Ինտերվալ (հարաբերականության տեսություն)

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ ինտերվալ (այլ կիրառումներ)

Ինտերվալ, հարաբերականության տեսության մեջ տարածաժամանակի երկու իրադարձությունների հեռավորության նմանակը՝ երկու կետերի միջև էվկլիդեսյան հեռավորության ընդհանրացումը։ Ինտերվալը Լորենց-ինվարիանտ է, այսինքն՝ մի հաշվարկման համակարգից մյուսին անցնելիս չի փոխվում, նույնիսկ ավելին՝ ինվարիանտ է (սկալյար) հարաբերականության հատուկ և ընդհանուր տեսություններում։

Ինտերվալի այս հատկությունն այն վերածում է հիմնարար հասկացության, որի հիման վրա կարելի է, հարաբերականության սկզբունքին համապատասխան, իրականացնել ֆիզիկական օրենքների կովարիանտ ձևակերպում։ Մասնավորապես, Լորենցի ձևափոխությունները (կոորդինատների՝ ժամանակը ներառյալ, ձևափոխություններ, որոնք անփոփոխ են թողնում ֆիզիկայի բոլոր հիմնարար հավասարումները հաշվարկման համակարգը փոխելիս) կարելի է ֆորմալ ներկայացնել որպես խմբի ձևափոխություններ, որոնք ինտերվալն ինվարիանտ են թողնում։

Ինտերվալի ինվարիանտությունը հիմք է հանդիսացել Մինկովսկու տարածությունը ներմուծելու համար, որտեղ հաշվարկման իներցիալ համակարգի փոփոխությունը համապատասխանում է այդ տարածության «պտույտին», ինչը տարածություն-ժամանակի հասկացության առաջին բացահայտ ձևակերպումն է։

Սահմանում

Ինտերվալի քառակուսին սիմետրիկ երկգծային ձև է տարածաժամանակի քառաչափ բազմաձևության փոխդասավորությունում։ Համապատասխան ընտրված կոորդինատների դեպքում (գալիլեյյան՝ $~x,y,z$ դեկարտյան տարածական կոորդինատներով և $~t$ ժամանակով լոկալ իներցիալ հաշվարկման համակարգ) տարածաժամանակում անվերջ փոքր տեղափոխության համար այն ունի

$~ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}$

տեսքը։

Հարթ տարածաժամանակի դեպքում, այսինքն կորություն չունեցող ժամանակային տարածության դեպքում, որին ժամանակակից ֆիզիկայում համապատասխանում է գրավիտացիայի բացակայությունը (կամ գոնե դրա աննշան լինելը) այդպիսի արտահայտությունը տեղի ունի նաև կոորդինատների վերջավոր տարբերության համար.

$~s^{2}=c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}$

(այսպիսի տարածությունն արդեն ճշգրիտ և գլոբալ Մինկովսկու տարածություն է, եթե, իհարկե, տոպոլոգիապես այն համարժեք է $\mathbb {R} ^{4}$-ին իր բնական տոպոլոգիայով)։

Սովորաբար ինտերվալը նշանակվում է լատիներեն $~s$ տառով։

Հարաբերականության ընդհանուր տեսությունում կիրառվում է ինտերվալի ընդհանրացված հասկացությունը, որը տալիս է երկու կետերի բնական ընդհանրացված հեռավորությունը։ Ներմուծվում է $g_{ik}$ մետրիկ թենզորը, որից պահանջվում է ընդամենը լինել սիմետրիկ և չայլասերված։ Երկու անվերջ մոտ կետերի ինտերվալի քառակուսին ունենում է

$\!ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j},~~i,j=0\dots 3,~~x^{0}=ct,x^{1}=x,x^{2}=y,x^{3}=z$,

տեսքը, որտեղ $dx^{i}$-ն կոորդինատների դիֆերենցիալներն են, ըստ կրկնվող ինդեքսների գումարում է իրականացվում, այսինքն այդ արտահայտությունը նշանակում է

$\sum _{i,\ j=0}^{3}g_{ij}dx^{i}dx^{j}$։

Նման կերպ սահմանված մետրիկան չի լինի դրական սահմանված քառակուսային ձև, ինչպես սովորաբար պահանջվում է սեփական ռիմանյան բազմաձևությունների դեպքում։ Հակառակը, ենթադրվում է, որ միշտ կամ գրեթե միշտ կարելի է լոկալ այնպես ընտրել $~t,x,y,z$ տարածաժամանակային կոորդինատները (հաշվարկման համակարգը), որ ինտերվալը որ ինտերվալը տարածաժամանակի փոքր տիրույթում այդ կոորդինատներով գրվի այնպես, ինչպես գրվում է Մինկովսկու հարթ տարածությունում լորենցյան կոորդինատների (հաշվարկման համակարգի) համար.

$~ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}$,

Այնպես որ տարաժածամանակի կետով անցնում են զրոյական «երկարություն» (տարածաժամանակի երկարությունը նրա «ֆիզիկական չափականությամբ» սահմանելով, այսինքն՝ որպես $ds={\sqrt {s^{2}}}$-ի ինտեգրալ) ունեցող անվերջ շատ գծեր, որոնք լուսային կոն են կազմում, անվերջ շատ գծեր, որոնց երկարությունը իրական է. դրանք լուսային կոնի ներքին տիրույթում են, և անվերջ շատ գծեր, որոնց երկարությունը մաքուր կեղծ է. տրված կետի շրջակայքում դրանք բոլորը լուսային կոնի արտաքին տիրույթում են։

