Վերջավոր դաշտ, կամ ընդհանուր հանրահաշվում Գալուայի դաշտ, դաշտ, որը բաղկացած է վերջավոր թվով տարրերից, այս թիվը կոչվում է դաշտի կարգ։

Վերջավոր դաշտը սովորաբար նշանակվում է կամ (հապավումը՝ Galois field-ից) և կոչվում է կարգի Գալուայի դաշտ, որտեղ -ն՝ դաշտի տարրերի թիվն է[1]։ Վերջնական ճշտությամբ մինչև իզոմորֆիզմը վերջավոր դաշտը լիովին որոշվում է իր կարգով, որը միշտ հանդիսանում է ինչ-որ պարզ թվի աստիճան, այսինքն՝ , որտեղ -ն պարզ թիվ է, -ը՝ ցանկացած բնական թիվ: Ընդ որում լինելու է այդ դաշտի բնութագիրը[2]։

Վերջավոր դաշտի հասկացությունը օգտագործվում է թվերի տեսության[3], խմբերի տեսության [3], հանրահաշվական երկրաչափության[3] և ծածկագիտություն մեջ[4]:

Սահմանում և հատկություններԽմբագրել

Վերջավոր դաշտ կոչվում է վերջավոր բազմությունը, որի վրա սահմանված են գումարման, բազմապատկման, հանման և բաժանման (բացի 0-ի բաժանումից) կամայական գործողություններ, ըստ աքսիոմների դաշտի[5]:

Վերջավոր դաշտի մուլտիպլիկատիվ խումբը ցիկլային է: Այսինքն,   դաշտի ոչ բոլոր զրոյական տարրերն են ձևավորում խումբ բազմապատկման գործողության նկատմամբ (այս խումբը կոչվում է դաշտի մուլտիպլիկատիվ խումբ և նշանակում է  )։ Այս խումբը համարվում է ցիկլային, այսինքն այն ունի ծնիչ տարր, իսկ մնացած բոլոր տարրերը ստացվում են ծնիչի աստիճանններով[5]: Այսինքն, գոյություն ունի   գեներացնող տարր, այնպես, որ ցանկացած   -ի համար կարելի է գրել.

 ։

Գեներացնող տարրը՝  , կոչվում է նաև   դաշտի պարզունակ տարր։   դաշտը պարունակում է   պարզունակ տարրեր, որտեղ  ՝ Էյլերի ֆունկցիան է[6]։

Դաշտը ունի նաև մի շարք այլ հատկություններ.

  • Ըստ Ֆերմայի թեորեմի,   դաշտի յուրաքանչյուր տարր բավարարում է   հավասարմանը[2]։
  •   դաշտն իր մեջ պարունակում է   ենթադաշտ այն և միայն այն ժամանակ, երբ   հանդիսանում է  -ի բաժանարար[1]։
  • Եթե    աստիճանի չբերվող բազմապատկման է, ապա   դաշտը պարունակում է նրա ցանկացած   արմատ, ընդ որում նրա բոլոր արմատների բազմությունն ունի   տեսքը։ Այսպիսով,   դաշտը հանդիսանում է   բազմանդամի վերլուծման դաշտը   դաշտի վար[7]։
  • Յուրաքանչյուր   վերջավոր դաշտի և   բնական թվերի համար բոլոր նորմավորված,   բազմանդամների արտադրյալը հավասար է   Մասնավորապես, այդպիսի բազմանդամների աստիճանների գումարը հավասար է  [8]։
  •   դաշտի վրա բերվող n աստիճանի նորմավորված բազմանդամների   թիվը որոշվում է   բանաձևով, որտեղ   Մյոբիուսի ֆունկցիան է: Այս պնդումը հետևում է   բանաձևից[9]:

