Ռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրալների ցանկ , ստորև ներկայացված են ռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրալների ցանկերը։ Անորոշ ինտեգրալների համար ինտեգրման հաստատունը բաց է թողնված։
∫ ( a x + b ) n d x = { ( a x + b ) n + 1 a ( n + 1 ) , n ≠ − 1 1 a ln | a x + b | , n = − 1 {\displaystyle \int (ax+b)^{n}dx={\begin{cases}{\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}},&n\neq -1\\{\frac {1}{a}}\ln \left|ax+b\right|,&n=-1\end{cases}}} ∫ x ( a x + b ) n d x = { a ( n + 1 ) x − b a 2 ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( a x + b ) n + 1 , n ∉ { − 1 , − 2 } x a − b a 2 ln | a x + b | , n = − 1 b a 2 ( a x + b ) + 1 a 2 ln | a x + b | , n = − 2 {\displaystyle \int x(ax+b)^{n}dx={\begin{cases}{\frac {a(n+1)x-b}{a^{2}(n+1)(n+2)}}(ax+b)^{n+1},&n\not \in \{-1,-2\}\\{\frac {x}{a}}-{\frac {b}{a^{2}}}\ln \left|ax+b\right|,&n=-1\\{\frac {b}{a^{2}(ax+b)}}+{\frac {1}{a^{2}}}\ln \left|ax+b\right|,&n=-2\end{cases}}} ∫ x ( a x + b ) n d x = a ( 1 − n ) x − b a 2 ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( a x + b ) n − 1 , n ∉ { 1 , 2 } {\displaystyle \int {\frac {x}{(ax+b)^{n}}}dx={\frac {a(1-n)x-b}{a^{2}(n-1)(n-2)(ax+b)^{n-1}}},\quad n\not \in \{1,2\}} ∫ d x x 2 n + 1 = ∑ k = 1 2 n − 1 { 1 2 n − 1 [ sin ( ( 2 k − 1 ) π 2 n ) arctan [ ( x − cos ( ( 2 k − 1 ) π 2 n ) ) csc ( ( 2 k − 1 ) π 2 n ) ] ] − 1 2 n [ cos ( ( 2 k − 1 ) π 2 n ) ln | x 2 − 2 x cos ( ( 2 k − 1 ) π 2 n ) + 1 | ] } + C {\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2^{n}}+1}}=\sum _{k=1}^{2^{n-1}}\left\{{\frac {1}{2^{n-1}}}\left[\sin \left({\frac {(2k-1)\pi }{2^{n}}}\right)\arctan \left[\left(x-\cos \left({\frac {(2k-1)\pi }{2^{n}}}\right)\right)\csc \left({\frac {(2k-1)\pi }{2^{n}}}\right)\right]\right]-{\frac {1}{2^{n}}}\left[\cos \left({\frac {(2k-1)\pi }{2^{n}}}\right)\ln \left|x^{2}-2x\cos \left({\frac {(2k-1)\pi }{2^{n}}}\right)+1\right|\right]\right\}+C} ∫ x 2 a x + b d x = 1 a 3 ( ( a x + b ) 2 2 − 2 b ( a x + b ) + b 2 ln | a x + b | ) {\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{ax+b}}dx={\frac {1}{a^{3}}}\left({\frac {(ax+b)^{2}}{2}}-2b(ax+b)+b^{2}\ln \left|ax+b\right|\right)} ∫ x 2 ( a x + b ) 2 d x = 1 a 3 ( a x + b − 2 b ln | a x + b | − b 2 a x + b ) {\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{(ax+b)^{2}}}dx={\frac {1}{a^{3}}}\left(ax+b-2b\ln \left|ax+b\right|-{\frac {b^{2}}{ax+b}}\right)} ∫ x 2 ( a x + b ) 3 d x = 1 a 3 ( ln | a x + b | + 2 b a x + b − b 2 2 ( a x + b ) 2 ) {\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{(ax+b)^{3}}}dx={\frac {1}{a^{3}}}\left(\ln \left|ax+b\right|+{\frac {2b}{ax+b}}-{\frac {b^{2}}{2(ax+b)^{2}}}\right)} ∫ x 2 ( a x + b ) n d x = 1 a 3 ( − 1 ( n − 3 ) ( a x + b ) n − 3 + 2 b ( n − 2 ) ( a x + b ) n − 2 − b 2 ( n − 1 ) ( a x + b ) n − 1 ) , {\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{(ax+b)^{n}}}dx={\frac {1}{a^{3}}}\left(-{\frac {1}{(n-3)(ax+b)^{n-3}}}+{\frac {2b}{(n-2)(ax+b)^{n-2}}}-{\frac {b^{2}}{(n-1)(ax+b)^{n-1}}}\right),} для n ∉ { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \!n\not \in \{1,2,3\}} ∫ d x x ( a x + b ) = − 1 b ln | a x + b x | {\displaystyle \int {\frac {dx}{x(ax+b)}}=-{\frac {1}{b}}\ln \left|{\frac {ax+b}{x}}\right|} ∫ d x x 2 ( a x + b ) = − 1 b x + a b 2 ln | a x + b x | {\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}(ax+b)}}=-{\frac {1}{bx}}+{\frac {a}{b^{2}}}\ln \left|{\frac {ax+b}{x}}\right|} ∫ d x x 2 ( a x + b ) 2 = − a ( 1 b 2 ( a x + b ) + 1 a b 2 x − 2 b 3 ln | a x + b x | ) {\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}(ax+b)^{2}}}=-a\left({\frac {1}{b^{2}(ax+b)}}+{\frac {1}{ab^{2}x}}-{\frac {2}{b^{3}}}\ln \left|{\frac {ax+b}{x}}\right|\right)} ∫ d x a 2 x 2 + b 2 = 1 a b arctan a x b {\displaystyle \int {\frac {dx}{a^{2}x^{2}+b^{2}}}={\frac {1}{ab}}\arctan {\frac {ax}{b}}\,\!} ∫ d x ( x 2 + a 2 ) 2 = x 2 a 2 ( x 2 + a 2 ) + 1 2 a 3 arctan x a {\displaystyle \int {\frac {dx}{(x^{2}+a^{2})^{2}}}={\frac {x}{2a^{2}(x^{2}+a^{2})}}+{\frac {1}{2a^{3}}}\arctan {\frac {x}{a}}} ∫ d x ( x 2 + a 2 ) 3 = x 4 a 2 ( x 2 + a 2 ) 2 + 3 x 8 a 4 ( x 2 + a 2 ) + 3 8 a 5 arctan x a {\displaystyle \int {\frac {dx}{(x^{2}+a^{2})^{3}}}={\frac {x}{4a^{2}(x^{2}+a^{2})^{2}}}+{\frac {3x}{8a^{4}(x^{2}+a^{2})}}+{\frac {3}{8a^{5}}}\arctan {\frac {x}{a}}} ∫ d x x 2 − a 2 = − 1 a a r t a n h x a = 1 2 a ln a − x a + x , {\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}=-{\frac {1}{a}}\,\mathrm {artanh} {\frac {x}{a}}={\frac {1}{2a}}\ln {\frac {a-x}{a+x}},} для | x | < | a | {\displaystyle \!|x|<|a|} ∫ d x x 2 − a 2 = − 1 a a r c o t h x a = 1 2 a ln x − a x + a , {\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}=-{\frac {1}{a}}\,\mathrm {arcoth} {\frac {x}{a}}={\frac {1}{2a}}\ln {\frac {x-a}{x+a}},} для | x | > | a | {\displaystyle \!|x|>|a|} ∫ d x a x 2 + b x + c = 2 4 a c − b 2 arctan 2 a x + b 4 a c − b 2 , {\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}={\frac {2}{\sqrt {4ac-b^{2}}}}\arctan {\frac {2ax+b}{\sqrt {4ac-b^{2}}}},} для 4 a c − b 2 > 0 {\displaystyle \!4ac-b^{2}>0} ∫ d x a x 2 + b x + c = 2 b 2 − 4 a c a r t a n h 2 a x + b b 2 − 4 a c = 1 b 2 − 4 a c ln | 2 a x + b − b 2 − 4 a c 2 a x + b + b 2 − 4 a c | , {\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}={\frac {2}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}\,\mathrm {artanh} {\frac {2ax+b}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}={\frac {1}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}\ln \left|{\frac {2ax+b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2ax+b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}\right|,} для 4 a c − b 2 < 0 {\displaystyle \!4ac-b^{2}<0} ∫ d x a x 2 + b x + c = − 2 2 a x + b (for 4 a c − b 2 = 0 ) {\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}=-{\frac {2}{2ax+b}}\qquad {\mbox{(for }}4ac-b^{2}=0{\mbox{)}}} ∫ x a x 2 + b x + c d x = 1 2 a ln | a x 2 + b x + c | − b 2 a ∫ d x a x 2 + b x + c {\displaystyle \int {\frac {x}{ax^{2}+bx+c}}dx={\frac {1}{2a}}\ln \left|ax^{2}+bx+c\right|-{\frac {b}{2a}}\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}} ∫ m x + n a x 2 + b x + c d x = m 2 a ln | a x 2 + b x + c | + 2 a n − b m a 4 a c − b 2 arctan 2 a x + b 4 a c − b 2 , {\displaystyle \int {\frac {mx+n}{ax^{2}+bx+c}}dx={\frac {m}{2a}}\ln \left|ax^{2}+bx+c\right|+{\frac {2an-bm}{a{\sqrt {4ac-b^{2}}}}}\arctan {\frac {2ax+b}{\sqrt {4ac-b^{2}}}},} для 4 a c − b 2 > 0 {\displaystyle \!4ac-b^{2}>0} ∫ m x + n a x 2 + b x + c d x = m 2 a ln | a x 2 + b x + c | − 2 a n − b m a b 2 − 4 a c a r t a n h 2 a x + b b 2 − 4 a c , {\displaystyle \int {\frac {mx+n}{ax^{2}+bx+c}}dx={\frac {m}{2a}}\ln \left|ax^{2}+bx+c\right|-{\frac {2an-bm}{a{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}\,\mathrm {artanh} {\frac {2ax+b}{\sqrt {b^{2}-4ac}}},} для 4 a c − b 2 < 0 {\displaystyle \!4ac-b^{2}<0} ∫ m x + n a x 2 + b x + c d x = m 2 a ln | a x 2 + b x + c | − 2 a n − b m a ( 2 a x + b ) , {\displaystyle \int {\frac {mx+n}{ax^{2}+bx+c}}dx={\frac {m}{2a}}\ln \left|ax^{2}+bx+c\right|-{\frac {2an-bm}{a(2ax+b)}},} для 4 a c − b 2 = 0 {\displaystyle \!4ac-b^{2}=0} ∫ d x ( a x 2 + b x + c ) n = 2 a x + b ( n − 1 ) ( 4 a c − b 2 ) ( a x 2 + b x + c ) n − 1 + ( 2 n − 3 ) 2 a ( n − 1 ) ( 4 a c − b 2 ) ∫ d x ( a x 2 + b x + c ) n − 1 {\displaystyle \int {\frac {dx}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}}={\frac {2ax+b}{(n-1)(4ac-b^{2})(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}+{\frac {(2n-3)2a}{(n-1)(4ac-b^{2})}}\int {\frac {dx}{(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}\,\!} ∫ x ( a x 2 + b x + c ) n d x = b x + 2 c ( n − 1 ) ( 4 a c − b 2 ) ( a x 2 + b x + c ) n − 1 − b ( 2 n − 3 ) ( n − 1 ) ( 4 a c − b 2 ) ∫ d x ( a x 2 + b x + c ) n − 1 {\displaystyle \int {\frac {x}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}}dx={\frac {bx+2c}{(n-1)(4ac-b^{2})(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}-{\frac {b(2n-3)}{(n-1)(4ac-b^{2})}}\int {\frac {dx}{(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}\,\!} ∫ d x x ( a x 2 + b x + c ) = 1 2 c ln | x 2 a x 2 + b x + c | − b 2 c ∫ d x a x 2 + b x + c {\displaystyle \int {\frac {dx}{x(ax^{2}+bx+c)}}={\frac {1}{2c}}\ln \left|{\frac {x^{2}}{ax^{2}+bx+c}}\right|-{\frac {b}{2c}}\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}}
Градштейн И. С. Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (4-е издание). М.։ Наука, 1963. ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
Двайт Г. Б. Таблицы интегралов СПб։ «Издательство и типография АО ВНИИГ им. Б. В. Веденеева», 1995.-176 с. ISBN 5-85529-029-8 .
D. Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae , 31st ed., 2002. ISBN 1-58488-291-3 .
M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables , 1964. ISBN 0-486-61272-4 Ինտեգրալների աղյուսակներ
խմբագրել
Ինտեգրալների հաշվում
խմբագրել