ՆկարագրումKleinBottle-Figure8-01.png	Figure-eight immersion of a Klein bottle into R3. Made with Mathematica. English: The "figure 8" immersion of the Klein bottle. Italiano: L'immersione a "figura 8" della bottiglia di Klein. Русский: Реализация бутылки Клейна в виде восьмерки
Թվական	05/08/06
Աղբյուր	Own drawing, Mathematica 5.1
Հեղինակ	Fropuff, Inductiveload
Իրավունքներ (Նիշքի վերաօգտագործումը)	The original image was released into the public domain by Fropuff: Public domainPublic domainfalsefalse This work has been released into the public domain by its author, Fropuff. This applies worldwide. In some countries this may not be legally possible; if so: Fropuff grants anyone the right to use this work for any purpose, without any conditions, unless such conditions are required by law. The derived, redrawn, edited image was released into the public domain by Inductiveload: Public domainPublic domainfalsefalse This work has been released into the public domain by its author, Inductiveload. This applies worldwide. In some countries this may not be legally possible; if so: Inductiveload grants anyone the right to use this work for any purpose, without any conditions, unless such conditions are required by law.
Այլ մեկնակերպներ	For a cut-away version see Image:KleinBottle-Figure8-02.png.

Please translate the English parts of this template into Armenian. Գոյություն ունի այս պատկերի վեկտորային տարբերակը ("SVG"): Եթե այն իր ռաստրային տարբերակից ավելի որակյալ է, ապա գերադասելի է նրա օգտագործումը: File:KleinBottle-Figure8-01.png → File:KleinBottle-Figure8-01.svg Վեկտորային գրաֆիկայի մասին ավելին իմանալու համար կարող եք կարդալ պատկերների փոխադրման մասին SVG ֆորմատի: Նաև մատչելի են տեղեկություններ SVG ֆորմատի աջակցման մասին ՄեդիաՎիքիյում: Այլ լեզուներով Alemannisch ∙ Bahasa Indonesia ∙ Bahasa Melayu ∙ British English ∙ català ∙ čeština ∙ dansk ∙ Deutsch ∙ eesti ∙ English ∙ español ∙ Esperanto ∙ euskara ∙ français ∙ Frysk ∙ galego ∙ hrvatski ∙ Ido ∙ italiano ∙ lietuvių ∙ magyar ∙ Nederlands ∙ norsk bokmål ∙ norsk nynorsk ∙ occitan ∙ Plattdüütsch ∙ polski ∙ português ∙ português do Brasil ∙ română ∙ Scots ∙ sicilianu ∙ slovenčina ∙ slovenščina ∙ suomi ∙ svenska ∙ Tiếng Việt ∙ Türkçe ∙ vèneto ∙ Ελληνικά ∙ беларуская (тарашкевіца) ∙ български ∙ македонски ∙ нохчийн ∙ русский ∙ српски / srpski ∙ татарча/tatarça ∙ українська ∙ ქართული ∙ հայերեն ∙ বাংলা ∙ தமிழ் ∙ മലയാളം ∙ ไทย ∙ 한국어 ∙ 日本語 ∙ 简体中文 ∙ 繁體中文 ∙ עברית ∙ العربية ∙ فارسی ∙ +/−

 

This immersion of the Klein bottle into R³ is given by the following parameterization. Here the parameters u and v run from 0 to 2π and r is some fixed positive constant.

${\displaystyle x=\left(r+\cos {\frac {u}{2}}\sin v-\sin {\frac {u}{2}}\sin 2v\right)\cos u}$

${\displaystyle y=\left(r+\cos {\frac {u}{2}}\sin v-\sin {\frac {u}{2}}\sin 2v\right)\sin u}$

${\displaystyle z=\sin {\frac {u}{2}}\sin v+\cos {\frac {u}{2}}\sin 2v}$

Klein8[r_:2] =
 Function[{u, v},
   {
       (r + Cos[u/2]Sin[v] - Sin[u/2]Sin[2v]) Cos[u],
       (r + Cos[u/2]Sin[v] - Sin[u/2]Sin[2v]) Sin[u],
       Sin[u/2]Sin[v] + Cos[u/2]Sin[2v]
   }
 ]

 ParametricPlot3D[Evaluate[Klein8[][u, v]], {u, 0, 2Pi}, {v, 0, 2Pi},
   PlotPoints -> 60, Boxed -> False, Axes -> False, ImageSize -> 800]

This image was then antialised with Chris Hill's code, made transparent around the surface and had stray pixels removed in an image editor.