Փողի ժամանակային արժեք

Փողի ժամանակային արժեք, կոնցեպտ տնտեսագիտության մեջ, համաձայն որի՝ նույն փողը ներկայում ավելին արժե, քան ապագայում։ Այն հիմնված է ժամանակային նախընտրությունների վրա։

$1,000-ի ներկա արժեքը 100 տարվա կտրվածքով։ Կորորը ցույց են տալիս 2%, 3%, 5% և 7% հաստատուն տոկոսադրույքները։

Փողի ժամանակային արժեքը բացատրում է, թե ինչու են վճարվում և ստացվում տոկոսներ․ տոկոսները, անկախ նրանից բանկային ավանդի են, թե պարտքի, փոխհատուցում են ավանդատուին կամ փոխատուին փողի ժամանակային արժեքը։

Այն նաև ներառում է ներդրումները։ Ներդրողները պատրաստ են հրաժարվել իրենց փողը ներկայում ծախսելուց, եթե նրանք իրենց ներդրումներից սպասում են ավելի շատ եկամտաբերություն ապագայում այնպես, որ ապագայի աճած գումարը բավական բարձր լինի ներկայումս գումարն ունենալու նախապատվությունը փոխհատուցելու համար։

Պատմություն

Թալմուդում (մոտավորապես մ․թ․ 500 թվական) անդրադարձ է կատարվում փողի ժամանակային արժեքին։ Թալմուդում նկարագրվում է մի դեպք, երբ կեղծ վկաները դիտավորյալ պնդում էին, որ վարկի ժամկետը 30 օր է, այնինչ իրականում 10 էր։ Կեղծ վկաները պետք է վճարեին «30 օրվա դեպքում վարկի արժեքի և 10 տարվա դեպքում վարկի արժեքի միջև եղած տարբերությունը։ ․․․ Այդ տարբերությունը այն գումարն էր, որը (կեղծ) վկաների ցուցմունքի պատճառով վարկառուն պետք է կորցներ, հետևաբար՝ դա այն գումարն էր, որը նրանք պետք է վճարեին»։

Այս տեսակետը հետագայում նկարագրվեց Սալամանկայի դպրոցի ներկայացուցիչ Մարտին դե Ասպիլկուետայի (1491–1586) կողմից։

Հաշվարկներ

Փողի ժամանակային արժեքի խնդիրները ներառում են ժամանակի տարբեր պահերին դրամական հոսքերի զուտ արժեքները։

Դասական դեպքում փոփոխակաները հետևյալն են՝ հաշվեկշիռ (պարտքի կամ ֆինանսական ակտիվի իրական կամ անվանական արժեքը՝ արտահայտված դրամական միավորներով), տարբեր ժամանակահատվածների տոկոսադրույքները, ժամանակահատվածների քանակը և դրամական հոսքերը։ (Պարտքի դեպքում կանխիկի հոսքերը հիմնական գումարի և տոկոսագումարների վճարումներն են, ֆինանսական ակտիվի դեպքում հաշվին ներդրումները կամ դուրսգրումներն են)։ Ընդհանուր առմամբ, դրամական միջոցների հոսքերը կարող չլինել պարբերական, բայց կարող են առանձին հստակեցվել։ Այս փոփոխականներից յուրաքանչյուրը կարող է լինել անկախ փոփոխական տրված խնդրում։ Օրինակ, ենթադրենք տոկոսադրույքը 0.5% է յուրաքանչյուր ժամանակահատվածի համար (ենթադրենք՝ յուրաքանչյուր ամսվա համար), ժամանակահատվածների քանակը 60 է (ամիսներ), սկզբնական հաշվեկշիռը (այս պարագայում՝ պարտքի) 25,000 միավոր է, վերջնական հաշվեկշիռը՝ 0 միավոր։ Անհայտ փոփոխականը կարող է լինել ամսական վճարումը, որը պարտապանը պետք է կատարի։