Պարզ թվով տարրերով դաշտԽմբագրել

Պարզ կարգի ցանկացած դաշտ կարող է ներկայացվել տարրերի հանման օղակով (այսինքն,   տարրերով ցանկացած դաշտ իզոմորֆ է հանման   օղակին)։ Վերջնական դաշտի առավել հայտնի օրինակներից է՝ ըստ   պարզ թվի մոդուլի հանման դասերի դաշտը, որը նշանակվում է  -ով[10]։ Այդ դաշտը կարելի է ներկայացնել հետևյալ կերպ.   պարզ թվի համար դաշտի տարրերը կլինեն   թվերը։ Գումարումը և բազմապատկումը սահմանվում են որպես թվերի ավելացում և բազմապատկվում արդյունքի բերվում   մոդուլի միջոցով[11]։ Ստորև տրված են նման դաշտեր երկրու և երեք տարերով։

Նվազեցվող օղակների հետ կապըԽմբագրել

Չպետք է շփոթել վերջնական դաշտերը   և նվազեցումների օղակները  ։ Միայն այն ժամանակ, երբ թիվը պարզ է, օղակը համարվում է նվազեցվող [12]։

Երբ n > 1 նվազեցված օղակը   դաշտ չի համարվում։ Օրինակ՝

  ցանկացած տարրի համար ճիշտ է  ։

Օղակը  , Հաշվելով   մենք կստանանք 0 միայն երկու դեպքում, երբ  ։ Այս օղակը ունի զրոյական բաժանարար։

Վերջավոր դաշտերի բնութագրիչԽմբագրել

Յուրաքանչյուր վերջավոր դաշտի բնութագրիչը հանդիսանում է պարզ թիվ։ Թող՝  -ն լինի վերջավոր դաշտ։ Այդ դեպքում այն բաղկացած է   տարրերից, որտեղ   դաշտի բնութագրիչը   է, իսկ   բնական թիվը՝   դաշտի կարգն է իր պարզ ենթադաշտի վրա[2].

Վերջավոր դաշտի գոյության և միակության թեորեմի համաձայն, յուրաքանչյուր   պարզ և   բնական թվերի համար գոյություն ունի վերջավոր դաշտ՝   տարրերով և   տարրերով ցանկացած վերջավոր դաշտ իզոմորֆ է բազմանդամի վերլուծման   դաշտի նկատմամբ՝   դաշտի վրա։ Տվյալ թեորեմը մեզ թույլ է տալիս խոսել տրված   կարգի, բավականին սահմանված դաշտի մասին (այսինքն, Գաուլայի դաշտի մասին, որը բաղկացած է՝   տարրից)[13]։

ԿառուցումԽմբագրել

  դաշտը n > 1 -ի դեպքում կարելի է կառուցվել որպես   ֆակտոր օղակ, որտեղ    դաշտի նկատմամբ nաստիճանի չբերվող բազմանդամ է։ Այսպիսով,   տարրից դաշտ կառուցելու համար բավական է գտնել   աստիճանի,   դաշտի վրա չբերվող բազմանդամ (նման բազմությունները միշտ գոյություն ունի)։   դաշտի տարրերը հանդիսանում են  -ից փոքր աստիճաններով,   -ից գործակիցներով,   բազմանդանով ծնված բազմանդամների տարբերության դաս:

  տարրը համարվում է   բազմանդամի արմատը և   դաշտը ծնվում է այդ տարրով՝   դաշտում, հետևաբար անցումը   դաշտից   դաշտ անվանում են   չբերվող բազմանդամի արմատի միավորումը   դաշտին[14][15]:

ՕրինակներԽմբագրել

Երկու տարրերից կազմված դաշտԽմբագրել

  դաշտը բաղկացած է երկու տարրերից, սակայն այն կարող է տրված լինել տարբեր եղանակներով՝ կախված տարրերի ընտրությունից և նրա վրա գումարման և բազմապատկամ գործողությունների սահմանելուց[16]։

