«Կատեգորիաների տեսություն»–ի խմբագրումների տարբերություն
Content deleted Content added
Նոր էջ «'''Կատեգորիաների տեսություն''', արդի մաթեմատիկայի վերացական բաժիններից. մաթեմատիկական օբյեկտ...»: |
No edit summary |
||
Տող 2.
Կատեգորիաների տեսությունյան ուսումնասիրության առարկան, ընդհանուր առմամբ, [[կատեգորիա]]ներն ու [[ֆունկտոր]]ներն են: Կատեգորիայի հասկացությունը կազմվում է երեք մասից. 1. կատեգորիայի օբյեկտների համախմբություն, 2. յուրաքանչյուր A, B օբյեկտների համար տրված Mor(A,B) [[մորֆիզմ]]ների բազմություն (որի տարրերը նշանակվում են φ:A→B), 3. մորֆիզմների [[արտադրյալ]] կամ [[համադրություն]], որը մորֆիզմների յուրաքանչյուր φ:A→B և ψ:B→C զույգին համապատասխանեցնում է ψ<sub>o</sub>φ:A→C մորֆիզմ: Կատեգորիայի մորֆիզմները և դրանց արտադրյալը պետք է բավարարեն հետևյալ պայմաններին. ա. ցանկացած φ:A→B,ψ:B→C,χ:C→D մորֆիզմների եռյակի համար՝ χ°(ψ°φ)=(χ°φ)°φ (արտադրյալի զուգորդականություն), բ. կամայական A օբյեկտի համար գոյություն ունի այնպիսի 1<sub>A</sub>:A→A մորֆիզմ, որ ինչպիսիք էլ լինեն φ:A→B և ψ:C→A մորֆիզմները՝ χ°1<sub>A</sub>=φ և 1<sub>A</sub>°ψ=ψ (միավոր մորֆիզմի գոյություն), գ. Mor(A,B) և Mor(C,D) բազմությունները չունեն ընդհանուր տարր, եթե A≠C կամ B≠D: Կատեգորիաների երկու տարրական օրինակ. 1. օբյեկտներ համարենք հարթության բոլոր եռանկյունների բազմությունը, կամայական A, B եռանկյունների համար Mor(A,B)՝ A-ն B-ին տանող բոլոր հոմոտետիանեբի բազմությունը, իսկ մորֆիզմների համադրություն՝ հոմոտետիաների արտադրյալը: 2. Օբյեկտներ համարենք հարթության բոլոր շրջանագծերը, Mor(a, b)-ն՝ a շրջանագիծը b շրջանագծին տանող հոմոտետիաների բազմությունը, իսկ մորֆիզմների համադրություն՝ հոմոտետիաների արտադրյալը (այս օրինակներում Mor(A, B) և Mor(C, D) բազմությունների հավասար հոմոտետիաները համարվում են տարբեր մորֆիզմներ, եթե A≠C կամ B≠D:
Դիցուք ունենք երկու կատեգորիա՝ Ա և Բ: Ասում են, որ տրված է Փ կովարիանտ (կոնտրավարիանտ) ֆունկտոր Ա-ից Բ, եթե Ա-ի յուրաքանչյուր A օբյեկտին հա¬ մապատասխանեցված է Բ-ի որոշակի Փ(A) օբյեկտ և Ա-ի յուրաքանչյուր φ:A→B մորֆիզմին՝ Բ-ի Փ(φ):Փ(A)→Փ(B) [համապատասխանաբար Փ(φ):Փ(B)→Փ(A)] մորֆիզմը, ընդ որում բավարարվում են հետևյալ պայմանները, ա. մորֆիզմների համադրության պատկերը համընկնում է մորֆիզմների պատկերների համադրության հետ, այսինքն՝ ցանկացած φ:A→B և ψ:B→C մորֆիզմների համար Փ(ψ°φ)=Փ(ψ)°Փ(φ) [համապատասխանաբար Փ(ψ°φ)=Փ(φ)°Փ(ψ)], բ. յուրաքանչյուր միավոր մորֆիզմի պատկերը միավոր մորֆիզմ է՝ Փ(1<sub>A</sub>)=1<sub>ՓA</sub>): Օրինակ, եռանկյանը համապատասխանեցնելով նրան ներգծված շրջանագիծ, իսկ եռանկյունների հոմոտետիային՝ ներգծյալ շրջանագծերի համապատասխան հոմոտետիան, կստանանք ֆունկտոր վերը նշված օրինակների առաջին կատեգորիայից երկրորդի մեջ: Կատեգորիաների տեսության դերն ու նշանակությունը մաթեմատիկայում որոշվում է նրանով, որ այնպիսի հիմնական մաթեմատիկական հասկացություններ, ինչպիսիք են բազմությունները և նրանց արտապատկերումները, խմբերը և նրանց հոմոմորֆիզմները, տոպոլոգիական տարածություններն ու նրանց հոմոմորֆիզմները են, կազմում են կատեգորիա, ընդ որում կատեգորիաների տեսությունը հնարավորություն է տալիս մասնավոր տիպի կատեգորիաներն ուսումնասիրող գիտությունների սահմաններում ծագած հասկացություններին նայել նոր, ավելի ընդհանուր տեսանկյունից: Կատեգորիա հասկացությունը սահմանել են Էյլենբերգն ու Մակլեյնը (1945): Կատեգորիաների տեսության զարգացումը 50-ական թվականներին գլխավոր առմամբ կապված էր հոմոլոգիաների տեսության և հանրահաշվական տոպոլոգիայի բուռն զարգացման հետ: Ներկայումս կատեգորիաների տեսությունը մաթեմատիկայի արագ զարգացող ճյուղերից է և հետզհետե վերածվում է ինքնուրույն գիտության:▼
Դիցուք ունենք երկու կատեգորիա՝ Ա և Բ: Ասում են, որ տրված է Փ կովարիանտ (կոնտրավարիանտ) ֆունկտոր Ա-ից Բ, եթե Ա-ի յուրաքանչյուր A օբյեկտին հա¬ մապատասխանեցված է Բ-ի որոշակի Փ(A) օբյեկտ և Ա-ի յուրաքանչյուր φ:A→B մորֆիզմին՝ Բ-ի Փ(φ):Փ(A)→Փ(B) [համապատասխանաբար Փ(φ):Փ(B)→Փ(A)] մորֆիզմը, ընդ որում բավարարվում են հետևյալ պայմանները, ա. մորֆիզմների համադրության պատկերը համընկնում է մորֆիզմների պատկերների համադրության հետ, այսինքն՝ ցանկացած φ:A→B և ψ:B→C մորֆիզմների համար Փ(ψ°φ)=Փ(ψ)°Փ(φ) [համապատասխանաբար Փ(ψ°φ)=Փ(φ)°Փ(ψ)], բ. յուրաքանչյուր միավոր մորֆիզմի պատկերը միավոր մորֆիզմ է՝ Փ(1<sub>A</sub>)=1<sub>ՓA</sub>): Օրինակ, եռանկյանը համապատասխանեցնելով նրան ներգծված շրջանագիծ, իսկ եռանկյունների հոմոտետիային՝ ներգծյալ շրջանագծերի համապատասխան հոմոտետիան, կստանանք ֆունկտոր վերը նշված օրինակների առաջին կատեգորիայից երկրորդի մեջ:
▲
[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկա]]
| |||