Պարզ թվերի թեորեմ

Թվերի տեսության մեջ պարզ թվերի թեորեմը, նկարագրում է պարզ թվերի ասիմպտոտ բաշխումը դրական ամբողջ թվերի մեջ։ Այն ֆորմալացնում է այն ինտուիտիվ գաղափարը, որ որքան թվերը մեծանում են այնքան սակավ են հանդիպում պարզ թվեր, ճշգրիտ հաշվելով դրանց հանդիպման հաճախականությունը։ Թեորեմն 1896 թվականին իրարից անկախ ապացուցել են Ժակ Ադամարի և Շառլ Ժան դը լա Վալե Պուսենը՝ օգտագործելով Բեռնարդ Ռիմանի կողմից ներդրված գաղափարները (մասնավորապես՝ Ռիմանի zeta ֆունկցիան)։

Առաջին նման բաշխման գտնվում է հետևյալ բանաձևով $π (N) ~ N log(N)$ , որտեղ $π (N)$ -ը պարզ թվերի հաշվարկի ֆունկցիան է, իսկ $log(N)$ -ը $N$ -ի բնական լոգարիթմն է։ Սա նշանակում է, որ բավականաչափ մեծ $N$ -ի համար, հավանականությունը այն բանի որ $N$ -ից ոչ մեծ պատահական թիվը պարզ է, շատ մոտ է $1 / log(N)$ -ին։ Հետևաբար, ամենաշատը $2 n$ թվանշան ունեցող պատահական ամբողջ թվի ( բավականաչափ մեծ $n$ -ի համար) պարզ լինելու հավանականությունը կիսով չափ է, քան ամենաշատը $n$ թվանշան ունեցող պատահական ամբողջ թվինը։ Օրինակ, 1000 թվանշան ունեցող դրական ամբողջ թվերի մեջ, 2300-ից մոտավորապես մեկն է պարզ ( $log(10 1000) \approx 2302.6$ ), մինչդեռ ամենաշատը 2000 թվանշան ունեցող դրական ամբողջ թվերի մեջ, 4600-ից մեկն է պարզ ( $log(10 2000) \approx 4605.2$ )։ Այլ կերպ ասած, առաջին $N$ ամբողջ թվերի մեջ հաջորդական պարզ թվերի հեռավորությունը մոտավորապես $log(N)$ է^[1]։

Պնդում խմբագրել

Պարզ թվերի հաճախականության հաշվման

π (x)

ֆունկցիայի հարաբերակցության գրաֆիկը իր երկու մոտարկումներին՝

x / log x

և

Li(x)

։

x

-ի աճին զուգընթաց (նշենք, որ

x

առանցքը լոգարիթմական է), երկու հաարաբերություններն էլ ձգտում են 1-ի։

x / log x

հարաբերությունը զուգամիտում է վերևից շատ դանդաղ, մինչդեռ

Li(x)

հարաբերությունը զուգամիտում է ներքևից ավելի արագ։

x / log x

-ի և

Li(x)

-ի բացարձակ սխալը ցույց տվող Log-log գրաֆիկ,

π (x)

պարզ թվի հաշվարկի ֆունկցիայի երկու մոտարկումներ։ Ի տարբերություն հարաբերության,

π (x)

և

x / log x

ֆունկցիաների տարբերությունը

x

-ի մեծանալուն զուգընթաց անսահման աճում է։ Մյուս կողմից

Li(x) - π (x)

տարբերությունը նշանը փոխում է անվերջ շատ անգամ։

Ենթադրենք $π (x)$ -ը պարզ թվերի հաշվարկի ֆունկցիան է, որ կամայական իրական $x$ թվի համար տալիս է $x$ -ից փոքր կամ հավասար պարզ թվերի քանակը։ Օրինակ, $π (10) = 4$ , քանի որ 10-ից փոքր չորս պարզ թիվ կան (2, 3, 5 և 7)։ Պարզ թվերի թեորեմը պնդում է, որ $x / log x$ -ը $π (x)$ -ին լավ մոտարկում է (այստեղ log-ը բնական ալգորիթմ է նշանակում), այն իմաստով, որ երկու՝ $π (x)$ և $x / log x$ ֆունկցիաների քանորդը $x$ -ի անսահման աճի դեպքում հավասար է 1-ի։

