Վալլիսի բանաձև

Վալլիսի բանաձև (Վալլիսի արտադրյալ), բանաձև, որն π թիվն արտահայտում է ռացիոնալ կոտորակների անվերջ արտադրյալների տեսքով։

${\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)\\[6pt]&={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdot \;\cdots \\\end{aligned}}$

Պատմություն

1655 թվականին Ջոն Վալլիսն առաջարկել է π թիվը որոշելու բանաձև․

${\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot {\frac {10}{9}}\cdot {\frac {10}{11}}\cdot \ldots$

Ջոն Վալլիսը դա ստացել է՝ հաշվելով շրջանի մակերեսը։ Պատմականորեն Վալլիսի բանաձևը կարևորվում էր որպես անվերջ արտադրյալների առաջին օրինակներից մեկը։

Ապացուցում

Օգտագործվում է Էյլերի անվերջ արտադրյալները սինիուսի ֆոինկցիայի համար

${\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)$։

Ենթադրենք $x=\pi /2$, այդ դեպքում՝

${\frac {2}{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{4n^{2}}}\right),$

${\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right)=\\&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot \ldots \end{aligned}}$

Կիրառությունը

Այս արտադրյալը շատ դանդաղ է զուգամիտում, հետևաբար, $\pi$ թվի գործնական հաշվարկի համար Վալլիսի բանաձևի քիչ կիրառելի է։

Այնուամենայնիվ, այն օգտակար է տարբեր տեսական հետազոտություններում, օրինակ, Ստրիլինգի բանաձևի դուրսբերման ժամանակ, այն էլ եթե այս բանաձում մի փոքր փոփոխվի ավարտը․

$\pi \approx \left[\prod _{n=1}^{m-1}{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)}}\right]\cdot \left[{\frac {2m}{2m-1}}\cdot \left({\frac {2m}{2m+1}}\cdot {\frac {1}{4}}+1\right)+{\frac {3}{4}}\right]={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot \left[{\frac {8}{7}}\cdot \left({\frac {8}{9}}\cdot {\frac {1}{4}}+1\right)+{\frac {3}{4}}\right],$

ապա զուգամիտման արագությունը մեծանում է մոտ հինգ անգամ։

Արտաքին հղումներ

• Pi Formulas
• Wallis formula - Encyclopedia of Mathematics