Ենսենի անհավասարություն

Մաթեմատիկայում Ենսենի անհավասարությունը կոչվել է ի պատիվ դանիացի մաթեմատիկոս Յոհան Ենսենի, այն ներկայացնում է ֆունկցիայի միջինի և միջին արժեքի ֆունկցիայի միջև անհավարությունըը ։ Այն ապացուցվել է Ենսենի կողմից 1906 թվականին։ Ընդհանրապես անհավասարումը ներկայացվում է տարբեր տեսքերով, կախված թե ինչ բնագավառում է այն օգտագործվում, որոնցից մի քանիսը ներկայացված է ստորև։ Իր պարզագույն տեսքով անհավասարումն ասում է, որ միջին արժեքի ուռուցիկ վերափոխումը փոքր է կամ հավասար ուռուցիկ վերափոխման միջին արժեքի, շատ պարզ է հետևանք է այն, որ գոգավոր ֆունկցիաների համար ճիշտ է հակառակը։

Ենսենի անհավասարությունը պնդում է այն գաղափարը, որ ուռուցիկ ֆունկցիայի գրաֆիկը ցածր է ֆունկցիայի հատող հատվածից ։

Ենսենի անհավասարումը ապացում է այն փաստը, որ ուռուցիկ ֆունկցիայի երկու կետերը միացնող գծի գրաֆիկը ավելի բարձր է ընկած, քան ֆունկցիայի գրաֆիկը, որը Ենսենի անհավարումն է 2 կետերի համար․ հատողը ուռուցիկ ֆունկցիայի կշռված միջինն է (t ∈ [0,1]-ի համար),

$tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2}),$

մինչդեռ ֆունկցիայի գրաֆիկը կշռված միջին արժեքների ֆունկցիան է,

$f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right).$

Ենսենի անհավասարությունը հետևյալն է

$f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right)\leq tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2}).$

Հավանականությունների տեսության մեջ այն հիմնականում ներկայացվում է հետևյալ կերպ․ Եթե X-ը Պատահական մեծություն է և φ-ն ուռուցիկ ֆունկցիա է, ապա

$\varphi \left(\operatorname {E} [X]\right)\leq \operatorname {E} \left[\varphi (X)\right].$

Պնդումներ

Ենսենի անհավասարության դասական տեսքը ներառում է մի քանի թվեր և կշիռներ։ Անհավասարությունը կարող է սահմանվել շատ ընդհանրական և չափի տեսության և հավանականությունների տեսության լեզուներով։ Հավանակնությունների տեսության մեջ այն կարող է ընդհանրացվել ամբողջ ուժով։

Վերջավոր տեսք

$\varphi$իրական ուռուցիկ ֆունկցիայի համար, արժեքների տիրույթում գտնվող $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ թվերով, և $a_{i}$ կշիռներով, Ենսենի անհավասարումը կարող է սահմանվել որպես․

$\varphi \left({\frac {\sum a_{i}x_{i}}{\sum a_{i}}}\right)\leq {\frac {\sum a_{i}\varphi (x_{i})}{\sum a_{i}}}\qquad \qquad (1)$

Եվ հակառակ անհավասարությունը, եթե $\varphi$-ն գոգավոր է, որը ներկայացվում է հետևյալ տեսքով․

$\varphi \left({\frac {\sum a_{i}x_{i}}{\sum a_{i}}}\right)\geq {\frac {\sum a_{i}\varphi (x_{i})}{\sum a_{i}}}.\qquad \qquad (2)$

Հավասարությունը գործում է միայն այն դեպքում, երբ $x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}$ կամ երբ $\varphi$-ն գծային ֆունկցիա է, այսինք այն և ուռուցիկ է և գոգավոր։

Որպես մասսնավոր դեպք, եթե $a_{i}$ կշիռները բոլորը հավասար են, ապա (1) և (2) անհավասարությունները դառնում են

$\varphi \left({\frac {\sum x_{i}}{n}}\right)\leq {\frac {\sum \varphi (x_{i})}{n}}\qquad \qquad (3)$

$\varphi \left({\frac {\sum x_{i}}{n}}\right)\geq {\frac {\sum \varphi (x_{i})}{n}}\qquad \qquad (4)$

Օրինակ log(x) ֆունկցիան գոգավոր է, այսպիսով տեղադրելով $\varphi (x)=\log(x)$ նախորդ անհավասարության մեջ՝ ստացվում է թվաբանական միջին- երկրաչափական միջին անհավասարությունը։

$\log \!\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}\right)\geq {\frac {\sum _{i=1}^{n}\log \!\left(x_{i}\right)}{n}}\quad {\text{կամ}}\quad {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}$

Հղումներ

• David Chandler (1987). Introduction to Modern Statistical Mechanics. Oxford. ISBN 0-19-504277-8.
• Tristan Needham (1993) "A Visual Explanation of Jensen's Inequality", American Mathematical Monthly 100(8):768–71.
• Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone (1996). Analisi Matematica Due. Liguori. ISBN 978-88-207-2675-1.{{cite book}}: CS1 սպաս․ բազմաթիվ անուններ: authors list (link)
• Walter Rudin (1987). Real and Complex Analysis. McGraw-Hill. ISBN 0-07-054234-1.

Արտաքին հղումներ

• Jensen's Operator Inequality of Hansen and Pedersen.
• Weisstein, Eric W., "Jensen's inequality", MathWorld.
• Arthur Lohwater (1982). «Introduction to Inequalities». Online e-book in PDF format.