\lim _{x\to \infty }{\frac {\;\pi (x)\;}{\;\left[{\frac {x}{\log(x)}}\right]\;}}=1,

հայտնի որպես պարզ թվերի բաշխման ասիմտոտիկ օրենք։ Ասիմպտոտիկ նշանակում օգտագործելով այս արդյունքը կարելի է վերաձևակերպել որպես

\pi (x)\sim {\frac {x}{\log x}}.

Այս նշանակումը (և թեորեմը) երկու ֆունկցիաների տարբերության սահմանի մասին ոչինչ չի ասում, երբ $x$ -ը անսահման աճում է։ Փոխարենը, թեորեմը նշում է, որ $x / log x$ մոտենում է $π (x)$ -ին, այն իմաստով, որ $x$ -ի անսահման աճի դեպքում, այս մոտարկման հարաբերական սխալը ձգտում է 0-ի։

Պարզ թվերի թեորեմը համարժեք է $n$ րդ պարզ թիվը $p n$ բավարարում է

p_{n}\sim n\log(n),

պնդմանը, ասիմպտոտիկ նշանակման իմաստը կրկին նույնն է՝ $n$ -ի անսահման աճի դեպքում մոտարկման հարաբերական սխալը ձգտում է 0-ի։ Օրինակ, 7017200000000000000♠2×10¹⁷րդ պարզ թիվը = է 7018851267738604819♠8512677386048191063^[2], և (7017200000000000000♠2×10¹⁷)log(7017200000000000000♠2×10¹⁷) կլորացվում է 7018796741875229174♠7967418752291744388-ի, մոտ 6.4% հարաբերական սխալով։

Պարզ թվերի թեորեմը համարժեք է նաև^[փա՞ստ]

\lim _{x\to \infty }{\frac {\vartheta (x)}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\psi (x)}{x}}=1,

որտեղ $ϑ$ և $ψ$ համապատասխանաբար առաջին և երկրորդ Չեբիշևյան ֆունկցիաներն են։

Պարզ թվերի ասիմպտոտիկ օրենքի ապացույցի պատմությունը խմբագրել

Անտոն Ֆելկելի և Յուրի Վեգայի աղյուսակների հիման վրա, 1797 կամ 1798 թվականին Ադրիեն-Մարի Լեժանդրը ենթադրություն արեց, որ $π (a)$ մոտարկվում է $a / (A log a + B)$ ֆունկցիայով, որտեղ $A$ -ն և $B$ -ն չճշտված հաստատուններ են։ Թվերի տեսության վերաբերյալ իր գրքի երկրորդ հրատարակության մեջ (1808) նա ավելի ճշգրիտ ենթադրություն արեց՝ A = 1 և B = .081.08366: Համաձայն 1849 թվականի իր հիշողությունների, Կառլ Գաուսը 15 կամ 16 տարեկան հասակում նույն հարցերն է դիտարկել 1792 կամ 1793 թվականին^[3]։ 1838 թվականին Պետեր Գուստավ Դիրիխլեն իր մոտարկման $li(x)$ լոգարիտմական ինտեգրալ ֆունկցիան առաջարկեց։ Թե Լեժենդրը, թե Դիրիխլեն ենթադում էին $π (x)$ և $x / log(x)$ վերոնշյալ միևնույն ասիմտոտիկ համարժեքությունը, չնայած պարզվեց, որ Դիրիխլեի մոտարկումը զգալիորեն ավելի լավն է, երբ քանորդի փոխարեն տարբերություն է դիտարկվում։

