Տանգենսների թեորեմ

Տանգենսների թեորեմ, եռանկյան երկու անկյունների տանգենսները և այդ անկյունների դիմաց ընկած կողմերի երկարություններն իրար հետ կապող թեորեմ։

Չնայած նրան, որ տանգենսների թոերեմն այնպիսի լայն հայտնիություն չունի, ինչպես սինուսների և կոսինուսների թեորեմները, բավականին օգտակար թեորեմա է, և կարող է կիրառվել այն դեպքերում, երբ հայտնի են եռանկյան երկու կողմերն ու մի անկյունը, կամ, ընդհակառակը, երկու անկյունը և մեկ կողմը։

Պատմություն

Տանգենսների թեորեմը գնդային անկյունների համար XIII դարում նկարագրել է պարսկական մաթեմատիկ Նասր ալ-Դին Թուսին (1201—1274), որը նաև իր հինգ տոմանոց «Տրակտատ լիարժեք քառանկյան մասին» աշխատության մեջ հարթ եռանկյունների համար ներկայացրել է սինուսների թեորեման։

Թեորեմն անվանում են նաև «Ռեգիոմոնտանի բանաձև», գերմանացի աստղագետ և մաթեմատիկոս Յոհաննա Մյուլլերի պատվին, ով դուրս էր բերել այդ բանաձևը (լատին․՝ Regiomontanus): Մյուլլերին անվանեցին «Կյոնիգսբերժեց», գերմաներն՝ König՝ արքա, Berg՝ սար, իսկ լատիներեն «արքա» և «սար» ուղղական հովով՝ regis և montis: Այստեղից «Ռեգիոմոնտան»-ը Մյուլլերի լատինացված ազգանունն է։

Նկար 1. Եռանկյուն

Նկար 1-ում a, b, և c-ն եռանկյան երեք կողմերի երկարություններն են, α, β, և γ-ն համապատասխան կողմերի դիմաց ընկած անկյուներն են (դիմացի անկյունները)։ Տանգենսների թեորեմը պնդում է, որ

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\mathrm {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\mathrm {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}:$

Ապացույց

Տանգենսների թեորեմը կարելի է ապացուցել սինուսների թեորեմի միջոցով.

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}:$

Թող՝

$d={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }},$

որտեղից

$a=d\sin \alpha$

$b=d\sin \beta :$

Այստեղից հետևում է, որ

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}:$

Հայտնի եռանկյունաչափական նույնությունն օգտագործելով

$\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}},\;$

ստանում ենք.

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}={\frac {2\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}={\frac {\mathrm {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\mathrm {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}:\qquad \blacksquare$

Երկու անկյունների սինուսների գումարի և տարբերության փոխարեն ապացույցի մեջ կարելի է կիրառել հետևյալ հայտնի նույնությունը.

$\mathrm {tg} {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}={\frac {\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}$:

Մոլվեյդի բանաձևերի կիրառմամբ մեկ այլ ապացույց

• Մոլվեյդի բանաձևերն ունեն հետևյալ տեսքը

${\frac {a+b}{c}}={\frac {\operatorname {cos} {\frac {A-B}{2}}}{\operatorname {sin} {\frac {C}{2}}}};$

${\frac {a-b}{c}}={\frac {\operatorname {sin} {\frac {A-B}{2}}}{\operatorname {cos} {\frac {C}{2}}}}:$

որտեղ $A,\;B,\;C$-ն համապատասխան գագաթներով եռանկյան անկյուններն են և $a,\;b,\;c$-ն՝ համապատասխանաբար $B$ և $C$, $C$ և $A$, $A$ և $B$ գագաթների միջև ընկած կողմերի երկարությունները։

• Մասերի բաժանելով վերջին հավասարությունների աջ և ձախ մասերը և իրար հավասարեցնելով ստացված երկու արդյունքները, ունենում ենք.

${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\mathrm {ctg} {\frac {C}{2}}}{\mathrm {tg} {\frac {A-B}{2}}}}:$

• Հաշվի առնելով, որ $\mathrm {ctg} {\frac {C}{2}}=\mathrm {ctg} {\frac {\pi -A-B}{2}}=\mathrm {tg} {\frac {A+B}{2}}$, վերջնական ունենում ենք.

${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\mathrm {tg} {\frac {A+B}{2}}}{\mathrm {tg} {\frac {A-B}{2}}}},$

ինչն էլ պահանջվում էր ապացուցել։

Տես նաև

• Եռանկյունների լուծում
• Կոսինուսների թեորեմ
• Կոտանգենսների թեորեմ
• Սինուսների թեորեմ
• Եռանկյունաչափական նույնություններ
• Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