Վարինյոնի թեորեմ (երկրաչափություն)

Վարինյոնի թեորեմ, երկրաչափական փաստ, որն ապացուցվել է Պիեռ Վարինյոնի կողմից։

Կարմիր քառանկյունը զուգահեռագիծ է

Սահմանումն ու ապացույցը

Քառանկյունը, որի գագաթները համընկնում են կամայական քառանկյան կողմերի միջնակետերի հետ, զուգահեռագիծ է, որի կողմերը զուգահեռ են այդ քառանկյան անկյունագծերին։

Կամ առավել համառոտ ձևակերպումը՝

Կամայական քառանկյան կողմերի միջնակետերը զուգահեռագծի գագաթներ են։

Ապացույցը  

Տանենք $AC$ անկյունագիծը։ $EF$ և $GH$ հատվածները կլինեն $\triangle ABC$ ու $\triangle ADC$ եռանկյունների միջին գծերը։ Ըստ միջին գծի մասին թեորեմի այդ հատվածները զուգահեռ են անկյունագծին, հետևաբար նաև միմյանց։ Նույն դատողությունները $BD$ անկյունագծի հետ անելուց հետո ստանում ենք, որ $EFGH$ քառանկյան հանդիպակաց կողմերը զուգահեռ են, այսինքն, այդ քառանկյունը զուգահեռագիծ է։

Ապապցուցենք, որ զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է տրված քառանկյան մակերեսի կեսին։ Ենթադրենք $AC$ անկյունագիծը գտնվում է քառանկյան ներսում։ Այդ դեպքում $ABC$ եռանկյան մակերեսը հավասար է ${\frac {AC\cdot h_{b}}{2}}$, որտեղ $h_{b}$ --- $ABC$ եռանկյան $B$ գագաթից տարված բարձրությունն է։ Նույն կերպ, $ADC$ եռանկյան մակերեսը հավասար է ${\frac {AC\cdot h_{d}}{2}}$: Այդ դեպքում ամբողջ քառանկյան մակերեսը հավասար է ${\frac {AC(h_{b}+h_{d})}{2}}$: Բայց ${\frac {(h_{b}+h_{d})}{2}}={\frac {h_{b}}{2}}+{\frac {h_{d}}{2}}$-ը $E$ և $H$ կետերի $AC$ ուղղից ունեցած հեռավորությունների գումարն է, այսինքն, $EHGF$ զուգահեռագծի բարձրությունը։ Քանի որ զուգահեռագծի $GH$ կողմը երկու անգամ փոքր է $AC$, զուգահեռագծի մակերեսն էլ հավասար է $ABCD$ քառանկյան մակերեսի կեսին։

Քառանկյան կողմերի միջնակետերով առաջացած զուգահեռագիծը հաճախ անվանում են վարինյոնական, վարինյոնյան կամ վարինյոնային։

Զուգահեռագծի կենտրոնը գտնվում է քառանկյան կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածի միջնակետում (այդ նույն կետում է գտնվում նաև կողմերի միջնակետերը միացնող ուղիղների՝ վարինյոնյան զուգահեռագծի անկյունագծերի հատման կետ)։

Տվյալներ

Պարագիծը

Վարինյոնի զուգահեռագծի պարագիծը հավասար է մեծ քառանկյան անկյունագծերի գումարին։

Մակերեսը

Վարինյոնի զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է մեծ քառանկյան մակերեսի կեսին։

Հետևություն թեորեմից

Ուղղանկյան ու ահվասարասրուն սեղանի համար վարինյոնյան զուգահեռագիծը շեղանկյուն է, իսկ շեղանկյան համար՝ ուղղանկյուն։

Հնարավոր դեպքեր

Ուռուցիկ քառանկյուն	Ոչ ուռուցիկ քառանկյուն	Ինքնահատող քառանկյուն

Արտաքին հղումներ

• Varignon Parallelogram in Compendium Geometry
• A generalization of Varignon's theorem to 2n-gons and to 3D Արխիվացված 2019-07-13 Wayback Machine at Dynamic Geometry Sketches, interactive dynamic geometry sketches.