1848 և 1850 թվականների երկու աշխատանքներում ռուս մաթեմատիկոս Պաֆնուտի Չեբիշևը փորձել է ապացուցել պարզ թվերի բաշխման ասիմտոտիկ օրենքը։ Նրա աշխատանքը նշանակալի է " $s$ " արգումենտի իրական արժեքների համար zeta $ζ (s)$ ֆունկցիայի օգտագործմամբ, ինչպես Լեոնարդ Էյլերի 1737 թվականի վաղ աշխատանքներում։ Շեբիշևի աաշխատանքները նախորդելեն 1859 թվականի Ռիմանի հանրահայտ հիշողություններին, և նրան հաջողվել էր ապացուցել ասիմտոտիկ օրենքի մի փոքր ավելի թույլ ձևը, մասնավորապես, եթե $π (x) / (x / log(x))$ -ի սահմանը $x$ -ի անսահման աճի դեպքում գոյություն ունի, ապա այն անպայմանորեն հավասար է մեկի^[4]։ Նա կարողացավ անվերապահորեն ապացուցել, որ այս հարաբերությունը վերևից և ներքևից սահմանափակված է մեկին մոտ երկու հստակ ներկայացված հաստատուններով, բոլոր բավականաչափ մեծ $x$ -ի համար^[5]։ Չնայած Չեբիշևի աշխատանքը չի ապացուցում պարզ թվերի թեորեմը, $π (x)$ -ի վերաբերյալ նրա գնահատականները բավականաչափ ուժեղ էին Բերտրանի պոստուլատն ապացուցելու համար՝ յուրաքանչյուր $n \geq 2$ ամբողջ թվի համար $n$ և $2 n$ թվերի միջև պարզ թիվ գոյություն ունի։

Պարզ թվերի բաշխման վերաբերող կարևոր հոդված էր Ռիմանի 1859 թվականի հրապարակած "Տված մեծությունից փոքր պարզ թվերի քանակի մասին" աշխատանքը, որը այդ թեմայով նրա գրած միակ հոդվածն էր։ Ռիմանը թեմայում նոր գաղափարներ մտցրեց, որոնցից գլխավորը պարզ թվերի բաշխումը սերտորեն կապված է Ռիմանի կոմպլեքս փոփոխականի անալատիկորեն ընդլայնված zeta ֆունկցիայի զրոների հետ։ Մասնավորապես Ռիմանի այս հոդվածում է ծագում կոմպլեքս անալիզի մեթոդները կիրառել $π (x)$ իրական ֆունկցիայի ուսումնասիրության համար։ Ռիմանի գաղափարներն ընդլայնելով, Ժակ Ադամարը և Շառլ Պուսենը իրարից անկախ ստացան պարզ թվերի բաշխման օրենքի երկու ապացույցները և հրապարակեցին միևնույն տարում (1896)։ Երկու ապացույցն էլ օգտագործել են կոմպլեքս անալիզի մեթոդներ, ապացույցի որպես գլխավոր քայլ հաստատելով, որ Ռիմանի $ζ (s)$ զետա ֆունկցիան զրոյից տարբեր է, $s$ փոփոխականի բոլոր կոմպլեքս արժեքների համար, որոնք $s = 1 + it$ ձևն ունեն, երբ $t > 0$ ^[6]։

20-րդ դարի ընթացքում Ադամարի և Պուսինի թեորեմը նույնպես հայտնի է դառնում որպես պարզ թվերի թեորեմ։ Գտնվել են մի քանի տարբեր ապացույցներ, ներառյալ Աթլե Սելբերգի և Պաուլ Էրդոսի "տարրական" ապացույցները (1949)։ Թեև Ադամարդի և դե լա Վալեի Պուսինի բնօրինակ ապացույցները երկար և խճճված են, հետագայում ապացույցներում տարբեր պարզեցումներ են մտցվել Թաուբերիայի թեորեմների օգտագործման միջոցով, բայց ըմբռնելու առումով մնացել են դժվար։ 1980 թվականին ամերիկացի մաթեմատիկոս Դոնալդ Նյումանը կարճ ապացույց հայտնաբերեց^[7]^[8]։ Նյումանի ապացույցը թերևս թեորեմի հայտնի ապացույցներից ամենապարզն է, չնայած այն տարրական չէ, այն իմաստով որ օգտագործում է Կոմպլեքս անալիզից Չաուշի ինտեգրալ թեորեմը։

