Շրջված մատրից

Շրջված մատրից - $A^{T}$ մատրից, որը ստացվում է սկզբնական $A$ մատրիցից տողերը սյուներով փոխարինման արդյունքում։ ։

A մատրիցի շրջված A^T մատրիցը ստացվում է մատրիցից տողերը սյուներով փոխարինման արդյունքում։ Կրկնակի շրջված մատրիցը հավասար է սկզբնական մատրիցին։

Այլ կերպ, $m\times n$ չափի $A$ մատրիցի շրջված $A^{T}$ մատրիցը, որն ունի $n\times m$ չափեր, որոշվում է $A_{ij}^{T}=A_{ji}$ բանաձևով։

Օրինակ,

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}$ և ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;$

Այսինքն, շրջված մատրիցը ստանալու համար բավական է սկզբնական մատրիցում յուրաքանչյուր տող փոխարինել սյան տեսքով նույն հաջորդականությամբ։

Շրջված մատրիցների հատկությունները

• Կրկնակի $A$ մատրիցը հավասար է սկզբնական $A$ մատրիցին՝

$(A^{T})^{T}=A$

• Մատրիցների գումարի շրջված մատրիցը հավասար է առանձին-առանձին շրջված մատրիցների գումարին՝

$(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$

• Մատրիցների արտադրյալի շրջված մատրիցը հավասար է հակառակ հերթականությամբ առանձին-առանձին շրջված մատրիցների արտադրյալին՝

$(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$

• Փոխակերպման դեպքում կարելի է դուրս բերել գործակիցը՝

$(\lambda A)^{T}=\lambda A^{T}$

• Շրջված մատրիցի որոշիչը հավասար է սկզբնական մատրիցի որոշիչին՝

$\det A=\det A^{T}$

Առնչվող սահմանումներ

Սիմետրիկ մատրից – մատրից է, որը բավարարում է $S^{T}=S$ հարաբերակցությանը։

Որպեսզի $S$ մատրիցը լինի սիմետրիկ, անհրաժեշտ է և բավարար, որ․

• $S$ մատրիցը լինի քառակուսային,
• մատրիցի էլեմենտները, որոնք սիմետրիկ են գլխավոր անկյունագծին, լինեն հավասար, այսինքն՝ $S_{ij}=S_{ji}$։

Հակասիմետրիկ (կոսոսիմետրիկ) մատրից (հակասիմետրիկ, կոսիմետրիկ) — մատրից, որը բավարարում է $A^{T}=-A$ հարաբերակցությանը։

Որպեսզի $A$ մատրիցը լինի հակասիմետրիկ, անհրաժեշտ է և բավարար, որպեսզի.

• $S$ մատրիցը լինի քառակուսային,
• մատրիցի էլեմենտները, որոնք սիմետրիկ են գլխավոր անկյունագծին, լինեն հավասար ըստ մոդուլի և հակադիր ըստ նշանի, այսինքն՝ $A_{ij}=-A_{ji}$։

Այստեղից հետևում է, որ հակասիմետրիկ մատրիցի գլխավոր անկյունագծի էլեմենտները հավասար են զրոյի՝ $A_{ii}=0$։

Ցանկացած $M$ քառակուսային մատրիցի համար տեղի ունի $M=S+A$ ներկայացումը, որտեղ $S={\frac {M+M^{T}}{2}}$-ը սիմետրիկ մասն է, իսկ $A={\frac {M-M^{T}}{2}}$-ը՝ հակասիմետրիկ մասը։