Այսպես օրինակ, 1 տարով £100 ներդրած գումարը, որի տոկոսադրույքը 5% է, 1 տարի հետո կարժենա £105, ուստի հիմա վճարված £100-ը և 1 տարի հետո վճարված £105-ը ունեն նույն արժեքը ստացողի համար, ով ակնկալում է 5% տոկոսադրույքի ստացում՝ ենթադրելով, որ գնաճը կլինի 0%։

Այս սկզբունքը հնարավորություն է տալիս գնահատել ապագայում հավանական եկամտի հոսքերը այնպես, որ տարեկան եկամուտները դիսկոնտավորվում են (զեղչվում են) և գումարվում միմյանց՝ այդպիսով ապահովելով եկամտի ամբողջ հոսքի «ներկա արժեք»-ը։ Այսպես օրինակ, ապագա արժեքը ($FV$), որը ստացվելու է 1 տարի հետո, $r$ տոկոսադրույքով զեղչվելով, հավասար կլինի ներկա արժեքին ($PV$)՝

$PV={\frac {FV}{(1+r)}}$։

Փողի ժամանակային արժեքի հայեցակարգի ստանդարտ հաշվարկներից են՝

• Ներկա արժեք- ապագայի գումարի կամ դրամական հոսքերի ներկայիս արժողությունն է՝ տրված որոշակի տոկոսադրույքով։ Ապագա դրամական հոսքերը դիսկոնտավորվում են դիսկոնտի դրույքով․ ինչքան մեծ է դիսկոնտի դրույքը, այնքան փոքր է ապագա դրամական հոսքերի ներկա արժեքը։ Համապատասխան դիսկոնտի դրույքը որոշելը ապագա դրամական միջոցները ճիշտ գնահատելու կարևոր պայմանն է՝ անկախ նրանից՝ դրանք եկամուտներ են, թե պարտավորություններ։
• Անուիտետի ներկա արժեք- անուիտետը իրենից ներկայացնում է գումարի հավասար վճարումներ կամ ստացումներ, որոնք կատարվում են հավասարաչափ ինտերվալներով։ Պոստնումերանդո անուիտետի դեպքում գումարի վճարումները կամ ստացումները կատարվում են յուրաքանչյուր ժամանակահատվածի վերջում, իսկ պրենումերանդո անուիտետի դեպքում՝ սկզբում։ Անվերջ անուիտետի ներկա արժեքը իրենից ներկայացնում է միանման դրամական հոսքերի անվերջ և հաստատուն հոսք։
• Ապագա արժեք- Ակտիվի կամ դրամական միջոցների արժեքը ապագայում որոշակի կոնկրետ պահի հիմնված է ներկայում այդ ակտիվի արժեքի վրա։
• Անուիտետի ապագա արժեք- վճարումների (անուիտետ) հոսքի ապագա արժեքը՝ ենթադրելով, որ վճարումները կատարվում են տրված տոկոսադրույքով։

Կան մի շարք հիմնական հավասարումներ, որոնք ցույց են տալիս վերոնշյալը։ Լուծումները կարող են գտնվել՝ օգտագործելով բանաձևեր (դեպքերի մեծ մասում), ֆինանսական հաշվիչներ և աղյուսակներ։ Բանաձևերը ծրագրավորվում են ֆինանսական հաշվիչների և աղյուսակների ֆունկցիաների մեջ (ինչպես օրինակ PV, FV, RATE, NPER և PMT)։

Հավասարումներում բանաձևը կարող է վերաձևակերպվել՝ որոշելու անհայտներից որևէ մեկը։ Այս հավասարումները հաճախ համակցվում են որոշակի իրավիճակներում օգտագործելու համար։ Այսպես օրինակ, պարտատոմսերի գինը կարող է որոշվել՝ օգտագործելով այս հավասարումները։ Սովորական կուպոնային պարտատոմսը բաղկացած է երկու տեսակի վճարումներից՝ կուպոնային վճարումները, որոնք նման են անուիտետին, և կապիտալի միանվագ վերադարձը պարտատոմսերի մարման ավարտին։ Երկու բանաձևեր կարող են միացվել պարտատոմսի ներկա արժեքը որոշելու համար։