Ապացույցի ուրվագիծը խմբագրել

Այստեղ բերված է ապացույցի ուրվագիծը Տերենս Տաոյի դասախոսություններից^[9]։ Պարզ թվերի թեորեմի բոլոր ապացույցների նման այն սկսվում է խնդրի վերաձևակերպումից պակաս ինտուիտիվ, բայց պարզ թվերի հաշվարկի համար ավելի հարմար ֆունկցիայով։ Միտքը կայանում է նրանում, որ պետք է բաշխել պարզ թվերը իրենց կշիռներով, որպեսզի ստանալ ավելի հարթ ասիմպտոտիկայով ֆունկցիա։ Հաճախ, որպես այդպիսի ընդհանրացված բաշխման ֆունկցիա վերցնում են՝ Չեբիշևի ֆունկցիան։ Որը սահմանվում է հետևյալ կերպ՝

\psi (x)=\!\!\!\!\sum _{\stackrel {p^{k}\leq x,}{p{\text{ պարզ է}}}}\!\!\!\!\log p.

Սա երբեմն գրվում է որպես

\psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n),

որտեղ $Λ (n)$ Մանգոլտի ֆունկցիան է, մասնավորապես

\Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{եթե }}n=p^{k}{\text{որոշ պարզ թվերի համար }}p{\text{ և ամբողջ թիվ }}k\geq 1,\\0&{\text{հակառակ դեպքում}}\end{cases}}

Այժմ համեմատաբար հեշտ է ստուգել, որ պարզ թվերի թեորեմը համարժեք է պնդմանը․

\lim _{x\to \infty }{\frac {\psi (x)}{x}}=1.

Իսկապես սա բխում է պարզ գնահատականներից

\psi (x)=\sum _{p\leq x}\log p\left\lfloor {\frac {\log x}{\log p}}\right\rfloor \leq \sum _{p\leq x}\log x=\pi (x)\log x

և (օգտագործելով $O$ նշումը) յուրաքանչյուր $ε > 0$ ,

\psi (x)\geq \!\!\!\!\sum _{x^{1-\varepsilon }\leq p\leq x}\!\!\!\!\log p\geq \!\!\!\!\sum _{x^{1-\varepsilon }\leq p\leq x}\!\!\!\!(1-\varepsilon )\log x=(1-\varepsilon )\left(\pi (x)+O\left(x^{1-\varepsilon }\right)\right)\log x.

Հաջորդ քայլը $ψ (x)$ -ի համար օգտակար ներկայացում գտնելն է։ Ենթադրենք $ζ (s)$ Ռիմանի զետա ֆունկցիան է։ Կարելի է ցույց տալ, որ $ζ (s)$ -ը կապված է Մանգոլտ ֆունկցիայի հետ $Λ (n)$ , և հետևաբար $ψ (x)$ ,

-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)n^{-s}.

կապի միջոցով։

Այս հավասարման և zeta ֆունկցիայի համապատասխան հատկությունների մանրակրկիտ վերլուծությունը, օգտագործելով Մելլինի ձևափոխությունը և Պերոնի բանաձևը, ցույց է տալիս որ ոչ ամբողջ $x$ թվի համար,

\psi (x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi )

հավասարումը տեղի ունի, որտեղ գումարը ֆունկցիայի բոլոր զրոներով է (տրիվիալ և ոչ տրիվիալ)։ Այս բանաձևը թվերի տեսության այսպես կոչված բացահայտ բանաձևերից է, և արդեն իսկ հուշում է արդյունքը, որն ուզում ենք ստանալ։

Ապացույցի հաջորդ քայլը ներառում է zeta ֆունկցիայի զրոների ուսումնասիրությունը։ Տրիվիալ զրոները −2, −4, −6, −8, ... կարող են դիտարկվել առանձին․

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n\,x^{2n}}}=-{\frac {1}{2}}\log \left(1-{\frac {1}{x^{2}}}\right),

