Քառակուսի մատրից

Մաթեմատիկայում քառակուսի մատրիցն այնպիսի մատրից է, որում տողերի և սյուների քանակները համընկնում են։ Այդ քանակն արտահայտող թիվը կոչվում է մատրիցի կարգ։ Միևնույն կարգի ցանկացած երկու քառակուսային մատրիցաներ կարելի է գումարել և բազմապատկել։

Քառակուսի մատրիցները հաճախ օգտագործվում են պարզ գծային ձևափոխություններն արտահայտելու համար, ինչպիսիք են դեֆորմացիան կամ պտույտը։

Գլխավոր անկյունագիծ

a_ii (i = 1, ..., n) տարրերը կազմում են քառակուսի մատրիցի գլխավոր անկյունագիծը։ Այս տարրերը գտնվում են վերին ձախ անկյունից դեպի ստորին աջ անկյունն անցնող ուղղի վրա։ Օրինակ, նկարում պատկերված 4х4 մատրիցայի գլխավոր անկյունագիծը պարունակում է հետևյալ տարրերը. a₁₁ = 9, a₂₂ = 11, a₃₃ = 4, a₄₄ = 10։

Քառակուսի մատրիցի անկյունագիծը, որն անցնում է ստորին ձախ և վերին աջ անկյուններով, կոչվում է կողմնակի կամ երկրորդական։

Մասնավոր տեսակներ

Անվանում	Օրինակ, երբ n = 3
Անկյունագծային մատրից	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}$
Ստորին եռանկյուն մատրիցա	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}$
Վերին եռանկյուն մատրից	${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}$

Անկյունագծային և եռանկյուն մատրիցներ

Եթե գլխավոր անկյունագծի վրա չգտնվող բոլոր տարրերը զրոյական են, A մատրիցն կոչվում է անկյունագծային։ Եթե գլխավոր անկյունագծից ներքև (վերև) գտնվող բոլոր տարրերը զրոյական են, A - ն կոչվում է ստորին (վերին) եռանկյուն մատրից։

Միավոր մատրից

n չափի E_n միավոր մատրիցն n×n մատրից է, որում գլխավոր անկյունագծի բոլոր տարրերը հավասար են 1-ի, իսկ մնացած տարրերը՝ 0-ի, այսինքն՝

E_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ E_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ E_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}

Միավոր մատրիցով բազմապատկելիս մատրիցն մնում է անփոփոխ. n×n ցանկացած A մատրիցի համար.

AE_n = E_nA = A :

Օրթոգոնալ մատրից

Գործողություններ

Որոշիչ

Սեփական արժեքներ և սեփական վեկտորներ

Հղումներ

Р. Хорн, Ч. Джонсон. Матричный анализ. — Мир, 1989. — ISBN 5-03-001042-4.
William C. Brown. Matrices and vector spaces. — New York: NY: Marcel Dekker, 1991. — ISBN 978-0-8247-8419-5.
Leonid Mirsky. An Introduction to Linear Algebra. — Courier Dover Publications, 1990. — ISBN 978-978-0-486-66434-7.