Կարևոր է նշել, որ i տոկոսադրույքը համապատասխան ժամանակահատվածի համար տոկոսադրույքն է։ Այն անուիտետի համար, որը ենթադրում է յուրաքանչյուր տարի մեկ վճարում, i-ն կլինի տարեկան տոկոսադրույքը։ Վճարման տարբեր գրաֆիկով եկամուտների կամ վճարումների դեպքում տոկոսադրույքը պետք է վերածվի համապատասխան պարբերական տոկոսադրույքների։ Այսպես օրինակ, ամսական վճարումներով հիփոթեքային վարկի ամսական տոկոսադրույքը ստացվում է տարեկան տոկոսադրույքը 12-ի բաժանելով։

Հաշվարկներում եկամտաբերությունը կարող է լինել այն փոփոխականը, ըստ որի լուծում ենք, կամ նախապես որոշված փոփոխական, որը օգտագործվում է դիսկոնտի դրույքի, տոկոսագումարի, գնաճի, կապիտալի արժեքի, պարտքի արժեքի կամ նմանատիպ այլ հասկացությունների չափման համար։ Սխալ դիսկոնտի դրույքի օգտագործումը հաշվարկի արդյունքներն անիմաստ կդարձնի։

Անուիտետը ներառող հաշվարկներում, անհրաժեշտ է որոշել՝ արդյոք վճարումները կատարվում են յուրաքանչյուր ժամանակաշրջանի սկզբում (հայտնի է որպես պոստնումերանդո անուիտետ), թե վերջում (հայտնի է որպես պրենումերանդո անուիտետ)։ Ներքոնշյալ բանաձևերը ներկայացված են սովորական (պոստնումերանդո) անուիտետի համար։ Պրենումերանդո անուիտետի ներկա արժեքը հաշվարկելու համար սովորական անուիտետի ներկա արժեքը կարող է բազմապատկվել (1 + i)-ով։

Բանաձևեր

Ներքոնշյալ բանաձևը օգտագործում է հետևյալ հիմնական փոփոխականները՝

• PV - արժեքը ժամանակի 0 պահին (ներկա արժեք),
• FV - արժեքը ժամանակի n պահին (ապագա արժեք),
• A - յուրաքանչյուր առանձին ժամանակահատվածում անհատական վճարումների արժեքը,
• n - ժամանակահատվածների քանակը (պարտադիր չէ ամբողջ թվով),
• i - տոկոսադրույքը,
• g -յուրաքանչյուր ժամանակահատվածում վճարումների աճող տոկոսադրույքը։

Ներկայի գումարի ապագա արժեք

$FV\ =\ PV\cdot (1+i)^{n}$։

Ապագա գումարի ներկա արժեք

Ներկա արժեքի բանաձևը փողի ժամանակային արժեքի հիմնական բանաձևն է․ մյուս բանաձևերը ստացվում են այս բանաձևից։ Օրինակի համար, անուիտետի բանաձևը հաշվարկված ներկա արժեքների գումարն է։

Ներկա արժեքի բանաձևը ունի 4 փոփոխական, որոնցից յուրաքանչյուրը կարող է լուծվել թվային մեթոդներով՝

$PV\ =\ {\frac {FV}{(1+i)^{n}}}$։

Ապագա դրամական հոսքերի կուտակային ներկա արժեքը կարող է հաշվարկվել՝ գումարելով FV_t ներդրումները՝ t-րդ պահին դրամական հոսքերի արժեքները՝

$PV\ =\ \sum _{t=1}^{n}{\frac {FV_{t}}{(1+i)^{t}}}$։

Այս շարքը կարող է հաշվարկվել կոնկրետ տրված n-ի դեպքում կամ երբ n-ը ∞ է։ Կա ավելի ընդհանրական բանաձև, որը կիրառվում է ներքոնշյալ մի շարք կարևոր հատուկ դեպքերի համար։

