Մասնակից:MHamlet/Սևագրություն/3

Կրամերի մեթոդ (Կրամերի կանոն), այն հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծման մեթոդ, որոնց հավասարումներ քանակը հավասար է հիմնական մատրիցի ոչ զրոյական գլխավոր որոշիչով անհայտներին (այդպիսի հավասարումների լուծումը գոյություն ունի և միակն է)։ Անվանված է ի պատիվ Գաբրիել Կրամերի (1704—1752), ով 1750 թվականին առաջարկել է մեթոդը։

Մեթոդի նկարագրությունը

Գծային հավասարումների $n$ չափանի $n$ հատ անհայտներով (ցանկացած դաշտով), համակարգի $\Delta$ զրոյից տարբեր որոշիչով

${\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ldots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\ldots +a_{nn}x_{n}=b_{n}\\\end{cases}}$

համակարգի լուծումը գրառվում է այս տեսքով՝

$x_{i}={\frac {1}{\Delta }}{\begin{vmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&\ldots &a_{2,i-1}&b_{2}&a_{2,i+1}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n-1,1}&\ldots &a_{n-1,i-1}&b_{n-1}&a_{n-1,i+1}&\ldots &a_{n-1,n}\\a_{n1}&\ldots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\ldots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}$

(համակարգի մատրիցի i-րդ սյունը փոխարինվում է ազատ անդամների սյունով)։
Այլ կերպ Կրամերի կանոնը ձևակերպվում է այսպես․ ցանկացած c₁, c₂, …, c_n գործակիցների համար գործում է հետևյալ հավասարումը՝

$(c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\dots +c_{n}x_{n})\cdot \Delta =-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}&b_{2}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}&b_{n}\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&0\\\end{vmatrix}}$

Այս ձևակերպմամբ Կրամերի բանաձևը ճիշտ է առանց ենթադրման, որ $\Delta$-ն տարբեր է զրոյից, պետք չէ նաև не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы $b_{1},b_{2},...,b_{n}$ и $x_{1},x_{2},...,x_{n}$, либо набор $c_{1},c_{2},...,c_{n}$ состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

Օրինակ

Система линейных уравнений:

${\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=b_{2}\\a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=b_{3}\\\end{cases}}$

Определители:

$\Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}},\ \ \Delta _{1}={\begin{vmatrix}b_{1}&a_{12}&a_{13}\\b_{2}&a_{22}&a_{23}\\b_{3}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}},\ \$

$\Delta _{2}={\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}&a_{13}\\a_{21}&b_{2}&a_{23}\\a_{31}&b_{3}&a_{33}\\\end{vmatrix}},\ \ \Delta _{3}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&b_{2}\\a_{31}&a_{32}&b_{3}\\\end{vmatrix}}$

Решение:

$x_{1}={\frac {\Delta _{1}}{\Delta }},\ \ x_{2}={\frac {\Delta _{2}}{\Delta }},\ \ x_{3}={\frac {\Delta _{3}}{\Delta }}$

Пример:

${\begin{cases}2x_{1}+5x_{2}+4x_{3}=30\\x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=150\\2x_{1}+10x_{2}+9x_{3}=110\\\end{cases}}$

Определители:

$\Delta ={\begin{vmatrix}2&5&4\\1&3&2\\2&10&9\\\end{vmatrix}}=5,\ \ \Delta _{1}={\begin{vmatrix}30&5&4\\150&3&2\\110&10&9\\\end{vmatrix}}=-760,\ \$

$\Delta _{2}={\begin{vmatrix}2&30&4\\1&150&2\\2&110&9\\\end{vmatrix}}=1350,\ \ \Delta _{3}={\begin{vmatrix}2&5&30\\1&3&150\\2&10&110\\\end{vmatrix}}=-1270.$

$x_{1}=-{\frac {760}{5}}=-152,\ \ x_{2}={\frac {1350}{5}}=270,\ \ x_{3}=-{\frac {1270}{5}}=-254$

Вычислительная сложность

Метод Крамера требует вычисления $n+1$ определителей размерности $n\times n$. При использовании метода Гаусса для вычисления определителей, метод имеет временную сложность порядка $O(n^{4})$, что хуже, чем если бы метод Гаусса напрямую использовался для решения системы уравнений. Поэтому метод считался непрактичным. Однако, в 2010 году было показано, что метод Крамера может быть реализован со сложностью $O(n^{3})$, сравнимой со сложностью метода Гаусса.

Литература

• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — Изд. 3-е, перераб., М.: «Наука», 1970. — 400 c.

См. также

• Метод Гаусса