտագործենք այն տեղեկությունները, որոնք տրված չեն պայմանի մեջ։ Ջեյնսը մատնանշեց, որ Բերտրանի խնդիրը չի նշում շրջանի դիրքը կամ չափը, և պնդեց, որ նման դեպքում ցանկացած ճշգրիտ և օբյեկտիվ լուծում պետք է «անտարբեր» լինի չափի և դիրքի նկատմամբ։ Այլ կերպ ասած, լուծումը պետք է անփոփոխ լինի չափերի և փոխակերպումների նկատմամբ։

Տեսանելի լինելու համար վերցնենք այնպես, որ աղեղները պատահականորեն ընկած են 2 տրամագծով շրջանագծի մեջ (կարծես շրջանի վրա հեռվից ձողեր են նետվել)։ Այնուհետև ավելի փոքր տրամագծով մեկ այլ շրջան (օրինակ ՝ 1.1) տեղադրվում է ավելի մեծի վրա։ Այդ դեպքում փոքր և մեծ շրջանների վրա աղեղների դիրքը նույնը լինի։ Եթե ավելի փոքր շրջան եք տեղափոխում ավելի մեծի վրա, հավանականությունը չպետք է փոխվի։ Սա պետք է հստակ արտահայտվի 3 -րդ մեթոդի փոփոխությունների դեպքում. փոքր շրջանակի մեջ աղեղների բաշխումը կարող է որակապես այլ տեսք ունենալ, քան բաշխումը մեծ շրջանում։

Նույն իրավիճակն է 1 -ին մեթոդի դեպքում, թեև այն ավելի բարդ է գրաֆիկական առումով։ Միայն 2 -րդ մեթոդն է անփոփոխ թե՛ ծավալային, թե՛ տրանսֆորմացիոն առումով, 3 -րդն ունի միայն ծավալային անփոփոխություն, իսկ 1 -ինը՝ ոչ մեկը։

Այնուամենայնիվ, Ջեյնսը ոչ միայն անփոփոխություն օգտագործում այս մեթոդներն ընդունելու կամ մերժելու համար, այլ հնարավոր էր համարում դեռևս չբնութագրված մեթոդի գոյությունը, որը կհամապատասխանի ողջամտության չափանիշներին։ Ջեյնսը օգտագործեց ինտեգրալ հավասարումներ` անփոփոխությունը նկարագրելու համար` ճշգրիտ որոշելու բաշխման հավանականությունը։ Այս խնդրի համար ինտեգրալ հավասարություններն իսկապես ունեն միակ լուծում, ինչպես վերը նշվածում կոչված է 2 -րդ կամ պատահական շառավիղի մեթոդ։

Ֆիզիկական փորձեր խմբագրել

Մեթոդ 2 -ը փոխակերպման անփոփոխության միակ լուծումն է, որն առկա է որոշ ֆիզիկական համակարգերում (օրինակ ՝ գազերի վիճակագրական մեխանիկա և ֆիզիկա), ինչպես նաև Ջեյնսի առաջարկած փորձի մեջ՝ հեռվից շրջանի վրա պատահականորեն ձողեր նետելը։ Բայց կարող են կատարվել այլ փորձեր ինչ -որ մեկի կողմից, որոնք արդյունք կտան այլ մեթոդների համար։ Օրինակ 1 -ին ՝ պատահական ծայրերի մեթոդի լուծմանը հասնելու համար, կարող եք պտտվող ցուցիչը ամրացնել շրջանագծի կենտրոնին և թույլ տալ, որ երկու անկախ պտույտի արդյունքները նշեն աղեղների սկզբի և վերջի կետերը։ 3 -րդ մեթոդի լուծման հասնելու համար հարկավոր է ծածկել շրջանագիծը մելասով և նշել առաջին կետը, որտեղ պատահաբար վայրէջք է կատարում ճանճը, որպես աղեղի միջնակետ։ Մի քանի դիտորդներ փորձեր են մշակել՝ տարբեր լուծումներ ստանալու և արդյունքները էմպիրիկ կերպով ստուգելու համար^[3]^[4]^[5]։

Ծանոթագրություններ խմբագրել

↑ Секей Г. Парадоксы в теории вероятности и математической статистике. — М.: Мир, 1990. — С. 50-54. — 240 с.
↑ Jaynes, E. T. (1973), «The Well-Posed Problem» (PDF), Foundations of Physics 3: 477–493, doi:10.1007/BF00709116, http://bayes.wustl.edu/etj/articles/well.pdf (անգլ.)
↑ Gardner, Martin (1987), The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions, The University of Chicago Press, pp. 223–226, ISBN 978-0226282534 (անգլ.)
↑ Tissler, P.E. (March 1984), «Bertrand's Paradox», The Mathematical Gazette (The Mathematical Association) 68 (443): 15–19, doi:10.2307/3615385 (անգլ.)
↑ Kac, Mark (May–June 1984), «Marginalia: more on randomness», American Scientist 72 (3): 282–283 (անգլ.)

[1] Секей Г. Парадоксы в теории вероятности и математической статистике. — М.: Мир, 1990. — С. 50-54. — 240 с.

[2] Jaynes, E. T. (1973), «The Well-Posed Problem» (PDF), Foundations of Physics 3: 477–493, doi:10.1007/BF00709116, http://bayes.wustl.edu/etj/articles/well.pdf (անգլ.)

[3] Gardner, Martin (1987), The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions, The University of Chicago Press, pp. 223–226, ISBN 978-0226282534 (անգլ.)

[4] Tissler, P.E. (March 1984), «Bertrand's Paradox», The Mathematical Gazette (The Mathematical Association) 68 (443): 15–19, doi:10.2307/3615385 (անգլ.)

[5] Kac, Mark (May–June 1984), «Marginalia: more on randomness», American Scientist 72 (3): 282–283 (անգլ.)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]