Անուիտետի ներկա արժեքը n ժամանակահատվածների համար

Այս պարագայում դրամական հոսքերի արժեքները մնում են նույնը n ժամանակահատվածների համար։ Անուիտետի ներկա արժեքը (PVA) ունի 4 փոփոխական, որոնցից յուրաքանչյուրը կարող է որոշվել մի շարք թվային մեթոդների միջոցով՝

$PV(A)\,=\,{\frac {A}{i}}\cdot \left[{1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}}\right]$։

Պրենումերանդո անուիտետի ներկա արժեքը հաշվելու համար վերոնշյալ հավասարությունը անհրաժեշտ է բազմապատկել (1 + i)-ով;

Աճող անուիտետի ներկա արժեք

Այս պարագայում դրամական հոսքերը աճում են (1+g) գործակցով։ Անուիտետի բանաձևի նման, աճող անուիտետի ներկա արժեքը (PVGA) օգտագործում է նույն փոփոխականները՝ հավելած g-ն՝ որպես անուիտետի աճի տոկոս (A-ն առաջին ժամանակահատվածում անուիտետային վճարումն է)։ Սա հաշվարկ է, որը հազվադեպ է հանդիպում ֆինանսական հաշվիչներում։

Երբ i ≠ g ՝

$PV(A)\,=\,{A \over (i-g)}\left[1-\left({1+g \over 1+i}\right)^{n}\right]$,

երբ i = g ՝

$PV(A)\,=\,{A\times n \over 1+i}$։

Աճող պրենումերանդո անուիտետի ներկա արժեքը ստանալու համար, անհրաժեշտ է վերոնշյալ հավասարությունը բազմապատկել (1 + i)-ով։

Անվերջ անուիտետի ներկա արժեք

Անվերջ անուիտետ ասելով հասկանում ենք գումարի վճարումներ, որոնք կատարվում են որոշակի պարբերականությամբ և անվերջ շարունակվում են։ Երբ n → ∞, անվերջ անուիտետի ներկա արժեքի բանաձևը դառնում է պարզ բաժանում՝

$PV(P)\ =\ {A \over i}$։

Աճող անվերջ անուիտետի ներկա արժեք

Երբ անվերջ անուիտետի վճարումները աճում են ֆիքսված տոկոսադրույքով (g, և g < i), արժեքը որոշվում է ներքոնշյալ բանաձևով։ Երբ n → ∞, ինչպես նախորդ բանաձևում՝

$PV(A)\,=\,{A \over i-g}$։

Պրակտիկայում ճշգրիտ բնութագրիչներով շատ քիչ արժեթղթեր կան, ուստի արժեքի գնահատման այս մոտեցման կիրառումը կարող է ենթարկվել բազմաթիվ փոփոխությունների։ Ամենակարևորն այն է, որ դժվար է գտնել աճող անվերջ անուիտետ՝ աճի ֆիքսված տոկոսներով։ Չնայած դրան, հիմնական մոտեցումը կարող է կիրառվել անշարժ գույքի, բաժնետոմսերի և այլ ակտիվների գնահատման համար։

Անուիտետի ապագա արժեք

Անուիտետի ապագա արժեքի բանաձևը (n ժամանակահատվածից հետո) ունի 4 փոփոխականներ, որոնցից յուրաքանչյուրը կարող է որոշվել թվային մեթոդներով՝

$FV(A)\,=\,A\cdot {\frac {\left(1+i\right)^{n}-1}{i}}$։

Պրենումերանդո անուիտետի ապագա արժեքը ստանալու համար վերևի հավասարությունը անհրաժեշտ է բազմապատկել (1 + i)-ով։

