Թեորեմ ։ Եռանկյանն արտագծած շրջանագծի կենտրոնից եռանկյան կողմերն ունեցած հեռավորությունների գումարը հավասար է ներգծած և արտածած շրջանագծերի շառավիղների գումարին։
Կառնոյի առաջին թեորեմը
Դիցուք
D
{\displaystyle D}
A
B
C
{\displaystyle ABC}
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
G
,
H
,
F
:
G
D
H
B
{\displaystyle G,H,F:GDHB}
∠
D
H
B
=
90
,
∠
D
G
B
=
90
=>
∠
D
H
B
+
∠
D
G
B
=
180
{\displaystyle \angle {DHB}=90,\angle {DGB}=90=>\angle {DHB}+\angle {DGB}=180}
Պտղոմեոսի թեորեմի
A
P
⋅
B
′
C
′
=
C
′
P
⋅
A
B
′
+
B
′
P
⋅
A
C
′
{\displaystyle AP\cdot B'C'=C'P\cdot AB'+B'P\cdot AC'}
R
⋅
a
2
=
P
C
′
⋅
b
2
+
P
C
′
⋅
c
2
{\displaystyle R\cdot {\frac {a}{2}}=PC'\cdot {\frac {b}{2}}+PC'\cdot {\frac {c}{2}}}
Դիտարկենք
B
C
′
O
A
′
{\displaystyle BC'OA'}
C
A
′
O
B
′
{\displaystyle CA'OB'}
R
⋅
c
2
=
P
B
′
⋅
a
2
+
P
A
′
⋅
b
2
{\displaystyle R\cdot {\frac {c}{2}}=PB'\cdot {\frac {a}{2}}+PA'\cdot {\frac {b}{2}}}
R
⋅
b
2
=
P
A
′
⋅
c
2
+
P
C
′
⋅
a
2
{\displaystyle R\cdot {\frac {b}{2}}=PA'\cdot {\frac {c}{2}}+PC'\cdot {\frac {a}{2}}}
Գումարելով (1), (2), (3) հավասարությունները, կստանանք՝
R
⋅
p
=
P
A
⋅
b
+
c
2
+
P
B
⋅
a
+
c
2
+
P
C
⋅
a
+
b
2
{\displaystyle R\cdot p=PA\cdot {\frac {b+c}{2}}+PB\cdot {\frac {a+c}{2}}+PC\cdot {\frac {a+b}{2}}}
որտեղ
p
{\displaystyle p}
A
B
C
{\displaystyle ABC}
R
⋅
p
=
P
A
⋅
(
p
−
a
2
)
+
P
B
⋅
(
p
−
b
2
)
+
P
C
⋅
(
p
−
c
2
)
{\displaystyle R\cdot p=PA\cdot (p-{\frac {a}{2}})+PB\cdot (p-{\frac {b}{2}})+PC\cdot (p-{\frac {c}{2}})}
R
⋅
p
=
(
P
A
+
P
B
+
P
C
)
⋅
p
−
(
a
⋅
P
A
2
+
b
⋅
P
B
2
+
c
⋅
P
C
2
)
{\displaystyle R\cdot p=(PA+PB+PC)\cdot p-({\frac {a\cdot PA}{2}}+{\frac {b\cdot PB}{2}}+{\frac {c\cdot PC}{2}})}
R
⋅
p
=
(
P
A
+
P
B
+
P
C
)
⋅
p
−
S
{\displaystyle R\cdot p=(PA+PB+PC)\cdot p-S}
R
⋅
p
=
(
P
A
+
P
B
+
P
C
)
⋅
p
−
p
r
{\displaystyle R\cdot p=(PA+PB+PC)\cdot p-pr}
R
+
r
=
P
A
+
P
B
+
P
C
{\displaystyle R+r=PA+PB+PC}
