Մասնակից:Gor Minasyan/Սևագիր 10

Սահմանում

Հերմիտի բազմանդամների գրաֆիկը $n=0,1,...,5$ դասավորությամբ

Հերմիտի բազմանդամների թեորեմը ընդանրապես որոշվում է արտահայտությամբ

$H_{n}^{\mathrm {math} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}/2}\,\!$;

Ֆիզիկայում ընդանրապես օգտագործվում են այլ արտահայտություններ

$H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}\,\!$.

Առաջին տասնմեկ գլխավոր արտահայտությունները բազմանդամների (n = 0,1,…,10) համար։

$H_{0}(x)=1\,$

$H_{1}(x)=x\,$

$H_{2}(x)=x^{2}-1\,$

$H_{3}(x)=x^{3}-3x\,$

$H_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3\,$

$H_{5}(x)=x^{5}-10x^{3}+15x\,$

$H_{6}(x)=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15\,$

$H_{7}(x)=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x\,$

$H_{8}(x)=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105\,$

$H_{9}(x)=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x\,$

$H_{10}(x)=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945\,$ ։

Անալոգիական եղանակով որոշվում է առաջին տասնմեկ (n = 0,1,…,10) բազմանդամների ֆիզիկակական սահմանման համար։

$H_{0}(x)=1\,$

$H_{1}(x)=2x\,$

$H_{2}(x)=4x^{2}-2\,$

$H_{3}(x)=8x^{3}-12x\,$

$H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12\,$

$H_{5}(x)=32x^{5}-160x^{3}+120x\,$

$H_{6}(x)=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120\,$

$H_{7}(x)=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x\,$

$H_{8}(x)=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680\,$

$H_{9}(x)=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x\,$

$H_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240\,$

Ընդանուր հավասարումը Հերմիտի բազմանդամների համար ունի հետևյալ տեսքը՝

$H_{n}(x)=\sum _{j=0}^{[n/2]}{(-1)^{j}}{\frac {n!}{j!(n-2j)!}}(2x)^{n-2j}=x^{n}-{\frac {n(n-1)}{2}}x^{n-2}+{\frac {1}{4}}{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2}}x^{n-4}-\ldots ,$

Հատկություն

$H_{n}(x)$ բազմանդամը պարունակում է անդամներ այնպիսի պարզությամբ, ինչպես որ $n$ թիվը։ $H_{2n}(-x)=H_{2n}(x),~~H_{2n+1}(-x)=-H_{2n+1}(x),~~~n=0,1,2,\ldots$:

$x=0$-ի դեպքում ճշմարիտ են այսպիսի հարաբերակցությունները:

$H_{2n}(0)={\dfrac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\dfrac {(2n)!}{n!}},~~H_{2n+1}=0,~~~n=0,1,2,$,

$H_{2n}(0)={\dfrac {(-1)^{n}(2n)!}{n!}},~~H_{2n+1}=0,~~~n=0,1,2,$. (ֆիզիկական սահմանման ժամանակ)

$H_{n}(x)$ բազմանդամը կարելի է պատկերասնել $n\times n$ մատրիցի որոշչի տեսքով։

$H_{n}(x)=\left|{\begin{array}{cccccc}x&n-1&0&0&\cdots &0\\1&x&n-2&0&\cdots &0\\0&1&x&n-3&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&0&0&\cdots &x\end{array}}\right|$

Գումարման բանաձևը

Հերմիտի բազմանդամների համար կա բազմապատկման հետևյալ բանաձևը։

${\frac {(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2})^{\frac {\mu }{2}}}{\mu !}}H_{\mu }\left[{\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots a_{n}x_{n}}{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}}}\right]=\sum _{m_{1}+\cdots +m_{n}=\mu }{\frac {a_{1}^{m_{1}}}{m_{1}!}}\cdots {\frac {a_{n}^{m_{n}}}{m_{n}!}}H_{m_{1}}(x_{1})\cdots H_{m_{n}}(x_{n})~.$

Հեշտությամբ կարողենք տեսնել, որ հաջորդ բանաձևերը հանդիսանում են նրա մասնավոր դեպքերը։

• $a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=1$, $x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}$. Тогда

$n^{\frac {\mu }{2}}H_{\mu }({\sqrt {n}}x)=\sum _{m_{1}+\cdots +m_{n}=\mu }{\frac {\mu !}{m_{1}!\cdots m_{n}!}}H_{m_{1}}(x)\cdots H_{m_{n}}(x)$.

• $n=2$, $a_{1}=a_{2}=1$, $x_{1}={\sqrt {2}}x,~x_{2}={\sqrt {2}}y$. Тогда

$2^{\mu }H_{\mu }(x+y)=\sum _{p+q+r+s=\mu }{\frac {\mu !}{p!~q!~r!~s!}}H_{p}(x)H_{q}(x)H_{p}(y)H_{q}(y)$.

• $a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=1$, $x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}$. Тогда

$n^{\frac {\mu }{2}}H_{\mu }({\sqrt {n}}x)=\sum _{m_{1}+\cdots +m_{n}=\mu }{\frac {\mu !}{m_{1}!\cdots m_{n}!}}H_{m_{1}}(x)\cdots H_{m_{n}}(x)$.

• $n=2$, $a_{1}=a_{2}=1$, $x_{1}={\sqrt {2}}x,~x_{2}={\sqrt {2}}y$. Тогда

$2^{\mu }H_{\mu }(x+y)=\sum _{p+q+r+s=\mu }{\frac {\mu !}{p!~q!~r!~s!}}H_{p}(x)H_{q}(x)H_{p}(y)H_{q}(y)$.

Օրթոգոնալություն

Հերմիտի բազմանդամը ստեղծում է լիքը օրթոգոնալ սիստեմ $(-\infty ,+\infty )$ ինտերվալում $e^{-x^{2}/2}\,\!$ կամ $e^{-x^{2}}\,\!$ զանգվածով, կախված սահմանումից։

$\int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{-x^{2}/2}\,dx=n!{\sqrt {2\pi }}~\delta _{\mathit {nm}}$,

$\int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{-x^{2}}\,dx=2^{n}n!{\sqrt {\pi }}~\delta _{\mathit {nm}}$, (ֆիզիկական սահմանման ժամանակ)

որտեղ $\delta _{mn}$-ը Կրոնեկերայի դելտա-սիմվոլն է։