«Մասնակից:Hrach Sakanyan/Ավազարկղ»–ի խմբագրումների տարբերություն
Content deleted Content added
No edit summary |
No edit summary |
||
Տող 1.
[[Պատկեր:Kreis5Teilung.svg|thumb|Հինգերորդ աստիճանի արմատ միավորից (հնգանկյան կողերը)]]
'''Միավորից n աստիճանի արմատներ''', <math>x^n-1</math>
դա [[կոմպլեքս թիվ]] է, որի ''n''-րդ աստիճանը 1 է։
Միավորի արմատները շատ են օգտագործվում մաթեմատիկայում, հատկապես [[թվերի
== Գաղափար ==
Կոմպլեքս միավորը ներկայացնենք [[Եռանկյունաչափություն|եռանկյունաչափական]] տեսքով.
: <math>1=\cos\ 0 + i\ \sin\ 0</math>
[[Մուավրայի բանաձև]]ից ստացվում է.
: <math>u_k=\cos {\frac{2\pi k}{n}} +i\ \sin {\frac{2\pi k}{n}}, \quad k=0,1,...,n-1</math>
որտեղ <math>u_k</math>-ը միավորից արմատներն են։
Միավորի արմատները կարող ենք ներկայացնել նաև ցուցչային տեսքով.
: <math>u_k=e^{\frac{2\pi k i}{n} }, \quad k=0,1,...,n-1</math>
Այս բանաձևից հետևում է, որ միավորից արմատները միշտ <math>n</math> են ու դրանք միշտ տարբեր են։
== Հաշվարկ ==
=== Երկրաչափական հաշվարկ ===
* Ցանկացած արմատի [[բացարձակ արժեք]]ը հավասար է 1։ Կոմպլեքս հարթության վրա միավորի արմատները առաջացնում են կանոնավոր [[Բազմանկյուն|բազմանկյան]] կողեր` ստեղծելով միավոր շրջանագիծ։ Մի կողմը միշտ հանդիսանում է <math>1+i0</math> կոմպլեքս միավորը։
* Եթե <math>u_k</math>-ն` միավորի արմատը, համարվում է <math>\overline {u_k}</math> թվի լծորդը, որեմն այդ թիվը նույնպես միավորի արմատ է։
* Քննարկենք ''M''-ը, որը միավոր [[Շրջանագիծ|շրջանագծի]] վրա կամայական կետ է հանդիսանում։ Եթե հեռավորությունների գումարը դուրս է մնում ''M'' կետից, ապա միավորի բոլոր արմատները հավասար են ''2n''։
=== Հանրահաշվական հաշվարկ ===
* Միավորից արմատները իրենցից ներկայացնում են ամբողջ հանրահաշվական թվեր։
* Միավորից արմատները առաջացնում են բազմապատկման կոմուտատիվ խմբեր։ Մասնավորապես, ցանկացած ամբողջ աստիճանի արմատ միավորից նույնպես համարվում է արմատ միավորից։ Հակադարձ տարրը` այդ խմբի ցանկացած տարրի համար համարվում է լծորդ։ Խմբի չեզոք տարրերը համարվում են կոմպլեքս միավորներ։
* Միավորից արմատների խումբը ադիտիվ է <math>\mathbb{Z}_n</math>-ի հետ։ Այստեղից հետևում է, որ դրանք համարվում են ցիկլիկ խմբեր. պարզության համար մենք կարող ենք վերցնել ցանկացած <math>u_k</math> տարր, որտեղ <math>k</math> ինդեքսը
[[Փոխադարձ պարզ թվեր|փոխադարձաբար պարզ]] է <math>n</math> թվի հետ.
** Հետևանքներ.
*** <math>u_1</math> միշտ համարվում է պարզ,
*** եթե <math>n</math>-ը [[պարզ թիվ]] է, ապա ցանկացած արմատի աստիճանը` բացի <math>\pm 1</math>-ից, կազմում է ողջ խումբը,
*** պարզ արմատների թիվը հավասար է <math>\varphi (n)</math>, որտեղ <math>\varphi</math> ֆունկցիան [[Էյլերի ֆունկցիա]]ն է։
* Եթե <math>n > 1</math>, ապա միավորից ցանկացած աստիճանի <math>u</math> պարզ արամատը ունի հետևյալ բանաձևը.
: <math>\sum_{k=0}^{n-1} u^k = \frac{u^n - 1}{u - 1} = 0 </math>
* <math>\prod_{k=1}^{n-1} |1-u_k| = n \qquad (n > 1)</math>
[[Պատկեր:3rd roots of unity.svg|thumb|Միավորից քառակուսի արմատներ]]
=== Օրինակներ ===
Միավորից քառակուսի արմատներ.
: <math>\left\{1;\ \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2};\ \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \right\}</math>
Միավորից 4-րդ աստիճանի արմատներ.
: <math>\left\{1;\ +i;\ -1;\ -i \right\} </math>
[[Պատկեր:Cyclic group.svg|մինի|220px|Միավորից 6-րդ աստիճանի արմատներ]]
5-րդ աստիճանի արմատի համար գոյություն ունի 4 կարևոր տարր.
: <math>\left\{e^{2 \pi i k\over 5}|k\in \{1,2,3,4\}\right\}=\left\{\left . \frac{u\sqrt 5-1}4+v\sqrt{\frac{5+u\sqrt 5}8}i \right |u,v \in \{-1,1\}\right\}</math>
6-րդ աստիճանի համար օգտագործվող տարրերը երկուսն են.
: <math>\left\{ \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2} \right\} </math>
== Տե՛ս նաև ==
* [[Շրջանային բազմանդամ]]
== Գրականություն ==
* {{книга |автор=Ван дер Варден Б. Л. |ref=Ван дер Варден. Алгебра
|ссылка=http://mechmat.univ.kiev.ua/ua/study/library/van_der_varden.algebra.pdf
|заглавие=Алгебра. Определения, теоремы, формулы
|место=СПб. |издательство=Лань |год=2004 |страниц=624 |isbn=5-8114-0552-9 }}
* {{книга |часть=Корень |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М.
|том=3 |год=1982 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t3.djvu
|издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] }}
* {{cite web|first=James S.|last=Milne|title=Algebraic Number Theory|work=Course Notes|url=http://www.jmilne.org/math|year=1998|archiveurl=http://www.webcitation.org/66d42AIca|archivedate=2012-04-02}}
== Արտաքին հղումներ ==
* [http://www.intuit.ru/studies/courses/1009/197/lecture/2724 Комплексные корни n-й степени из единицы и решение уравнений.]
== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանցանկ}}
[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկա]]
| |||