Պասկալի հայտանիշ

Պասկալի հայտանիշ, մեթոդ, որն օգնում է ստանալու ցանկացած թվի վրա բաժանելիության հայտանիշները։ Իր տեսակով «բաժանելիության յուրահատուկ մեթոդ»։

Ընդհանուր տեսքը

Դիցուք տրված է հաշվարկման տասական համակարգում ${\overline {a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}}}$ տեսքով ներկայացված $~A$ բնական թիվը, որտեղ $\!a_{0}$ — միավորն է, $\!a_{1}$ — տասնյակը և այլն։ Դիցուք $~m$ —ը ցանկացած բնական թիվ է, որի վրա ցանկանում ենք բաժանել և արտածել նրա վրա բաժանելիության հայտանիշը։ Գտնենք մնացորդների շարքը հետևյալ սխեմայով.

$\!r_{1}$ — $~10$-ը $~m$-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդ

$\!r_{2}$ — $10\cdot r_{1}$ -ը $~m$-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդ

$\!r_{3}$ — $10\cdot r_{2}$ -ը $~m$-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդ

$\!r_{n}$ — $10\cdot r_{n-1}$-ը $~m$-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդ

$r_{1}\equiv 10{\pmod {m}}$

$r_{i}\equiv 10\cdot r_{i-1}{\pmod {m}},\;i={\overline {2...n}}$

Քանի որ մնացորդների քանակը վերջավոր է, ապա այս գործընթացն ավարտվում է (ոչ ուշ, քան $~m$ քայլից)և այլևս կարելի է չշարունակել։ Սկսած որևէ $i=i_{0},~r_{i+p}=r_{i}$ որտեղ $~p$-ն $~\{r_{i}\}$ հաջորդականության ստացված պարբերություննէ։ Կարելի է ընդունել $~r_{0}=1$։ Այդ դեպքում $~A$ ունի $~m$- վրա բաժանելուց ստացված նույն մնացորդը, ինչ որ $r_{n}\cdot a_{n}+\ldots +r_{2}\cdot a_{2}+r_{1}\cdot a_{1}+a_{0}$. թիվը։

Հիմնական մասնավոր դեպքեր

2-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը

Այստեղ $\!m=2$: Քանի որ $10~\vdots ~2$, ապա $~r_{0}=1,~r_{i}=0,~i\in \mathbb {N}$. Այստեղից ստանում ենք հայտնի հայտանիշը. Թիվը 2-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդը հավասար է այդ թվի վերջին թվանշանը 2-ի բաժանելուց ստացված մանցորդին, կամ սովորաբար. Թիվը բաժանվում է 2-ի, եթե նրա վերջին թվանշանը զույգ է։

3-ի և 9-ի վրա բաժանելիության հայտանիշները

Այստեղ $\!m=3$ կամ $\!m=9$: Քանի որ $10^{i}\equiv 1(mod\ 3),i\in \mathbb {N}$ (10-ը ինչպես 9-ի, այնպես էլ 3-ի բաժանելիս մնացորդում ստացվում է 1), ապա բոլոր $~r_{i}=1$: Նշանակում է, թիվը 3-ի (կամ 9-ի) վրա բաժանելիս ստացված մնացորդը հավասար է նրա թվանշանների գումարը 3-ի (համապատասխանաբար՝ 9-ի) վրա բաժանելիս ստացված մնացորդին, կամ այլ կերպ, թիվը բաժանվում է 3-ի (կամ 9-ի), եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 3-ի (կամ 9-ի)։

4-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը

Այստեղ $~m=4$: Գտնենք մնացորդների հաջորդականությունը.$~r_{0}=1,~r_{1}=2,~r_{i}=0,~i\in \mathbb {N}$: Այստեղից ստանում ենք հայտանիշը. թիվը 4-ի վրա բաժանելիս ստացված մնացորդը հավասարէ $~2\cdot a_{1}+a_{0}$ -ը 4-ի վրա բաժանելիս ստացված մնացորդին, կամ, նկատի ունենալով, որ մնացորդը կախված է միայն վերջին երկու թվանշաններից, կստացվի. թիվը բաժանվում է 4-ի, եթե նրա վերջին երկու թվանշաններով կազմված թիվը բաժանվում է 4-ի ։

5-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը

Այստեղ $~m=5$. Քանի որ $10~\vdots ~5$, ապա $~r_{0}=1,~r_{i}=0,~i\in \mathbb {N}$. Այստեղից ստանում ենք հայտնի հայտանիշը. Թիվը 5-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդը հավասար է այդ թվի վերջին թվանշանը 5-ի բաժանելուց ստացված մանցորդին, կամ սովորաբար. Թիվը բաժանվում է 5-ի, եթե նրա վերջին թվանշանը 0 է կամ 5։

7-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը

Այստեղ $\!m=7$: Գտնենք մնացորդները.

1. $10=1\cdot 7+3\Rightarrow r_{1}=3$
2. $10\cdot r_{1}=4\cdot 7+2\Rightarrow r_{2}=2$
3. $10\cdot r_{2}=2\cdot 7+6\Rightarrow r_{3}=6$
4. $10\cdot r_{3}=8\cdot 7+4\Rightarrow r_{4}=4$
5. $10\cdot r_{4}=5\cdot 7+5\Rightarrow r_{5}=5$
6. $10\cdot r_{5}=7\cdot 7+1\Rightarrow r_{6}=1=r_{0}$, ցիկլը փակվում է։

Հետևաբար, ցանկացած $A={\overline {a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}}}$ թվի համար 7-ի վրա նրա բաժանելուց ստացված մանցորդը հավասար է.

$a_{0}+3a_{1}+2a_{2}+6a_{3}+4a_{4}+5a_{5}+a_{6}+\ldots$ :

Օրինակ

Դիտարկենք 48916 թիվը։ Վերը ապացուցվածի համաձայն,

$48916\equiv 6+3\cdot 1+2\cdot 9+6\cdot 8+4\cdot 4=$

$6+3+18+48+16=91\equiv 0(mod\ 7)$,

նշանակում է, 48916 թիվը բաժանվում է 7-ի վրա։

11 -ի վրա բաժանելիության հայտանիշը

Այստեղ $\!m=11$. Քանի որ $10^{2n}=99\cdot 101\ldots 01+1\equiv 1(mod\ 11)$, ապա բոլոր $~r_{2i}=1$, իսկ $r_{2i-1}=10\equiv -1(mod\ 11)$: Այստեղից կարելի է ստանալ 11-ի վրա բաժանելիության պարզ հայտանիշը.

թիվը 11-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդը հավասար է նրա թվանշանների այն գումարը 11-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդին, որտեղ յուրաքանչյուր կենտ թվով արտահայտված դիրքում գտնվող թվանշանը (սկսած միավորից) վերցված է «−» նշանով։

Այլ կերպ ասած.

եթե թվի բոլոր թվանշանները բաժանենք երկու խմբի այնպես, որ մի խմբում լինեն բոլոր կենտ դիրքերում գտնվող թվանշանները, մյուսում` զույգ, յուրաքանչյուր խմբում գումարենք բոլոր թվանշանները և ստացված գումարներից մեկից հանենք մյուսը, ապա ստացված թիվը 11-ի բաժանելուց ստացված մնացորդը կլինի նույնը, ինչ ելակետային թվի համար։

Գրականություն

Признаки делимости Արխիվացված 2020-07-18 Wayback Machine М., "Наука" 1988 г., 94 стр. 165 000 экз. (Популярные лекции по математике)