Վալլիսի Բանաձեւը(Վալլիսի ստեղծագործությունը) —π թիվ արտահայտող բանաձևի միջոցով անվերջ արտադրանքի ռացիոնալ խմբակցությունների:
π
2
=
∏
n
=
1
∞
4
n
2
4
n
2
−
1
=
∏
n
=
1
∞
(
2
n
2
n
−
1
⋅
2
n
2
n
+
1
)
=
(
2
1
⋅
2
3
)
⋅
(
4
3
⋅
4
5
)
⋅
(
6
5
⋅
6
7
)
⋅
(
8
7
⋅
8
9
)
⋅
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)\\[6pt]&={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdot \;\cdots \\\end{aligned}}}
1655 թվականին Ջոն Վալիսն առաջարկել է π թիվը որոշելու բանաձեւը
π
2
=
∏
n
=
1
∞
(
2
n
)
2
(
2
n
−
1
)
(
2
n
+
1
)
=
2
1
⋅
2
3
⋅
4
3
⋅
4
5
⋅
6
5
⋅
6
7
⋅
8
7
⋅
8
9
⋅
10
9
⋅
10
11
⋅
…
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot {\frac {10}{9}}\cdot {\frac {10}{11}}\cdot \ldots }
Ջ ․ Վալիսը եկավ նրա մոտ, Հաշվելով շրջանագծի տարածքը:Պատմականորեն Վալիսի բանաձևը կարևորվում էր որպես անվերջ ստեղծագործությունների առաջին օրինակներից մեկը ։
Այս ստեղծագործությունը շատ դանդաղ է զուգամիտում,հետեւաբար, գործնական հաշվարկի համար Վալիսի բանաձեւը փոքր է:
Այնուամենայնիվ, այն օգտակար է տարբեր տեսական հետազոտություններում,օրինակ, դուրսբերումը Ստրիլինգի բանաձեւով.Այն էլ,եթե այս բանաձեւով մի փոքր շտկեք ավարտը,
π
≈
[
∏
n
=
1
m
−
1
(
2
n
)
2
(
2
n
−
1
)
(
2
n
+
1
)
]
⋅
[
2
m
2
m
−
1
⋅
(
2
m
2
m
+
1
⋅
1
4
+
1
)
+
3
4
]
=
2
1
⋅
2
3
⋅
4
3
⋅
4
5
⋅
6
5
⋅
6
7
⋅
[
8
7
⋅
(
8
9
⋅
1
4
+
1
)
+
3
4
]
,
{\displaystyle \pi \approx \left[\prod _{n=1}^{m-1}{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)}}\right]\cdot \left[{\frac {2m}{2m-1}}\cdot \left({\frac {2m}{2m+1}}\cdot {\frac {1}{4}}+1\right)+{\frac {3}{4}}\right]={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot \left[{\frac {8}{7}}\cdot \left({\frac {8}{9}}\cdot {\frac {1}{4}}+1\right)+{\frac {3}{4}}\right],}
ապա կոնվերգենցիայի արագությունը աճում է մոտ հինգ հրամանով:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)\\[6pt]&={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdot \;\cdots \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df59bf8aa67b6dff8be6cffb4f59777cea828454)
![{\displaystyle \pi \approx \left[\prod _{n=1}^{m-1}{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)}}\right]\cdot \left[{\frac {2m}{2m-1}}\cdot \left({\frac {2m}{2m+1}}\cdot {\frac {1}{4}}+1\right)+{\frac {3}{4}}\right]={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot \left[{\frac {8}{7}}\cdot \left({\frac {8}{9}}\cdot {\frac {1}{4}}+1\right)+{\frac {3}{4}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3979155130d61b25b8eede45858c8ef98ee387fc)