Քառակուսացման բանաձևերի ցանկ

Վիքիմեդիայի նախագծի ցանկ

Քառակուսացման բանաձևերի ցանկ- տարբեր քառակուսացման բանաձևերի ցանկը՝ թվային ինտեգրման համար։

ՆշանակումըԽմբագրել

Թվային ինտեգրման բանաձևը ընդհանուր տեսքը հետևյալն է․

 ,
  •   -ինտեգրվող ֆունկցիան
  •   -ինտեգրվող մեծությունը
  •   - վարպետ-տարր կոորդինատային համակարգը
  •   Յակոբիի մատրիցա՝ վարպետ-տարրի անցնելու համար։

Ինտեգրալի ադիտիվության հիման վրա, որպես   ինտեգրման տիրույթ քննարկվում են պարզ տիրույթներ (եռանկյուն, քառանկյուն, հնգանկյուն)։ Բարդ երկրաչափության դեպքում՝ տիրույթը ներկայացվում է որպես պարզ տիրույթների միություն և հաշվվում են ինտեգրալները ըստ այդ տիրույթների։

Բնական կոորդինատները ներկայացվում են   փոփոխականներով, իսկ վարպետ-տարրի նշանակման համար՝  ։

Միաչափ ինտեգրալԽմբագրել

 
Թվային ինտեգրում   ֆունկցիայի/վարպետ-տարրի հիման վրա՝ գաուսի- 2 մեթոդով

Միաչափ ինտեգրումը, դա հատվածով ինտեգրումն է։

  • Ինտեգրման տիրույթը   հատվածն է․
  • Կառուցման տարրը  հատվածն է
  • Անցում վարպետ-տարրին՝  ;
  • Անցում վարպետ-տարրից՝  ;
  • Յակոբիի ինտեգրալ՝  .
Համար Կետերի քանակ Ինտեգրման կարգը     Լրացուցիչ
1 1 1     Ուղղանկյունների մեթոդ
2 2 1     Սեղանների մեթոդ
   
3 2 3     Գաուսի մեթոդ-2
   
4 3 3     Սիմպսոնի մեթոդ
   
   
5 3 5     Գաուսի մեթոդ-3
   
   
6 4 7     Գաուսի մեթոդ-4
   
   
   
7 5 9     Գաուսի մեթոդ-5
   
   
   
   

Երկչափ ինտեգրալԽմբագրել

Քառակուսի կառուցման տարրԽմբագրել

 
Քառակուսի վարպետ-տարր 12 կետային բանաձևով
  • Ինտեգրման տիրույթը՝ ուղղանկյուն  
  • Վարպետ-տարրը՝ քառակուսի  
  • Վարպետ-տարրի անցումը․
 
 ;
  • Վարպետ-տարրից անցումը․
 
 ;
  • Յակոբիան․  .

Քառակուսով ինտեգրելու բանաձևերից շատերը կարելի է ստանալ, հատվածներով ինտեգրելու բանաձևերի կոմբինացիաներով։ Այդ մեթոդների օրինակներ են հանդիսանում ուղղնկյան, սեղանի և գաուսի -2 մեթոդները։

Համար Կետերի քանակը Ինտեգրման կարգը       Լրացուցիչ
1 1 1       Ուղղանկյունների մեթոդ (միջինի մեթոդ)
2 4 1       Սեղանի մեթոդ
     
     
     
3 4 3       Գաուսի մեթոդ 2
     
     
     
4 12 7                  

Հանգույցների քանակը նվազագույնն է[1]։

     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     

Եռանկյուն կառուցման տարրԽմբագրել

 
Եռանկյուն վարպետ-տարր Գաուսի-4 կետերով
  • Ինտեգրման տիրույթը եռանկյուն է կառուցված   գագաթներով ․
  • Վարպետ-տարրը եռանկյուն է կառուցված   գագաթներով .

Վարպետ-տարրին անցնելու համար օգտագործվում է բարոցենտրական կոորդինատները (L-կոորդինատներ), նշանակենք դրանք՝  .

 

L-կոորդինատների գործակիցները հաշվելու համար օգտագործվում է   մատրիցը՝

 

Գործակիցների  -ին հետ անցման մատրիցը   է։

  • Վարպետ-տարրին անցումը՝
 
 
  • Վարպետ-տարրրից անցումը՝
 
  • Յակոբիան՝  .
Համար Կետերի քանակ Ինտեգրման կարգը       Լրացուցիչ
1 1 1       Միջինի մեթոդ
2 3 1       -
     
     
2 3 2       Գաուսի մեթոդ-3
     
     
4 4 3       Գաուսի մեթոդ 4
     
     
     
5 7 3       Նյուտոն-կոտեսի մեթոդ(անգլ.՝ Newton-Cotes)
     
     
     
     
     
     

Եռաչափ ինտեգրալԽմբագրել

Խորանարդային կառուցման տարրԽմբագրել

 
Խորանարդային վարպետ-տարր 14 կետային բանաձևով
  • Ինտեգրման տիրույթը  զուգահեռանիստն է․
  • Վարպետ-տարրը   խորանարդն է․
  • Անցում վարպետ-տարրին՝
 
 
 
  • Անցում վարպետ-տարրից՝
 
 ;
 ;
  • Յակոբիան՝  .
Համար Կետերի քանակ Ինտեգրման կարգ         Լրացուցիչ
1 1 1         Ուղղանկյունների մեթոդ (միջինի մեթոդ)
2 8 3         Գաուսի մեթոդ-2
       
       
       
       
       
       
       
3 14 5         Ապրոքսիմացիայի 5-րդ կարգի բանաձևերի դասում պարունակող հանգույցների քանակ[2]։
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       

Քանի որ բարձր կարգի ինտեգրալները մեծ քանակով կետեր են պարունակում ՝ դրանք կդիտարկենք առանձին։

  • Կարգ 7, կետերի քանակը 34․
Կետի համար         Լրացուցիչ
1          ,

 , ,

 , ,

 , 

2        
3        
4        
5        
6        
7        
8        
9        
10        
11        
12        
13        
14        
15        
16        
17        
18        
19        
20        
21        
22        
23        
24        
25        
26        
27        
28        
29        
30        
31        
32        
33        
34        

Քառանիստ վարպետ տարրԽմբագրել

 
Քառանիստ վարպետ-տարր Գաուսի-11 կետերով
  • Ինտեգրման տիրույթը՝ քառանիստ է   գագաթներով։
  • Վարպետ-տարրը՝ քառաննիստ է   գագաթներով։

Եռանկայն նման այստեղ էլ վարպետ-տարրին անցնելու համար օգտվում են քառանիստի L-կոորդինատից, որոնց կնշանակենք  :

 

Գործակիցների մատրիցան որոշվում է որպես  , որտեղ

 
  • Անցում վարպետ-տարրի՝
 
 
 
  • Վարպետ-տարրից անցում՝
 
  • Յակոբիան՝  .
Համար Կետերի քանակ Ինտեգրման կարգ         Լրացուցիչ
1 1 1         Միջինի մեթոդ
2 4 3         Գաուսի մեթոդ-4
       
       
       
3 11 4         Գաուսի մեթոդ-11
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       

ԾանոթագրություններԽմբագրել

ԳրականությունԽմբագրել

  • Мысовских И. П. Интерполяционные кубатурные формулы. — Москва: Наука, 1981. — С. 336.

Արտաքին հղումներԽմբագրել