Կարտոֆիլի պարադոքս

Կարտոֆիլի պարադոքս, մաթեմատիկական հաշվարկի օրինակ, որի արդյունքը հակասում է ինտուիցիային։ Այս պարադոքսը ներառում է կարտոֆիլի չորացումը աննշան թվացող քանակով, սակայն զանգվածի փոփոխության հաշվարկից հետո պարզվում է, որ այն ավելի մեծ է, քան ինտուիտիվորեն սպասվում էր։

Կարտոֆիլի պարադոքսի պատկերում. կապույտ քառակուսիները ներկայացնում են ջրի 99 մասը, իսկ նարնջագույնը ներկայացնում է չոր նյութի 1 մասը (ձախ նկար): Չոր նյութի և ջրի հարաբերակցությունը 1:49 հասցնելու համար ջրի քանակը կրճատվում է մինչև 49, որպեսզի պահպանվի չոր նյութի նույն քանակությունը (միջին ցուցանիշ): Սա համարժեք է չոր մասի կոնցենտրացիայի կրկնապատկմանը (աջ կողմում գտնվող նկարը)

Նկարագրություն

Պարադոքսը ձևակերպված է հետևյալ կերպ.

«Կա 100 կգ կարտոֆիլ, որի քաշի 99 տոկոսը ջուր է։ Կարտոֆիլը չորանում է մինչև 98 տոկոս ջրի պարունակությունը։ Որքա՞ն է այժմ կարտոֆիլի զանգվածը»։

Դեյվիդ Դարլինգի The Universal Book of Mathematics-ը խնդիրը սահմանում է հետևյալ կերպ.

«Ֆրեդը տուն է բերում 100 ֆունտ կարտոֆիլ, որը (լինելով կատարյալ մաթեմատիկական կարտոֆիլ) 99 տոկոսով ջուր է։ Նա թողնում է դրանք դրսում, որպեսզի չորանան ամբողջ գիշեր, ինչից հետո դրանցում ջրի պարունակությունը դառնում է 98 տոկոս։ Որքա՞ն նրանց նոր քաշը։ Անսպասելի պատասխան՝ 50 ֆունտ»

Քուայնի պարադոքսների դասակարգման մեջ կարտոֆիլի պարադոքսը դասակարգվում է որպես «արժանահավատ»։

Պարզ բացատրություններ

Իրականում սպիտակ կարտոֆիլը պարունակում է մոտ 79 % ջուր: 99 % ջուր պարունակում է, օրինակ, ագար-ագարը:

Մեթոդ 1

Բացատրություններից մեկն սկսվում է նրանից, որ սկզբնական շրջանում չոր նյութի զանգվածը 1 կգ է, որը կազմում է 100 կգ-ի 1 %-ը։ Հետո հարց է տրվում՝ 1 կգ-ը քանի՞ կգ-ի 2 %-ն է։ Որպեսզի այս համամասնությունը կրկնակի մեծ դառնա, ընդհանուր զանգվածը պետք է լինի երկու անգամ քիչ։

Մեթոդ 2

100 կգ կարտոֆիլ, 99 % ջուր (ըստ զանգվածի), նշանակում է 99 կգ ջուր և 1 կգ պինդ նյութ։ Այս հարաբերակցությունը 1:99 է:

Եթե ջրի քանակը կրճատվում է մինչև 98 %, չոր նյութը կազմում է քաշի 2 %-ը: 2:98 հարաբերակցությունը կրճատվում է 1:49-ի: Քանի որ չոր նյութը դեռ կշռում է 1 կգ, ջուրը պետք է կշռի 49 կգ, այսինքն՝ ընդհանուր զանգվածը պետք է կլինի 50 կգ։

Հանրահաշվի միջոցով բացատրություններ

Մեթոդ 1

Ջրի գոլորշիացումից հետո մնացած ընդհանուր $x$ զանգվածը պարունակում է 1 կգ մաքուր կարտոֆիլ և $(98/100)x$ ջուր։ Սա արտահայտվում է հետևյալ հավասարման մեջ.

${\begin{aligned}1+{\frac {98}{100}}x&=x\\\Longrightarrow 1&={\frac {1}{50}}x\end{aligned}}$

որի լուծումը տալիս է $x$ = 50 կգ։

Մեթոդ 2

Թարմ կարտոֆիլի ջրի զանգվածը կազմում է $0{,}99\cdot 100$:

Եթե $x$-ը կարտոֆիլի չորացման ժամանակ կորցրած ջրի զանգվածն է, ապա $0{,}98(100-x)$-ը չորացրած կարտոֆիլի ջրի քաշն է։ Ահա.

$0{,}99\cdot 100-0{,}98(100-x)=x$

Փակագծերի բացում և պարզեցում.

${\begin{aligned}99-(98-0{,}98x)&=x\\99-98+0{,}98x&=x\\1+0{,}98x&=x\end{aligned}}$

Յուրաքանչյուր կողմում հանելով x բազմապատկիչ.

${\begin{aligned}1+0{,}98x-0{,}98x&=x-0{,}98x\\1&=0{,}02x\end{aligned}}$

Եվ լուծումը.

${\frac {1}{0{,}02}}={\frac {0{,}02x}{0{,}02}}$

Ստացվում է կորցրած ջրի զանգվածը.

$50=x$

Եվ չորացրած կարտոֆիլի զանգվածը.

$100-x=100-50=50$

Հետևանք

Պատասխանը պահպանվում է չոր նյութի մասնաբաժնի ցանկացած կրկնապատկման դեպքում։ Օրինակ, եթե կարտոֆիլն ի սկզբանե պարունակում է 99,999 % ջուր, ապա այդ տոկոսը մինչև 99,998 % նվազեցնելը ևս պահանջում է զանգվածի կրկնակի կրճատում։

Արտաքին հղումներ

• Weisstein, Eric W. «Potato Paradox» (անգլերեն). mathworld.wolfram.com. Վերցված է 2018 թ․ օգոստոսի 14-ին.