Նորմալ բաշխում

Հավանականությունների տեսությունում Նորմալ (կամ Գաուսյան, Գաուսի, Լապլաս֊Գաուսի) բաշխումը իրական արժեք ունեցող պատահական մեծության համար հավանականության բաշխման տեսակ է։ Բաշխման խտության ֆունկցիան ունի հետևյալ տեսքը՝

$f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$

$\mu$ պարամետրը բաշխման միջինն է կամ մաթեմատիկական սպասումը, իսկ $\sigma$ պարամետրը՝ ստանդարտ շեղումը։ Բաշխման դիսպերսիան հավասար է $\sigma ^{2}$։

Նորմալ բաշխումները կարևոր նշանակություն ունեն վիճակագրությունում և հաճախ կիրառվում են բնական և հասարակական գիտություններում՝ իրական արժեք ունեցող անհայտ պատահական մեծությունները նկարագրելու համար։ Այս բաշխումների կարևորությունը մասմաբ պայմանավորված է կենտրոնական սահմանային թեորեմով։ Ըստ այս թեորեմի՝ վերջավոր միջին և դիսպերսիա ունեցող պատահական մեծության ընտրույթների միջինը պատահական մեծություն է, որի բաշխումը զուգամիտում է նորմալ բաշխման, երբ ընտրույթների քանակը ձգտում է անվերջության։ Հետևաբար, ֆիզիկական մեծությունների, որոնք բազմաթիվ անկախ պրոցեսների գումար են, ինչպես օրինակ չափումների սխալը, հաճախ ունենում են գրեթե նորմալ բաշխում։

Բացի դա, նորմալ բաշխումը ունի որոշ բացառիկ հատկություններ, որոնք կարևոր են անալիտիկ ուսումնասիրություններում։ Օրինակ, նորմալ շեղումների ֆիքսված բազմության կամայական գծային կոմբինացիան նորմալ շեղում է։ Շատ արդյունքներ և մեթոդներ, ինչպես օրինակ անորոշության տարածումը կամ փոքրագույն քառակուսիների մեթոդ, հնարավոր է անալիտիկորեն դուրս բերել, երբ համապատասխան փոփոխական նորմալ բաշխված է։

Սահմանումներ

Ստանդարտ նորմալ բաշխում

Նորմալ բաշխման ամենապարզ տարբերակը հայտնի է ստանդարտ նորմալ բաշխում անվամբ։ Սա այն մասնավոր դեպքն է, երբ $\mu =0$, $\sigma =1$ և այն տրված է հավանականության խտություն հետևյալ ֆունկցիայով՝

$\varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}{\text{։}}$

Այս արտահայտության մեջ $1/{\sqrt {2\pi }}$ արտադրիչը ապահովում է, որ ամբողջ առանցքի նկատմամբ $\varphi (x)$ ֆունկցիայի ինտեգրալը հավասար է մեկի։ Ցուցիչում $1/2$ արտադրիչի առկայությունը ապահովում է միավոր դիսպերսիան և հետևաբար՝ ստանդարտ շեղումը։ Այս ֆունկցիան սիմետրիկ է $x=0$ կետի շուրջ, որտեղ է ստանում է իր առավելագույն արժեքը՝ $1/{\sqrt {2\pi }}$, իսկ $x=+1$ և $x=-1$ կետերը ֆունկցիայի շրջման կետերն են։

Ստանդարտ նորմալ բաշխման սահմանման վերաբերյալ հակասություն կա։ Ըստ Կառլ Գաուսի սահմանման՝ ստանդարտ նորմալ բաշխումը ունի $\sigma ^{2}=1/2$ դիսպերսիա, այսինքն՝

$\varphi (x)={\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}$։

Իսկ ըստ Սթիվեն Սթիգլերի սահմանման՝ ստանդարտ նորմալ բաշխման դիսպերսիան հավասար է $\sigma ^{2}=1/(2\pi )$, այլ կերպ ասած՝

$\varphi (x)=e^{-\pi x^{2}}$։

Ընդհանուր նորմալ բաշխում

Կամայական նորմալ բաշխում ստանդարտ նորմալ բաշխման ձևափոխված տարբերակ է, որի տիրույթ ձգվել է $\sigma$ անգամ (ստանդարտ շեղումը) և տեղափոխվել $\mu$-ով (միջին արժեքը)՝

$f(x\mid \mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sigma }}\varphi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)$