որը մեծ $x$ -երի համար անհետանում է։ Ոչ տրիվիալ զրոները, մասնավորապես $0 \leq Re(s) \leq 1$ կրիտիկական շերտի վրա գտնվողները, կարող են ասիմպտոտիկ կարգով համեմատելի լինել $x$ հիմնական փոփոխականի հետ, եթե $Re(ρ) = 1$ , ուստի մեզ պետք է ապացուցել որ բոլոր զրոները ունեն իրական մաս, խիստ փոքր 1-ից։

Ծանոթագրություններ խմբագրել

↑ Hoffman, Paul (1998). The Man Who Loved Only Numbers. New York: Hyperion Books. էջ 227. ISBN 978-0-7868-8406-3. MR 1666054.
↑ «Prime Curios!: 8512677386048191063». Prime Curios!. University of Tennessee at Martin. 2011 թ․ հոկտեմբերի 9.
↑ C. F. Gauss. Werke, Bd 2, 1st ed, 444–447. Göttingen 1863.
↑ Costa Pereira, N. (August–September 1985). «A Short Proof of Chebyshev's Theorem». American Mathematical Monthly. 92 (7): 494–495. doi:10.2307/2322510. JSTOR 2322510.
↑ Nair, M. (1982 թ․ փետրվար). «On Chebyshev-Type Inequalities for Primes». American Mathematical Monthly. 89 (2): 126–129. doi:10.2307/2320934. JSTOR 2320934.
↑ Ingham, A. E. (1990). The Distribution of Prime Numbers. Cambridge University Press. էջեր 2–5. ISBN 978-0-521-39789-6.
↑ Newman, Donald J. (1980). «Simple analytic proof of the prime number theorem». American Mathematical Monthly. 87 (9): 693–696. doi:10.2307/2321853. JSTOR 2321853. MR 0602825.
↑ Zagier, Don (1997). «Newman's short proof of the prime number theorem». American Mathematical Monthly. 104 (8): 705–708. doi:10.2307/2975232. JSTOR 2975232. MR 1476753.
↑ Tao, Terence. «254A, Notes 2: Complex-analytic multiplicative number theory». Terence Tao's blog.

Արտաքին հղումներ խմբագրել

Table of Primes by Anton Felkel.
Short video visualizing the Prime Number Theorem.
Prime formulas and Prime number theorem at MathWorld.
Կաղապար:Planetmath reference
How Many Primes Are There?Արխիվացված 2012-10-15 Wayback Machine and The Gaps between Primes by Chris Caldwell, University of Tennessee at Martin.
Tables of prime-counting functions by Tomás Oliveira e Silva

[1] Hoffman, Paul (1998). The Man Who Loved Only Numbers. New York: Hyperion Books. էջ 227. ISBN 978-0-7868-8406-3. MR 1666054.

[2] «Prime Curios!: 8512677386048191063». Prime Curios!. University of Tennessee at Martin. 2011 թ․ հոկտեմբերի 9.

[3] C. F. Gauss. Werke, Bd 2, 1st ed, 444–447. Göttingen 1863.

[4] Costa Pereira, N. (August–September 1985). «A Short Proof of Chebyshev's Theorem». American Mathematical Monthly. 92 (7): 494–495. doi:10.2307/2322510. JSTOR 2322510.

[5] Nair, M. (1982 թ․ փետրվար). «On Chebyshev-Type Inequalities for Primes». American Mathematical Monthly. 89 (2): 126–129. doi:10.2307/2320934. JSTOR 2320934.

[6] Ingham, A. E. (1990). The Distribution of Prime Numbers. Cambridge University Press. էջեր 2–5. ISBN 978-0-521-39789-6.

[7] Newman, Donald J. (1980). «Simple analytic proof of the prime number theorem». American Mathematical Monthly. 87 (9): 693–696. doi:10.2307/2321853. JSTOR 2321853. MR 0602825.

[8] Zagier, Don (1997). «Newman's short proof of the prime number theorem». American Mathematical Monthly. 104 (8): 705–708. doi:10.2307/2975232. JSTOR 2975232. MR 1476753.

[9] Tao, Terence. «254A, Notes 2: Complex-analytic multiplicative number theory». Terence Tao's blog.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]