Կիսախումբ

Կիսախումբը հանրահաշվական կառուցվածք է՝ բաղկացած բազմությունից, որի վրա սահմանված է ասոցիատիվ բինար գործողություն։ Կիսախմբից սերում է մոնոիդը, որում առկա է նաև միավոր տարրը։ Նրանից սերում է նաև խումբը, որում ցանկացած տարր հակադարձելի է։

Կիսախումբը արդի հանրահաշվի հիմնական գաղափարներից է։ Կ. է կոչվում զուգորդական երկտեղանի գործողությամբ օժտված բազմությունը։ Մի կողմից Կ. կարելի է դիտել որպես խմբակերպի մասնավոր դեպք, մյուս կողմից՝ խմբի ընդհանրացում։ Կ–ի պարզագույն օրինակ է բնական թվերի բազմությունը գումարման գործողության նկատմամբ։ Կ–ի հետևյալ օրինակը որոշ իմաստով ամենաընդհանուրն է։ Դիցուք՝ X-ը որևէ բազմություն է, Տ–ը՝ X-ն իր մեջ արտապատկերումների (ձևափոխությունների) որևէ համախմբություն։ Եթե կամայական երկու ձևափոխությունների հետ Տ–ը պարունակում է նաև հաջորդաբար կիրառման արդյունք հանդիսացող ձևափոխությունը, ապա Տ–ը այդպիսի գործողության նկատմամբ կազմում է Կ.: Կամայական Կ. իզոմորֆ է ձևափոխությունների որոշակի Կ–ի։ Կ–երի տեսությունը ֆունկցիոնալ անալիզի, դիֆերենցիալ երկրաչափության, գրաֆների տեսության և մաթ. այլ ասպարեզների հետ կապվում է հատկապես ձևափոխությունների Կ–ի միջոցով։

Եթե Տ–ը X բազմության (այբուբենի) բոլոր վերջավոր կարգավորված ենթաբազմությունների (բառերի) համախմբությունն է, և բառերի յուրաքանչյուր կարգավորված զույգին համապատասխանեցվել է դրանց համադրումից առաջացած բառը, ապա Տ–ը նշվսծ երկտեղանի գործողության նկատմամբ կազմում է Կ., որը կոչվում է X այբուբենով ազատ Կ.: Կամայական Կ. որևէ ազատ Կ–ի հոմոմորֆ պատկերն է։ Կ–երի տեսությունը ուսումնասիրում է Կ–երի կառուցվածքը, դասակարգումը, ներկայացումները (մատրիցներով, օպերատորներով, ձևափոխություններով), Կ–երի հատուկ դասերը (պարզ, ինվերս, ինվոլյուտիվ, տոպոլոգիական ևն)։

Սահմանում

$S$ բազմությունը կոչվում է կիսախումբ, եթե

1. $\forall a,b\in M$ $a\cdot b\in M$ ( փակ է "$\cdot$" գործողության նկատմամբ)
2. $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\,\forall a,b,c\in S$ ( ասոցիատիվ է )

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 5, էջ 444)։