Հավանականության խտության ֆունկցիան պետք է բազմապատկվի $1/\sigma$-ով, որպեսզի ինտեգրալը 1 մնա։ Եթե $Z$ պատահական մեծություն ունի ստանդարտ նորմալ բաշխում, ապա $X=\sigma Z+\mu$-ը կունենա $\mu$ մաթեմատիկական սպասմամբ և $\sigma$ ստանդարտ շեղմամբ նորմալ բաշխում։ Նմանապես, եթե $X$ $\mu$ և $\sigma ^{2}$ պարամետրերով պատահական մեծություն է, ապա $Z=(X-\mu )/\sigma$-ը կլինի ստանդարտ նորմալ բաշխում։ Այս ձևափոխությունը կոչվում է $X$-ի ստանդարտացում։

Նշանակում

Ստանդարտ նորմալ բաշխման հավանականության խտության ֆունկցիան հաճախ նշանակվում է հունարեն $\phi$ (Ֆի) տառով։ Հաճախ կիրառվում է այս տառի այլ տարբերակը՝ $\varphi$-ն։

Նորմալ բաշխումը հաճախ նշանակվում է $N(\mu ,\sigma ^{2})$ կամ ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ ձևով։ Այսպիսով, եթե $X$ պատահական մեծությունը $\mu$ միջինով և $\sigma ^{2}$ դիսպերսիայով նորմալ բաշխված է, ապա այն գրում են որպես՝

$X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$։

Այլ պարամետրեր

Որոշ հեղինակներ բաշխման լայնությունը սահմանելու համար շեղման ($\sigma$) կամ դիսպերսիայի ($\sigma ^{2}$) փոխարեն օգտագործում են դիսպերսիայի հակադարձը՝ $\tau =1/\sigma ^{2}$-ն։ Այս դեպքում բաշխման բանաձևը դառնում է՝

$f(x)={\sqrt {\frac {\tau }{2\pi }}}e^{-\tau (x-\mu )^{2}/2}$։

Ըստ նրանց՝ այս ընտրությունը հաշվարկային առումով առավելություն ունի այն դեպքերում, երբ $\sigma$-ն շատ մոտ է զրոյին և պարզեցնում է բանաձևերը որոշ դեպքերում, օրինակ՝ մի քանի փոփոխականով նորմալ բաշխում ունեցող պատահական մեծությունների Բայեսյան հետևությունը։

Նաև կիրառվում է ստանդարտ շեղման հակադարձը՝ $\tau ^{\prime }=1/\sigma$-ը, որի դեպքում խտության բանաձևը ստանում է հետևյալ տեսքը՝

$f(x)={\frac {\tau ^{\prime }}{\sqrt {2\pi }}}e^{-(\tau ^{\prime })^{2}(x-\mu )^{2}/2}$։

Ըստ Սթիգլերի՝ այս ներկայացման առավելություններն են պարզ ու հեշտ հիշելի տեսքը և բշխման quantile-ների համար մոտարկման պարզ բանաձևերի հնարավորություն է տալիս։

Նորմալ բաշխումները x և x² բնական վիճակագրությամբ ու $\textstyle \theta _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{2}}}$ և $\textstyle \theta _{2}={\frac {-1}{2\sigma ^{2}}}$ բնական պարամետրերով ցուցչային ընտանիք են կազմում։

Բաշխման ֆունկցիա

Ստանդարտ նորմալ բաշխմամբ պատահական մեծության բաշխման ֆունկցիա սովորաբար նշանակվում է հունարեն մեծատառ $\Phi$ (Ֆի) տառով և հավասար է հետևյալ ինտեգրալին՝

$\Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,dt$

Կապված $\operatorname {erf} (x)$ սխալի ֆունկցիան ցույց է տալիս հավանականությունը, որ 0 միջինով և 1/2 դիսպերսիայով պատահական մեծության արժեքը կընկնի $[-x,x]$ միջակայքում, այսինքն՝

$\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt$

Այս ինտեգրալները հնարավոր չէ ներկայացնել տարրական ֆունկցիաների միջոցով և սովորաբար կոչվում են հատուկ ֆունկցիաներ։ Սակայն, գոյություն ունեն բազմաթիվ թվային մոտարկումներ։

Այս երկու ֆունկցիաները սերտորեն կապված են, մասնավորապես՝

$\Phi (x)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right]$

Ընդհանուր նորմալ բաշխաման համար, որն ունի $f$ խտության ֆունկցիա, $\mu$ միջին և $\sigma$ դիսպերսիա, բաշխման ֆունկցիան ֆունկցիան ունի հետևյալ տեսքը՝