Աճող անուիտետի ապագա արժեք

Աճող անուիտետի ապագա արժեքի բանաձևը (n ժամանակահատվածից հետո) ունի 4 փոփոխականներ, որոնցից յուրաքանչյուրը կարող է որոշվել թվային մեթոդներով։

Երբ i ≠ g՝

$FV(A)\,=\,A\cdot {\frac {\left(1+i\right)^{n}-\left(1+g\right)^{n}}{i-g}}$,

երբ i = g ՝

$FV(A)\,=\,A\cdot n(1+i)^{n-1}$։

Բանաձևերի աղյուսակ

Հետևյալ աղյուսակը ցույց է տալիս տարբեր բանաձևեր, որոնք օգտագործվում են փողի ժամանակային արժեքը հաշվարկելու համար։ Այդ արժեքները հաճախ ներկայացվում են աղյուսակներով, որտեղ տոկոսադրույքը և ժամանակը որոշված են։

Գտնել	Տրված է	Բանաձև
Ապագա արժեք (F)	Ներկա արժեք (P)	$F=P\cdot (1+i)^{n}$
Ներկա արժեք (P)	Ապագա արժեք (F)	$P=F\cdot (1+i)^{-n}$
Կրկնվող վճարումներ (A)	Ապագա արժեք (F)	$A=F\cdot {\frac {i}{(1+i)^{n}-1}}$
Կրկնվող վճարումներ (A)	Ներկա արժեք (P)	$A=P\cdot {\frac {i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}}$
Ապագա արժեք (F)	Կրկնվող վճարում (A)	$F=A\cdot {\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}$
Ներկա արժեք (P)	Կրկնվող վճարում (A)	$P=A\cdot {\frac {(1+i)^{n}-1}{i(1+i)^{n}}}$
Ապագա արժեք (F)	Նախնական՝ հավասարաչափ աճող վճարում(G)	$F=G\cdot {\frac {(1+i)^{n}-in-1}{i^{2}}}$
Ներկա արժեք (P)	Նախնական՝ հավասարաչափ աճող վճարում (G)	$P=G\cdot {\frac {(1+i)^{n}-in-1}{i^{2}(1+i)^{n}}}$
Ֆիքսված վճարում (A)	Նախնական՝ հավասարաչափ աճող վճարում (G)	$A=G\cdot \left[{\frac {1}{i}}-{\frac {n}{(1+i)^{n}-1}}\right]$
Ապագա արժեք (F)	Նախնական՝ երկրաչափական պրոգրեսիայով աճող վճարում (D) Աճման տոկոսադրույք (g)	$F=D\cdot {\frac {(1+g)^{n}-(1+i)^{n}}{g-i}}$   (for i ≠ g) $F=D\cdot {\frac {n(1+i)^{n}}{1+g}}$   (for i = g)
Ներկա արժեք (P)	Նախնական՝ երկրաչափական պրոգրեսիայով աճող վճարում (D) Աճման տոկոսադրույք (g)	$P=D\cdot {\frac {\left({1+g \over 1+i}\right)^{n}-1}{g-i}}$   (for i ≠ g) $P=D\cdot {\frac {n}{1+g}}$   (for i = g)

Նշումներ՝

• A-ն յուրաքանչյուր ժամանակահատվածի համար ֆիքսված վճարում է,
• G-ն աճող վճարումների սկզբնական վճարումն է, որը սկսվում է G-ից և աճում է G-ով յուրաքանչյուր հաջորդական ժամանակահատվածի համար,
• D-ն երկրաչափական պրոգրեսիայով աճող վճարումների սկզբնական վճարումն է, որը սկսվում է D-ից և յուրաքանչյուր հաջորդ ժամանակահատվածի համար (1+g) գործակցով աճում։

Ստացում

Անուիտետի ստացումը

Անուիտետի ներկա արժեքի բանաձևը ստացվում է ապագայում առանձին վճարումների ապագա արժեքների գումարից, ինչպես ցույց է տրված ներքևում, որտեղ C-ն վճարման չափն է, իսկ n-ը ժամանակահատվածը։

