Կոտանգենսների թեորեմ

Կոտանգենսների թեորեմը, եռանկյունաչափական թեորեմ է, որը կապ է հաստատում եռանկյանը ներգծված շրջանագծի շառավղի և եռանկյան կողմերի երկարությունների միջև։

Բանաձև

Վերոնշյալ փաստարկներով, բոլոր վեց հատվածները ցույց են տրված:

եռանկյան ընդհանուր տեսքը

Դիցուք

$a,b,c$-ն եռանկյան երեք կողմերի երկարություններն են,

$A,B,C$-ը՝ համապատասխանաբար $a,b,c$ կողմերի դիմացի անկյունները,

$r$-ը՝ եռանկյանը ներգծված շրջանագծի շառավիղ

$p={\frac {a+b+c}{2}}$-ը՝ եռանկյան կիսապարագիծը։

Այդ դեպքում տեղի ունեն հետևյալ բանաձևերը՝

$\mathrm {ctg} {\frac {A}{2}}={\frac {p-a}{r}}$,

$\mathrm {ctg} {\frac {B}{2}}={\frac {p-b}{r}}$,

$\mathrm {ctg} {\frac {C}{2}}={\frac {p-c}{r}}$,

կամ դրանց համարժեք՝

${\frac {p-a}{\mathrm {ctg} (A/2)}}={\frac {p-b}{\mathrm {ctg} (B/2)}}={\frac {p-c}{\mathrm {ctg} (C/2)}}=r$:

Թեորեմը կարելի է ձևակերպել հետևյալ կերպ. կիսանկյան կոտանգենսը հավասար է կիսապարագծի և տրված անկյան դիմացի կողմի տարբերության հարաբերությանը ներգծված շրջանագծի շառավղին։

Հետևություն

Կոտանգենսներից թեորեմից ներգծված շրջանագծի շառավղի համար ստացվում է

$r={\sqrt {{\frac {1}{p}}(p-a)(p-b)(p-c)}}$։

Մյուս կողմից, քանի որ եռանկյան մակերեսը՝ $S=pr$, ապա կարելի է ստանալ Հերոնի բանաձևը՝

$S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},$

Տես նաև

• Սինուսների թեորեմ
• Կոսինուսների թեորեմ
• Հերոնի բանաձև
• Եռանկյուն
• Մակերես
• Պարագիծ