Կելվինի ձևափոխություն
Այս հոդվածն աղբյուրների կարիք ունի։ Դուք կարող եք բարելավել հոդվածը՝ գտնելով բերված տեղեկությունների հաստատումը վստահելի աղբյուրներում և ավելացնելով դրանց հղումները հոդվածին։ Անհիմն հղումները ենթակա են հեռացման։ |
Այս հոդվածը Կելվինի ձևափոխության մասին է, որն օգտագործվում է հարմոնիկ ֆունկցիաների հետազոտման ապարատում։
- Անվերջ տարածություններում հարմոնիկ ֆունկցիաների հետազոտման ժամանակ հաճախ հարմար է լինում կցել անվերջ հեռու կետը(∞) Rn - ին։
Կելվինի ձևափոխության օգնությամբ ստանալու ենք նոր ֆունկցիա, սակայն մինչ դրան անցնելը սկզբում հետազոտենք Rn տարածության ինվերսիան 0 կենտրոնով և R շառավղով շրջանի նկատմամբ։ Ցանկացած x կետի համապատասխանության մեջ դնենք x* կետը հետևյալ ձևով՝
Մասնավորաբար R=1 - ի դեպքում այն կընդունի հետևյալ տեսքը
- Ցանկացած E⊂Rn բազմության համար սահմանենք E* բազմությունը հետևյալ կերպ՝
- E* = {x* : x ∈ E}
- Այս ձևափոխության կարևոր հատկույուններից մեկն այն է, որ այն արտապատկերում է անվերջ հեռու կետը 0-ի և հակառակը։
- Տրված u ֆունկցիայի համար E⊂Rn\{0} բազմության վրա սահմանենք K[u] ֆունկցիա E* բազմության վրա հետևյալ ձևով՝
- Մասնավորապես միավոր շրջանի դեպքում այն կստանա հետևյալ տեսքը՝
- K[u]-ն կոչվում է u ֆունկցիայի Կելվինի ձևափոխություն։
- Երբ n=2 ,ապա
- Հեշտությամբ կարելի է համողվել, որ K[K[u]]=u
- Կելվինի ձևափոխությունը նաև գծային է, այսինքն՝ եթե u-ն և v-ն տրված ֆունկցիաներ են E-ի վրա և b, c-ն հաստատուններ են, ապա
- K[bu+cv]=bK[u]+cK[v], E* - ի վրա։
- Կելվինի ձևափոխության կարևորագույն առանձնահատկությունն այն է , որ այն պահպանում է ֆունկցիայի հարմոնիկությունը,այսինքն՝ եթե u-ն հարմոնիկ ֆունկցիա Է E բազմության վրա, ապա K[u] - ն հարմոնիկ է E* բազմության վրա։
Ծանոթագրություններ
խմբագրել- J. L. Doob (2001). Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart. Springer-Verlag. ISBN 3-540-41206-9.
- Paul Bourdon|Wade Ramey (2001). Harmonic Function Theory. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95218-5.