Ապագայում ժամանակի m պահին C վճարումը ունի հետևյալ ապագա արժեքը ապագայում ժամանակի n պահին ՝

$FV\ =C(1+i)^{n-m}$։

1-ից n պահերի համար բոլոր վճարումները գումարելով՝ կստանանք՝

$FVA\ =\sum _{m=1}^{n}C(1+i)^{n-m}\ =\sum _{k=0}^{n-1}C(1+i)^{k}$։

Ինչպես երևում է, սա երկրաչափական պրոգրեսիա է, որի առաջին անդամը a = C է, բազմարկիչը՝ 1 + i, անդամների քանակը՝ n։ Կիրառելով երկրաչափական պրոգրեսիայի բանաձևը՝ կստանանք՝

$FVA\ ={\frac {C(1-(1+i)^{n})}{1-(1+i)}}\ ={\frac {C(1-(1+i)^{n})}{-i}}$։

Անուիտետի ներկա արժեքը (PVA) ստացվում է՝ ապագա արժեքը պարզապես բաժանելով $(1+i)^{n}$-ի վրա, այն է՝

$PVA\ ={\frac {FVA}{(1+i)^{n}}}={\frac {C}{i}}\left(1-{\frac {1}{(1+i)^{n}}}\right)$։

Անուիտետի ապագա արժեքը որոշելու մեկ այլ պարզ եղանակ է պատկերացնել մի ներդրում, որի դիմաց տոկոսագումարները վճարվում են որպես անուիտետ, իսկ հիմնական գումարը մնում է հաստատուն։

Պետք է նշել, որ համակարգում ապագա արժեքը կարելի է գտնել ապագա արժեքի հաշվարկման սովորական բանաձևով ՝

$FV=PV(1+i)^{n}$։

Սկզբնապես, մինչև որևէ վճարում կատարելը, համակարգի ներկա արժեքը հենց հիմնական ներդրումն է՝ ($PV=C/i$)։ Վերջում, ապագա արժեքը հիմնական ներդրումն է (որը նույնն է)՝ գումարած ողջ անուիտետային վճարումների ապագա արժեքը ($FV=C/i+FVA$)։ Սա տեղադրելով հավասարման մեջ՝ կստանանք՝

${\frac {C}{i}}+FVA={\frac {C}{i}}(1+i)^{n}$,

$FVA={\frac {C}{i}}\left[\left(1+i\right)^{n}-1\right]$։

Անվերջ անուիտետի ստացումը

Առանց ֆորմալ ծագումը ցույց տալու՝ անվերջ անուիտետի բանաձևը ստացվում է անուիտետի բանաձևից։ Ավելի մանրամասն, $\left({1-{1 \over {(1+i)^{n}}}}\right)$ անդամը մոտենում է 1-ին, ինչքան n-ը աճում է։ Անվերջությունում այն հավասար է 1-ի՝ թողնելով միակ անդամը՝ ${C \over i}$։

Բարդ տոկոսի շարունակական հաշվարկ

Տոկոսադրույքները հաճախ վերածվում են շարունակական և համարժեք բարդ տոկոսների, քանի որ դա ավելի հարմար է (ավելի հեշտ է դիֆերենցվում)։ Վերը նշված բոլոր բանաձևերը կարող են ներկայացվել իրենց շարունակական համարժեքների միջոցով։ Այսպես օրինակ, ապագայի t-րդ պահին կատարված վճարման ներկա արժեքը 0 պահին կարող է վերաձևակերպվել այս եղանակով, որտեղ e-ն բնական լոգարիթմի հիմքն է, իսկ r-ը՝ շարունակական բարդ տոկոսադրույքը՝

${\text{PV}}={\text{FV}}\cdot e^{-rt}$։

Սա կարող է ընդհանրացվել դիսկոնտի դրույքներով, որոնք փոխվում են ժամանակի ընթացքում․ դիսկոնտի r հաստատուն դրույքի փոխարեն, օգտագործվում է ժամանակից կախված հետևյալ ֆունկցիան՝ r(t)։