  • Որպես երկու՝ «0» և «1», թվերից բաղկացած բազմություն, որտեղ գումարման և բազմապատկման գործողությունը սահմանվում են ինչպես բերված արդյունքների 2 մոդուլով թվերի գումարում և բազմապատկում.
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
× 0 1
0 0 0
1 0 1
  • Որպես «ՍԽԱԼ» (F) և «ՃԻՇՏ» (T) երկու տրամաբանական օբեկտների բազմություն, որի վրա գումարման և բազմապատկման գործողությունները սահմանվում են որպես բուլյան գործողություններ համապատասխանաբար «բացառող կամ» և «և».
+ F T
F F T
T T F
× F T
F F F
T F T

Ակնհայտ է, որ տրված դաշտերը միմիանց իզոմորֆ են, այսինքն, դրանք իրականում առաջադրանքի տրման երկու տարբեր եղանակներ են։

Երեք տարրերից կազմված դաշտԽմբագրել

Դաշտը   -ն է։ Գումարումը և բազմապատկումը սահմանված են ինչպես 3 մոդուլով թվերի գումարում և բազմապատկում։   գործողությունների աղյուսակը ունի հետևյալ տեսքը.

+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
× 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1

Չորս տարրերից կազմված դաշտԽմբագրել

  դաշտը կարելի է ներկայացնել որպես   բազմություն (որտեղ    բազմանդամի արմատն է   դաշտի վրա, այսինքն՝  ):   գործողությունների աղյուսակներն ունեն հետևյալ տեսքը[17].

+ 0 1    
0 0 1    
1 1 0    
      0 1
      1 0
× 0 1    
0 0 0 0 0
1 0 1    
  0     1
  0   1  

Ինը տարրերից կազմված դաշտԽմբագրել

  դաշտի կառուցման համար բավարար է գտնել 2-րդ կարգի,   -ի վրա չբերվող նորմավորված բազմանդամ: Այդպիսի բզմանդամներ են հանդիսանում.

 
 
 

  -ի համար որոնվող դաշտը   -ն է (եթե  -ի փոխարեն վերձնենք այլ բազմություն, ապա կստացվի նոր դաշտ, հնին իզոմորֆ)։ Ստորև բերված աղյուսակում   սիմվոլը նշանակում է   բազմության համաժեքության դաս՝   ֆակտոր իղակում,   հավասարմանը բավարարող:

  գումարման աղյուսակը սահմանվում է   հարաբերությունից ելնելով:

+ 0 1 2            
0 0 1 2            
1 1 2 0            
2 2 0 1            
              0 1 2
              1 2 0
              2 0 1
        0 1 2      
        1 2 0      
        2 0 1      

  -ում բազմապատկման աղյուսակը սահմանվում է   հարաբերությունից:

× 0 1 2            
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2            
2 0 2 1            
  0     2     1    
  0         1   2  
  0       1       2
  0     1     2    
  0       2       1
  0         2   1  

16 տարրերից կազմված դաշտի մուլտիպլիկատիվ խումբԽմբագրել

Երբ   դաշտը կազմվում է   չբերվող բազմանդամի օգնությամբ, ընդլայման տարրերը տրվում են բազմանդամի գործակցների հավաքածուներով, որը ստացվում է   բազմանդամի վրա բաժանման մնացորդում՝ գրված աստիճանների աճման կարգով: Մուլտիպլիկատիվ խումբը ծնվում է   տարրով, որը գրի առնվում որպես (0, 1, 0, 0)[18]

Բազմանդամ   աստիճան  
1   (1, 0, 0, 0)
    (0, 1, 0, 0)
    (0, 0, 1, 0)
    (0, 0, 0, 1)
    (1, 1, 0, 0)
    (0, 1, 1, 0)
    (0, 0, 1, 1)
    (1, 1, 0, 1)
    (1, 0, 1, 0)
    (0, 1, 0, 1)
    (1, 1, 1, 0)
    (0, 1, 1, 1)
    (1, 1, 1, 1)
    (1, 0, 1, 1)
    (1, 0, 0, 1)
    (1, 0, 0, 0)