$F(x)=\Phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]$

Ստանդարտ նորմալ բաշխման բաշխման ֆունկցիայի լրացումը՝ $Q(x)=1-\Phi (x)$-ը, հաճախ կոչվում է Q-ֆունկցիա՝ հատկապես ինժեներական գրականության մեջ։ Այն ցույց է տալիս հավանականությունը, որ $X$ ստանդարտ նորմալ պատահական մեծության արժեքը կգերազանցի $x$-ին, այսինքն՝ $Q(x)=P(X>x)$։ Երբեմն կիրառվում են $Q$-ֆունկցիայի այլ սահմանումներ, որոնք բոլորը $\Phi$ ֆունկցիայի որևէ ձևափոխություն են։ Ստանդարտ նորմալի բաշխման ֆունկցիայի գրաֆիկը ունի 2-րդ կարգի պտտման համաչափություն (0,1/2) կետի նկատմամբ, այսինքն՝ $\Phi (-x)=1-\Phi (x)$։ Բաշխման ֆունկցիայի նախնականը (անորոշ ինտեգրալը) ունի հետևյալ տեսքը՝

$\int \Phi (x)\,dx=x\Phi (x)+\varphi (x)+C.$

Մասերով ինտեգրման միջոցով նորմալ բաշխման բաշպման ֆունկցիան կարելի է արտահայտել շարքի տեսքով՝

$\Phi (x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot e^{-x^{2}/2}\left[x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{3\cdot 5}}+\cdots +{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!!}}+\cdots \right]$,

որտեղ $!!$-ը կրկնակի ֆակտորիալի նշանն է։

Մեծ x-երի համար բաշխման ֆունկցիայի ասիմպտոտիկ վերլուծումը նույնպես հնարավոր է ստանալ մասերով ինտեգրման միջոցով։

Ստանդարտ շեղում

Հավելյալ տեղեկություն՝ Միջակայքի գնահատում

Նորմալ բաշխումից վերցված արժեքների մոտ 68 տոկոսը միջինից հեռու են մեկ ստանդարտ շեղումով` σ-ով, մոտ 95 տոկոսը՝ երկու ստանդարտ շեղումով և մոտ 99.7 տոկոսը՝ երեք ստանդարտ շեղումով։ Այս փաստը առավել հայտնի է երեք սիգմայի կանոն կամ 68-95-99.7 կանոն անվամբ։

Ընդհանուր դեպքում հավանականությունը, որ նորմալ բաշխմամբ պատահական մեծության արժեքը կընկնի $\mu -n\sigma$ և $\mu +n\sigma$ միջակայքերում տրվում է հետևյալ բանաձևով՝

$F(\mu +n\sigma )-F(\mu -n\sigma )=\Phi (n)-\Phi (-n)=\operatorname {erf} \left({\frac {n}{\sqrt {2}}}\right)$։

Հետևյալ աղբյուսակում տրված է $n=1,2,\ldots ,6$ արժեքների դեպքում ստացվող արդյունքը (12 իմաստալից թվանշանների ճշտությամբ)՝

$n$	$p=F(\mu +n\sigma )-F(\mu -n\sigma )$	${\text{i.e. }}1-p$	${\text{or }}1{\text{ in }}p$	OEIS
1	6999682689492137000♠0.682689492137	6999317310507863000♠0.317310507863	7000300000000000000♠3 .15148718753	A178647
2	6999954499736104000♠0.954499736104	6998455002638960000♠0.045500263896	7001210000000000000♠21 .9778945080	A110894
3	6999997300203937000♠0.997300203937	6997269979606300000♠0.002699796063	7002370000000000000♠370 .398347345	A270712
4	6999999936657516000♠0.999936657516	6995633424840000000♠0.000063342484	7004157870000000000♠15787 .1927673
5	6999999999426697000♠0.999999426697	6993573303000000000♠0.000000573303	7006174427700000000♠1744277 .89362
6	6999999999998027000♠0.999999998027	6991197300000000000♠0.000000001973	7008506797345000000♠506797345 .897

Մեծ $n$-երի համար կարելի է մոտարկել $1-p\approx {\frac {e^{-n^{2}/2}}{n{\sqrt {\pi /2}}}}$-ով։