Բարբիեի թեորեմ

Բարբիեի թեորեմ, ֆրանսիացի աստղագետ և մաթեմատիկոս Ժոզեֆ Բարբիերի թեորեմը, որը նկարագրում է հաստատուն լայնություն ունեցող կորերի երկարությունը։ Բարբիեի թեորեմը պնդում է, որ հաստատուն լայնության յուրաքանչյուր կորի պարագիծը հավասար է դրա լայնությունը բազմապատկած π-ով՝ անկախ դրա ճշգրիտ ձևից^[1]։ Ձևակերպվել և ապացուցվել է Բարբիեի կողմից 1860 թվականին^[2]։

Ձևակերպում

$a$ հաստատուն լայնություն ունեցող ցանկացած կորի երկարությունը հավասար է $\pi a$ -ի

Ապացույցներ

Բարբիեի թեորեմի մի քանի ապացույց կա.

Ուռուցիկ երկրաչափության մեթոդների վրա հիմնված: Մի կողմից, ուռուցիկ բազմություները հաստատուն $a$ լայնությամբ պատկեր է, միայն և միայն այն դեպքում, եթե նրա և նրա պատկերի Մինկովսկու գումարը կենտրոնական համաչափության ներքո $a$ շառավղով շրջան է։ Մյուս կողմից, հարթ ուռուցիկ բազմություներների Մինկովսկու գումարով դրանց պարագծերը համընկնում են, հաստատուն լայնությամբ ֆիգուրի պարագիծը հավասար է $a$ շառավղով շրջանագծի պարագծի կեսին, այսինքն՝ $\pi a$ ^[3]։
Հավանականության տեսության կամ Քրոֆթոնի բանաձևի հիման վրա: Բարբիեն ապացուցեց մի թեորեմ, որն ընդհանրացնում է Բուֆոնի ասեղ գցելու խնդրի հայտնի պատասխանը։ Նա ցույց տվեց, որ երբ ուռուցիկ բազմությունը ներկայացվում է միմյանցից d հեռավորության վրա գծված ուղիղներով հարթության վրա, եթե բազմությունը չի կարող հատել այս ուղիղներից մեկից ավելին, ապա հավանականությունը, որ բազմությունը հատում է ուղիղներից մեկը՝ ${\frac {L}{\pi d}}$ , որտեղ $L$ -ը այս պատկերի պարագիծն է^[4]^[5]։ Քանի որ հաստատուն լայնության $a$ ցուցանիշը բավարարում է այս թեորեմի պայմանը $d=a$ -ի համար, և հատման հավանականությունը այս դեպքում հավասար է մեկի, դրա պարագիծը պետք է հավասար լինի $\pi a$ -ի^[6]։

Տարբերակներ և ընդհանրացումներ

Բարբիեի թեորեմը գործում է նաև հաստատուն լայնությամբ ֆիգուրների համար Մինկովսկու հարթության վրա։
Քրոֆթոնի բանաձևը

Ծանոթագրություններ

↑ Lay, Steven R. (2007), Convex Sets and Their Applications, Dover, Theorem 11.11, pp. 81–82, ISBN 9780486458038.
↑ Barbier, E. (1860), «Note sur le problème de l'aiguille et le jeu du joint couvert» (PDF), Journal de mathématiques pures et appliquées, 2^e série (French), 5: 273–286, Արխիվացված է օրիգինալից (PDF) 2017-04-20-ին, Վերցված է 2022-03-13-ին{{citation}}: CS1 սպաս․ չճանաչված լեզու (link). See in particular pp. 283–285.
↑ Bogomolny A. «The Theorem of Barbier». Cut The Knot (անգլերեն). Արխիվացված օրիգինալից 2012 թ․ փետրվարի 4-ին. Վերցված է 2011 թ․ սեպտեմբերի 22-ին.
↑ Barbier E. Note sur le problème de l’aiguille et le jeu du joint couvert(ֆր.) // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1860. — Vol. 5. — P. 273—286.(չաշխատող հղում)
↑ Seneta Е., Parshall K. H., Jongmans F. Nineteenth-Century Developments in Geometric Probability: J. J. Sylvester, M. W. Crofton, J.-É. Barbier, and J. Bertrand(անգլ.) // Archive for History of Exact Sciences. — 2001. — Vol. 55. — № 6. — P. 501-524. — doi:10.1007/s004070100038
↑ Bogomolny A. «Math Surprises: An Example». Cut The Knot (անգլերեն). Արխիվացված օրիգինալից 2012 թ․ փետրվարի 4-ին. Վերցված է 2011 թ․ սեպտեմբերի 22-ին.

Գրականություն

Barbier E. Note sur le problème de l’aiguille et le jeu du joint couvert(ֆր.) // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1860. — Vol. 5. — P. 273—286.(չաշխատող հղում)
Bogomolny A. «The Theorem of Barbier». Cut the Knot (անգլերեն). Արխիվացված օրիգինալից 2012 թ․ փետրվարի 4-ին. Վերցված է 2011 թ․ սեպտեմբերի 22-ին.
Barbier theorem // Encyclopaedia of Mathematics. — Berlin: Springer-Verlag, 2002. — ISBN 1-4020-0609-8 (անգլ.)
Weisstein, Eric W., "Barbier's Theorem", MathWorld.

[1] Lay, Steven R. (2007), Convex Sets and Their Applications, Dover, Theorem 11.11, pp. 81–82, ISBN 9780486458038.

[2] Barbier, E. (1860), «Note sur le problème de l'aiguille et le jeu du joint couvert» (PDF), Journal de mathématiques pures et appliquées, 2^e série (French), 5: 273–286, Արխիվացված է օրիգինալից (PDF) 2017-04-20-ին, Վերցված է 2022-03-13-ին{{citation}}: CS1 սպաս․ չճանաչված լեզու (link). See in particular pp. 283–285.

[3] Bogomolny A. «The Theorem of Barbier». Cut The Knot (անգլերեն). Արխիվացված օրիգինալից 2012 թ․ փետրվարի 4-ին. Վերցված է 2011 թ․ սեպտեմբերի 22-ին.

[4] Barbier E. Note sur le problème de l’aiguille et le jeu du joint couvert(ֆր.) // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1860. — Vol. 5. — P. 273—286.(չաշխատող հղում)

[5] Seneta Е., Parshall K. H., Jongmans F. Nineteenth-Century Developments in Geometric Probability: J. J. Sylvester, M. W. Crofton, J.-É. Barbier, and J. Bertrand(անգլ.) // Archive for History of Exact Sciences. — 2001. — Vol. 55. — № 6. — P. 501-524. — doi:10.1007/s004070100038

[6] Bogomolny A. «Math Surprises: An Example». Cut The Knot (անգլերեն). Արխիվացված օրիգինալից 2012 թ․ փետրվարի 4-ին. Վերցված է 2011 թ․ սեպտեմբերի 22-ին.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]