LU-մասնատում (LU-դեկոմպոզիցիա, LU-ֆակտորիզացիա) - մատրիցի ներկայացումը երկու մատրիցների արտադրյալի տեսքով՝ , որտեղ -ը ներքևի եռանկյուն մատրիցն է, իսկ -ն՝ վերևի եռանկյուն մատրիցը։

LU-մասնատում օգտագործվում է գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծման, մատրիցի հակադարձման և որոշիչի հաշվման համար։ LU-մասնատումը գոյություն ունի միայն այն ժամանակ, երբ մատրիցն հակադարձելի է, իսկ մատրիցի բոլոր գլխավոր անկյունագծային մինորները ոչհատուկ են]][1]։

ԿիրառությունըԽմբագրել

Գծային հավասարումների համակարգի լուծումԽմբագրել

  (համակարգի գործակիցների մատրից) մատրիցի ստացված LU-մասնատումը գծային հավասարումների համակարգի ընտանիքի լուծման համար կարող է օգտագործվել աջ մասի   տարբեր վեկտորներով՝

 ։

Եթե հայտնի է   մատրիցի LU-մասնատումը՝  , սկզբնական համակարգը կարելի է գրել հետևյալ տեսքով՝

 ։

Այս համակարգը կարող է լուծվել երկու քայլով։

Առաջին քայլում լուծվում է հետևյալ համակարգը՝

 ։

Քանի որ  -ն ներքևի եռանկյուն մատրիցն է, այս համակարգը լուծվում է անմիջականորեն ուղիղ տեղադրմամբ։

Երկրորդ քայլում լուծվում է հետևյալ համակարգը՝

 ։

Քանի որ  -ն վերևի եռանկյուն մատրիցն է, այս համակարգը լուծվում է անմիջականորեն հակադարձ տեղադրմամբ։

Մատրիցի ձևափոխումԽմբագրել

  մատրիցի ձևափոխումը համարժեք է հետևյալ հավասարումների համակարգի լուծմանը՝

 ,

որտեղ  -ը անհայտ մատրից է, իսկ  -ն՝ միավոր մատրից։ Այս համակարգի   լուծումը հանդիսանում է   հակադարձ մատրիցը։

Համակարգը կարելի է լուծել վերևում նկարագրված LU-մասնատման մեթոդով։

մատրիցի որոշիչի հաշվումԽմբագրել

Ունենալով   մատրիցի LU-մասնատումը՝

 ,

կարելի է անմիջականորեն հաշվել նրա որոշիչը՝

 ,

որտեղ    մատրիցի չափն է,  -ն և    և   մատրիցների անկյունագծերի էլեմենտներն են։

Բանաձևի դուրսբերումըԽմբագրել

Ելնելով կիրառման ոլորտից LU-մասնատումը կարող է կիրառվել միայն ոչհատուկ մատրիցի համար, որի համար մենք հետագայում կընդունենք, որ   մատրիցն ոչհատուկ է։

Քանի որ   մատրիցի և առաջին տողում, և   մատրիցի առաջին սյունում բոլոր էլեմենտները, հնարավոր է բացի առաջինից, հավասար են զրոյի, ունենք՝

 ։

Եթե  , ապա   կամ  ։ Առաջին դեպքում   մատրիցի առաջին տողը ամբողջությամբ կազմված է զրոներից, իսկ երկրորդ դեպքում՝   մատրիցի առաջին սյունը։ Հետևաբար,   և   մատրիցները ոչհատուկ են, իսկ դա նշանակում է  -ն նույնպես ոչհատուկ է, որը բերում է հակասության։ Այսպիսով, եթե  , ապա ոչհատուկ   մատրիցը չունի LU-մասնատում։

Դիցուկ  , այդ դեպքում   և  ։ Քանի որ  -ը և  -ն որոշված են  -ն հաստատունի վրա բազմապատկման ճշտությամբ և նույն հաստատունի վրա  -ի բաժանման ճշտությամբ, մենք կարող ենք պահանջել, որ  ։ Այդ դեպքում  ։

Բաժանենք   մատրիցը վանդակների՝

 ,

որտեղ   ունի համապատասխանաբար  ,  ,   չափեր։

Նույն ձևով բաժանենք վանդակների   և   մատրիցները՝

 

  հավասարումը կընդունի այսպիսի տեսք՝

 
 
 :

Լուծելով հավասարումների համակարգը  ,  ,  ,   նկատմամբ, կստանանք՝

 
 
 :

Վերջնականապես կունենանք՝

 
 
 :

Այսպիսով, մենք   չափի մատրիցն LU-մասնատմամբ բերեցինք   > չափի մատրիցի LU-մասնատման։

  արտահայտությունը կոչվում է   էլեմենտի Շուրի լրացում   մատրիցում[1]։

ԱլգորիթմԽմբագրել

LU-մասնատման հաշվարկի ալգորիթմներից մեկը բերենք ներքևում։

Կօգտագործենք հետևյալ նշանակումները մատրիցի էլեմենտների համար՝  ,  ,  , ընդ որում մատրիցների անկյունագծային էլեմենտներն են՝  :  ,  ։ Այդ դեպքում, եթե հայտնի է LU-մասնատման մատրիցն, նրա որոշիչը կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևով՝

 :

  և   մատրիցները կարելի է գտնել հետևյալ ձևով (քայլերի կատարման հերթականությունը պետք է պահպանել խստորեն, քանի որ հաջորդ էլեմենտները գտնվում են նախորդների օգտագործմամբ)՝

  1.  
  2.  

 -ի համար՝

  1.  
  2.  

Արդյունքում մենք կստանանք   և   մատրիցները։

Տվյալ մեթոդի ծրագրային իրականացման ժամանակ (Գաուսի կոմպակտ սխեմա)   և   մատրիցների ներկայացման համար կարելի է բավարարվել միայն մեկ մասիվով, որում   և   մատրիցները համակցվում են։ Այսպես,   չափի մատրիցի համար՝

 

Տես նաևԽմբագրել

ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. 1,0 1,1 Ե․Ե․ Տիրտիշնիկով, մատրիցին անալիզ և գծային հանրահաշիվ, 2004-2005