Բեսելի ֆունկցիաներ

Բեսելի ֆունկցիաները, ֆունկցիաների ընտանիք է, Բեսելի դիֆերենցիալ հավասարման կանոնական լուծումներն են:

որտեղ −ն կամայական իրական թիվ է (ընդհանուր առմամբ−կոմպլեքս) և կոչվում է կարգ: Առավել հաճախ օգտագործվող Բեսելի ֆունկցիաները −ամբողջական կարգով ֆունկցիաներ են: Չնայած նրան, որ և առաջացնում է միևնույն հավասարումներ, սովորաբար համաձայնեցվում են, որ նրանց համապատասխանեն տարբեր ֆունկցիաներ (որը արվում է, օրինակ, որպեսզի Բեսելի ֆունկցիան լինի -ով հարթ:

Բեսելի ֆունկցիաներն առաջին անգամ որոշված են եղել շվեյցարացի մաթեմատիկոս Դանիել Բերնուլի կողմից, բայց անվանվել են Ֆրիդրիխ Բեսելի պատվին:

ԿիրառությունըԽմբագրել

Բեսելի հավասարումն առաջանում է Լապլասի հավասարման և Հելմհոլցի հավասարման լուծումներ գտնելու ժամանակ գլանաձև և գնդաձև կոորդինատների մեջ: Հետևաբար, Բեսելի ֆունկցիաները օգտագործվում է ալիքի տարածման, ստատիկ պոտենցիալի, և նմանատիպ բազմաթիվ խնդիրների լուծման ժամանակ, օրինակ`

  • Էլեկտրամագնիսական ալիքները գլանաձև ալիքատարում
  • Ջերմահաղորդականությունը գլանաձև օբյեկտներում
  • Բարակ կլոր թաղանթի ձևերը
  • Լույսի ինտենսիվության բաշխումը, կլոր անցքի վրա
  • Հեղուկով լցված և իր առանցքի շուրջը պտտվող գլանում մասնիկների արագությունը
  • Ալիքային ֆունկցիաները գնդաձև սիմետրիկ պոտենցիալային արկղում

Բեսելի ֆունկցիաները օգտագործվում են նաև այլ խնդիրների լուծման համար, օրինակ`ազդանշանների մշակման ժամանակ:

ՍահմանումներԽմբագրել

Քանի որ բերված հավասարումը համարվում է երկրորդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարում, այն պետք է ունենա երկու գծային անկախ լուծումներ: Սակայն կախված հանգամանքներից ընտրվում են այդ լուծումների տարբեր սահմանումներ:

Առաջին կարգի Բեսելի ֆունկցիաներԽմբագրել

Առաջին կարգի Բեսելի ֆունկցիաները, նշանակված  , դրանք հանդիսանում են լուծումներ,   կետում վերջնական ամբողջ կամ ոչ բացասական  : Կոնկրետ ֆունկցիայի ընտրությունը և նրա նորմալացումը սահմանվում են (որոշվում են) նրա հատկություններով: Կարելի է սահմանել այդ ֆունկցիաները օգտագործելով Թեյլորի շարքը զրոյի շուրջը (կամ ավելի ընդհանուր աստիճանային շարք ոչ ամբողջական  -ների դեպքում):

 

Այստեղ  -Էյլերի գամմա ֆունկցիան է, ֆակտորիալի ընդանրացումը ոչ ամբողջական արժեքների վրա: Բեսելի ֆունկցիայի գրաֆիկը նման է սինուսոիդի, որի տատանումները մարում են համամասնորեն  , չնայած իրականում զրո ֆունկցիաները տեղաբաշխված են ոչ պարբերական:

Բերված են   գրաֆիկները   արժեքների համար:

Եթե  -ն թի հանդիսանում ամբողջ թիվ,   և   ֆունկցիաները գծայնորեն անկախ են, հետևաբար համարվում են հավասարման լուծումներ: Բայց եթե

 

Այն նշանակում է, որ այս դեպքում ֆունկցիաները գծային կախված են: Ապա հավասարման երկրորդ լուծումը կլինի երկրորդ կարգի Բեսելի ֆունկցիան:

Բեսելի ինտեգրալներԽմբագրել

  ամբողջ արժեքների համար Բեսելի ֆունկցիային կարելի է տալ ուրիշ սահմանում, օգտագործելով ինտեգրալային պատկերումը:

 

Այս մոտեցումը օգտագործել է Բեսելը, որի օգնությամբ ուսումնասիրել է ֆունկցիայի որոշ հատկություններ:

Հնարավոր է նաև այլ ինտեգրալային պատկերումը:

 

ՀատկություններԽմբագրել

ՕրթոգոնալԽմբագրել

Ենթադրենք   Բեսելի   ֆունկցիայի զրոներն են: Ապա

 

ԱսիմպտոտիկաԽմբագրել

Առաջին և երկրորդ կարգի Բեսելի ֆունկցիաների համար հայտնի են ասիմպտոտիկ բանաձևեր: Փոքր փաստարկների դեպքում   և ոչ բացասական  -ի դեպքում նրանք հետևյալն են`

 

 

Որտեղ  —Էյլեր-Մասկերոնի հաստատունն է (0.5772...), իսկ  -Էյլերի գամմա ֆունկցիան է: Մեծ փաստարկների համար   բանաձևերը ունեն հետևյալ տեսքը`

 

 

Հիպերերկրաչափական շարքԽմբագրել

Բեսելի ֆունկցիաները կարող են արտահայտվել հիպերերկրաչափական ֆունկցիաների միջոցով:

 

Այսպիսով ամբողջ  -ների դեպքում Բեսելի ֆունկցիան եզակի անալիտիկ է, իսկ ոչ ամբողջի դեպքում`բազմակի անալիտիկ:

Գեներացնող ֆունկցիաԽմբագրել

Առաջին կարգի և ամբողջական կարգի Բեսելի ֆունկցիաների համար գոյություն ունի պատկերացում որոշակի ձևի ֆունկցիայի Լորանի շարքի գործակիցների միջոցով`

 

ՀարաբերակցությունԽմբագրել

Գումարման թեորեմաԽմբագրել

Ցանկացած ամբողջ  -ի և կոմպլեքս  -ի համար կատարվում է`

 

Ինտեգրալային արտահայտություններԽմբագրել

Ցանկացած   և   (այդ թվում կոմպլեքս) կատարվում է`

 

այս բանաձևի հատուկ դեպք է հանդիսանում ներքևի արտահայտությունը

 

ԳրականությունԽմբագրել

  • Ватсон Г.  Теория бесселевых функций. — М.: ИЛ, 1949.
  • Бейтмен Г., Эрдейи А.  Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены // Высшие трансцендентные функции. Т. 2. 2-е изд / Пер. с англ. Н. Я. Виленкина. — М.: Наука, 1974. — 296 с.
  • Лаврентьев М. А., Шабат Б. В.  Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1973. — 736 с.