• Ինտերվալի քառակուսու նշանը համաձայնության հարց է։ Այն կարելի է ընտրել դրական (պատմականորեն այդպես էլ եղել է)։ Սակայն երբեմն ընտրվում է բացասականը, եթե կիրառվում է Մինկովսկու ներմուծած տարբերակը և հարմար է ժամանակային կոորդինատները ներկայացնել որպես մաքուր կեղծ։
• $x^{i}$ կոորդինատների համարակալումը նույնպես համաձայնության հարց է, սակայն ժամանակակից գրականությունում դրանք հաճախ համարակալվում են 0-ից 3, ընդ որում ժամանակային կոորդինատը ներկայացվում է 0 ինդեքսով։
• Ավելի մեծ չափականություններով օժտված տարածաժամանակներ կիրառող տեսական կառուցումներում ինտերվալի սահմանումը բնականորեն ընդհանրացվում է՝ ավելացնելով որոշակի թվով տարածական կոորդինատների գումարը։ Ընդ որում ամենից հաճախ (չնայած ոչ միշտ) ենթադրվում է, որ ժամանակային կոորդինատը միակն է, այսինքն՝ միայն մեկ գումարելի կա, որի նշանը հակադիր է մյուս բոլոր գումարելիների նշանին։
• Բազմաձևությունը, իր վրա տրված չայլասերված ինտերվալով (կամ, այլ կերպ ասած, չայլասերված չափականությամբ) կոչվում է պսևդոռիմանյան, ավելի ճիշտ՝ սեփական պսևդոռիմանյան՝ ընդգծելու համար տարբերությունը ռիմանյան բազմաձևությունից, որում չափականությունը, ի տարբերություն ինտերվալի, դրական է սահմանված, ինչպես սովորական էվկլիդեսյան տարածությունում է։
• Ինտերվալի սահմանումը որոշ չափով տարբերվում է հարաբերականության հատուկ և ընդհանուր տեսություններում։ Դա պայմանավորված է նրանով, որ Մինկովսկու տարածաժամանակի երկու կամայական կետերի միջև ինտերվալը կարելի է սահմանել առանց դժվարության, որպես երկու կետերը միացնող ուղիղ գծի (գեոդեզիկ գծեր) երկարություն։ Սակայն կորացած տարածաժամանակի ընդհանուր դեպքում դա արդեն հեշտ չէ անելը, քանի որ կետերը կարող են միացվել մի քանի տարբեր (կամ նույնիսկ անվերջ թվով) գեոդեզիկներով։ Այդ պատճառով հարաբերականության ընդհանուր տեսությունում ինտերվալը հաճախ սահմանում են տրված կետի անվերջ փոքր շրջակայքում, որտեղ նրանից ելնող տարբեր գեոդեզիկ գծերը դեռ չեն հատվում, իսկ մի կետից մյուսը հեռավորությունը գեոդեզիկ գծերով կոչվում է համաշխարհային ֆունկցիա։

Ինտերվալի քառակուսու նշանի իմաստը

• Եթե $c^{2}\Delta t^{2}>\Delta r^{2},s^{2}>0$, ինտերվալը կոչվում է ժամանականման։ Երկու իրադարձությունների միջև ժամանականման ինտերվալը նշանակում է, որ գոյություն ունի այնպիսի հաշվարկման համակարգ, որում այդ իրադարձությունները տեղի են ունեցել միևնույն վայրում։ Իրադարձությունների ժամանականման ինտերվալը նշանակում է, որ նրանք կարող են պատճառականորեն կապված լինել։ Պատճառականորեն կապված իրադարձությունների համար $s^{2}>0$, քանի որ ցանկացած փոխազդեցություն տարածվում է c-ից ոչ մեծ արագությամբ, ընդ որում $s^{2}=0$ համապատասխանում է իրադարձություններին, որոնք կապված են լույսի արագությամբ տարածվող ազդանշանի հետ։ Պարտադիր չէ, որ այդ ազդանշանը լինի հենց լուսային. այն կարող է լինել գրավիտացիոն ալիք, ընդհանրապես ցանկացած զանգված չունեցող մասնիկ կամ նույնիսկ դեռ չբացահայտված փոխազդեցություն։ Էականը այն է, որ գոյություն ունի փոխազդեցությունների տարածման առավելագույն արագություն, որը միևնույնն է բոլոր հաշվարկման համակարգերում և հավասար է, ինչպես բխում է Մաքսվելի հավասարումներից, լույսի արագությանը։
• Եթե $c^{2}\Delta t^{2}<\Delta r^{2},s^{2}<0$, ապա ինտերվալը կոչվում է տարածանման, և նշանակում է, որ կարելի է ընտրել այնպիսի հաշվարկման համակարգ, որում երկու իրադարձությունները տեղի ունենան միաժամանակ։ Այն իրադարձությունները, որոնց միջև ինտերվալը տարածանման է, չեն կարող պատճառականորեն կապված լինել, քանի որ քանի որ դրա համար տարածվող ազդանշանը պետք է լույսից արագ շարժվեր։
• Եթե $c^{2}\Delta t^{2}=\Delta r^{2},s^{2}=0$, ապա ինտերվալը կոչվում է լուսանման (երբեմն՝ իզոտրոպ կամ զրոյական)։ Մինկովսկու տարածության մեջ այն ուղղությունը, որի երկայնքով ինտերվալը զրո է, կոչվում է իզոտրոպ։ Իզոտրոպ են կոչվում նաև այն բազմաձևությունները, որոնց համար $ds^{2}$ ձևը նույնականորեն 0 է։ Լույսը միշտ իզոտրոպ ուղղությունների երկայնքով է տարածվում։

Դիտողություն։ Քանի որ ինտերվալն ինվարիանտ է, ապա նրա քառակուսու նշանը նույնպես ինվարիանտ է։ Այդ պատճառով ինտերվալների դասակարգումն ըստ նշանի կախված չէ հաշվարկման համակարգից։

Գրականություն

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.։ Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 4, էջ 357)։