Ենսենի անհավասարություն

ուռուցիկ ֆունկցիաների թեորեմ

Մաթեմատիկայում Ենսենի անհավասարությունը կոչվել է ի պատիվ դանիացի մաթեմատիկոս Յոհան Ենսենի, այն ներկայացնում է ֆունկցիայի միջինի և միջին արժեքի ֆունկցիայի միջև անհավարությունըը ։ Այն ապացուցվել է Ենսենի կողմից 1906 թվականին[1]։ Ընդհանրապես անհավասարումը ներկայացվում է տարբեր տեսքերով, կախված թե ինչ բնագավառում է այն օգտագործվում, որոնցից մի քանիսը ներկայացված է ստորև։ Իր պարզագույն տեսքով անհավասարումն ասում է, որ միջին արժեքի ուռուցիկ վերափոխումը փոքր է կամ հավասար ուռուցիկ վերափոխման միջին արժեքի, շատ պարզ է հետևանք է այն, որ գոգավոր ֆունկցիաների համար ճիշտ է հակառակը։

Ենսենի անհավասարությունը պնդում է այն գաղափարը, որ ուռուցիկ ֆունկցիայի գրաֆիկը ցածր է ֆունկցիայի հատող հատվածից ։

Ենսենի անհավասարումը ապացում է այն փաստը, որ ուռուցիկ ֆունկցիայի երկու կետերը միացնող գծի գրաֆիկը ավելի բարձր է ընկած, քան ֆունկցիայի գրաֆիկը, որը Ենսենի անհավարումն է 2 կետերի համար․ հատողը ուռուցիկ ֆունկցիայի կշռված միջինն է (t ∈ [0,1]-ի համար),

մինչդեռ ֆունկցիայի գրաֆիկը կշռված միջին արժեքների ֆունկցիան է,

Ենսենի անհավասարությունը հետևյալն է

Հավանականությունների տեսության մեջ այն հիմնականում ներկայացվում է հետևյալ կերպ․ Եթե X-ը Պատահական մեծություն է և φ-ն ուռուցիկ ֆունկցիա է, ապա

ՊնդումներԽմբագրել

Ենսենի անհավասարության դասական տեսքը ներառում է մի քանի թվեր և կշիռներ։ Անհավասարությունը կարող է սահմանվել շատ ընդհանրական և չափի տեսության և հավանականությունների տեսության լեզուներով։ Հավանակնությունների տեսության մեջ այն կարող է ընդհանրացվել ամբողջ ուժով։

Վերջավոր տեսքԽմբագրել

 իրական ուռուցիկ ֆունկցիայի համար, արժեքների տիրույթում գտնվող   թվերով, և   կշիռներով, Ենսենի անհավասարումը կարող է սահմանվել որպես․

 

Եվ հակառակ անհավասարությունը, եթե  -ն գոգավոր է, որը ներկայացվում է հետևյալ տեսքով․

 

Հավասարությունը գործում է միայն այն դեպքում, երբ   կամ երբ  -ն գծային ֆունկցիա է, այսինք այն և ուռուցիկ է և գոգավոր։

Որպես մասսնավոր դեպք, եթե   կշիռները բոլորը հավասար են, ապա (1) և (2) անհավասարությունները դառնում են

 
 

Օրինակ log(x) ֆունկցիան գոգավոր է, այսպիսով տեղադրելով   նախորդ անհավասարության մեջ՝ ստացվում է թվաբանական միջին- երկրաչափական միջին անհավասարությունը։

 

ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. Jensen J. L. W. V. (1906)։ «Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes»։ Acta Mathematica 30 (1): 175–193։ doi:10.1007/BF02418571 

ՀղումներԽմբագրել

Արտաքին հղումներԽմբագրել