Այս պարագայում դիսկոնտավորման գործոնը, և հետևաբար՝ ներկա արժեքը, ժամանակի T պահին տրվում է շարունակաբար բարդ r(t) տոկոսադրույքի ինտեգրալի միջոցով՝

${\text{PV}}={\text{FV}}\cdot \exp \left(-\int _{0}^{T}r(t)\,dt\right)$։

Իրոք, շարունակական բարդ տոկոսադրույքի օգտագործման հիմնական պատճառը փոփոխվող դիսկոնտի դրույքի վերլուծությունը հեշտացնելն է և հաշվարկների գործիքները օգտագործելը։

Օրինակներ

Բարդ տոկոսի շարունակական կիրառումը տարբեր գործիքների համար հանգեցնում է հետևյալ բանաձևերին՝

Անուիտետ

$\ PV\ =\ {A(1-e^{-rt}) \over e^{r}-1}$,

Անվերջ անուիտետ

$\ PV\ =\ {A \over e^{r}-1}$,

Աճող անուիտետ

$\ PV\ =\ {Ae^{-g}(1-e^{-(r-g)t}) \over ^{(r-g)}-1}$,

Անվերջ աճող անուիտետ

$\ PV\ =\ {Ae^{-g} \over e^{(r-g)}-1}$,

Շարունակական վճարումներով անուիտետ

$\ PV\ =\ {1-e^{(-rt)} \over r}$։

Այս բանաձևերը ենթադրում են, որ A-ն առաջին ժամանակահատվածի վճարումն է, իսկ անուիտետը ավարտվում է t պահին։

Դիֆերենցիալ հավասարումներ

Սովորական և մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումները ներառում են ածանցյալները և մեկ (համապատասխանաբար նաև բազմակի) փոփոխականով հավասարումները, որոնք ավելի համապարփակ են ավելի բարդ ֆինանսական մաթեմատիկայի համար։

Հիմնական փոփոխությունը, որ բերում են դիֆերենցիալ հավասարումները, այն է, որ հաշվարկվում է ոչ թե թիվ (ներկայի արժեքը այժմ), այլ հաշվարկվում է ֆունկցիա (ներկա արժեքը այժմ կամ ապագայի ցանկացած պահին)։ Այս ֆունկցիան այնուհետև կարող է վերլուծվել, այն է՝ ինչպես է փոխվում դրա արժեքը ժամանակի ընթացքում կամ համեմատած այլ ֆունկցիաների հետ։

Այն պնդումը, որ « արժեքը ժամանակի ընթացքում նվազում է», տրվում է հետևյալ ${\mathcal {L}}$ գծային դիֆերենցիալ օպերատորի միջոցով՝

${\mathcal {L}}:=-\partial _{t}+r(t)$։

Սա նշանակում է, որ արժեքը ժամանակի ընթացքում նվազում է, այսինքն՝

${\mathcal {L}}f=-\partial _{t}f(t)+r(t)f(t)$։

Տես նաև

• Ֆինանսներ

Գրականություն

• Carr, Peter; Flesaker, Bjorn (2006), Robust Replication of Default Contingent Claims (presentation slides) (PDF), Bloomberg LP, Արխիվացված է օրիգինալից (PDF) 2009 թ․ փետրվարի 27-ին. See also Audio Presentation and paper. {{citation}}: External link in |postscript= (օգնություն)CS1 սպաս․ postscript (link)
• Crosson, S.V., and Needles, B.E.(2008). Managerial Accounting (8th Ed). Boston։ Houghton Mifflin Company.

Արտաքին հղումներ

• Time Value of Money hosted by the University of Arizona Արխիվացված 2012-08-16 Wayback Machine
• Time Value of Money Արխիվացված 2020-12-05 Wayback Machine ebook