Ուսումնասիրության պատմությունԽմբագրել

Վերջավոր դաշտերի տեսության սկիզբը սկսվում է 17-րդ և 18-րդ դարերից: Այս թեմայի շուրջ աշխատել են գիտնականներ ինչպիսիք են Պիեռ դը Ֆերման, Լեոնարդ Էյլերը, Ժոզեֆ Լուի Լագրանժը և Ադրիեն-Մարի Լեժանդրը, որոնց կարելի է համարել պարզ կարգի վերջավոր դաշտերի տեսությունների հիմնադիրներ: Այնուամենայնիվ, վերջավոր դաշտերի ընդհանուր տեսությունը մեծ հետաքրքրություն է ներկայացնում, սկսած Կառլ Գաուսի և Էվարիստ Գալուայի աշխատանքներից[19]: Որոշ ժամանակ այս տեսությունը կիրառություն գտավ միայն հանրահաշվի և թվերի տեսության մեջ, սակայն հետագայում շփման նոր եզրեր են ի հայտ եկել հանրահաշվական երկրաչափության, կոմբինատորիկայի և կոդավորման տեսության հետ[3]:

Գալուայի ներդրումըԽմբագրել

 
Էվարիստ Գալուա

1830 թվականին տասնութամյա Էվարիստ Գալուան աշխատանք հրատարակեց[20], որը հիմք դրեց վերջավոր դաշտերի ընդհանուր տեսությանը: Այդ աշխատանքում Գալուան (կապված փոփոխականների և հանրահաշվական հավասարումների տեսության հետազոտության հետ[21]) ներ է մուծում համեմատության երևակայական   արմատը, որտեղ  p մոդուլով չբերվող,   աստիճանի կամայական բազմանդամ է: Դրանից հետո դիտարկվում է   ընդհանուր արտահայտությունը, որտեղ  ՝ p մոդուլով որոշ ամբողջական թվեր: Եթե այդ թվերին տանք բոլոր հնարավոր արժեքները, ապա   արտահայտությունը կընդունի   արժեքը: Այնուհետև Գալուան ցույց է տալիս, որ այդ արժեքները դաշտ են ձևավորում և այդ դաշտի մուլտիպլիկատիվ խումբը համարվում է ցիկլիկ: Այսպիսով, այս աշխատանքը համարվում է վերջավոր դաշտերի ընդհանուր տեսության հիմքը: Ի տարբերություն նախորդների՝ միայն   դաշտը դիտարկող, Գալուան հետազոտում է արդեն   դաշտերը, որոնք իր պատվին սկսեցին անվանել Գալուայի դաշտ[22]:

Իրականում, այս ուղղությամբ առաջին աշխատանքը գրել է Գաուսը մոտավորապես 1797 թվականին, սակայն նրա կյանքի ընթացքում այս ուսումնասիրությունը երբեք չի հրատարակվել: Այս ուսումնասիրությունը հավանաբար անտեսվել է նրա գրությունների խմբագրի կողմից և այդ իսկ պատճառով այս աշխատանքը լույս է տեսել միայն նրա մահից հետո՝ 1893 թվականին[23]:

Հետագա զարգացումԽմբագրել

1893 թվականին մաթեմաթիկոս Էլիակիմ Գաստինգս Մուրը ապացուցեց վերջավոր դաշտերի դասակարգման թեորեմ, որը հաստատում էր, որ յուրաքանչյուր վերջավոր դաշտ հանդիսանում է Գալուայի դաշտ, այսինքն՝   անդամներով յուրաքանչյուր դաշտ իզոմորֆ է   -ից գործակիցներով բազմանդամների և   աստիճանի չբերվող բազմանդամի հանման մոդուլի դասի դաշտին[24]: Այդ տարի էլ կատարվում է վերջավոր դաշտերին աքսոմատիկ մոտեցում ցուցաբերելու առաջին փորձը, որը իրականացրել է Հենրիխ Մարտինը, ով իր աշխատանքում փորձել է համատեղել մաթեմատիկայի տարբեր ճյուղերում առաջացած հասկացությունները, այդ թվում նաև վերջավոր դաշտերի հասկացությունը[25]: Այնուհետև, 1905 թվականին, Ժոզեֆ Վեդդերբյորնը ապացուցում է Վեդդերբյորնի թեորեմն այն մասին, որ յուրաքանչյուր վերջավոր մարմին կոմուտատիվ է, այսինքն՝ դաշտ է համարվում: Աքսիոմատիկ դաշտի ժամանակակից սահմանումը (վերջավոր դաշտերով որպես մասնավոր դեպք) պատկանում է Էրնեստ Շտայնիցին և շարադրվել է նրա 1910 թվականի աշխատությունում[26]:

ԿիրառումԽմբագրել

Դիոֆանտյան հավասարումԽմբագրել

Դիոֆանտովի հավասարումը հանդիսանում է ամբողջ գործակիցներով հավասարում, որտեղ փոփոխականները նաև ընդունում են ամբողջ թվի արժեքներ։ Նման հավասարումների քննարկման մեծ ալիք է առաջացրել Ֆերման՝ ձևավորելով իր թեորեմները։ Ֆերմայի թեորեմը պնդում է, որ եթե   պարզ թիվ է, որը չի հանդիսանում մեկ այլ   բաժանարար, ապա  ։ Վերջավոր դաշտերի տեսության մեջ այս տեսությունը հանդիսանում է Լագրանժի թեորեմի ակնհայտ հետևանք, որը կիրառվում է   տարրով ծնված մուլտիպլիկատիվ ենթախմբի նկատմամբ, քանի որ   դաշտի ամբողջ մուլտիպլիկատիվ խումբը բաղկացած է   տարրերից[5]։

Ֆերման նկատել է, որ միակ պարզ թվերը, որոնք կարող են ներկայացնել երկու քառակուսիների գումարով, դրանք այն պարզ թվերն են, որոնք տալիս են 1 մնացորդ 4-ի վրա բաժանելիս: Մասնավորապես, նա նշում է, որ

 

1640 թվականի դեկտեմբերի 25-ին թվագրված իր նամակում Մարենա Մերսեննուին Ֆերման առաջարկում է լուծել   հավասարումը[27]։

Հուլիոս Դեդեկինդը ուսումնասիրել է այս հավասարումը   վերջավոր դաշտում, որտեղ այն ընդունում է այս տեսքը  ։ Եթե  , ապա հավասարումը տրիվյալ է: Հակառակ դեպքում, երկու մասերը կարելի է բաժանել   -ի և փոփոխելով ստանալ   տեսքի հավասարում։ Բազմապատկելով   -ով ստացվում է   հավասարումը։  -ը համարելով 4 կարգի մուլտիպլիկատիվ ենթախմբի գեներատոր, p-ի վրա կարելի է ստանալ անհրաժեշտ և բավարար պայմաններ, որոնց դեպքում հավասարումը ունի լուծում։ Ֆերմա — Էյլեր թեորեմի հետագա ապացույցը, որը տարել է Դեդեկինդը, չի օգտագործում վերջավոր դաշտերի հասկացություններ և այն կարելի է գտնել համապատասխան հոդվածում[28]։

Ուղղիչ կոդերի տեսությունԽմբագրել

Ուղղիչ կոդերի տեսության ստեղծման տարի է համարվում 1948 թվականը, երբ հրապարակվել Է Կլոդ Շենոնի հոդվածը, որում նա ցույց է տալիս, որ որևէ ալիքով ինֆորմացիայի փոխանցման ժամանակ սխալների առկայությունը այդ թվում կախված է ալիքի փոխանցման արագության և անցանելիության կարողության հարաբերակցությունից: Փոխանցման արագությունը պետք է լինի ավելի անցանելիության կարողությունից բարձր։ Շենոնը ապացույցներ է ներկայացրել, սակայն դրանք ճանաչվել են ոչ անկախ[29]։

Ռիչարդ Հեմինգն առաջարկել է կառուցողական մոտեցում, դրանով իսկ տվյալ թեմատիկային վերաբերվող հոդվածներին զարգացման վեկտոր հաղորդելով։ Իր աշխատանքում Հեմինգը ստեղծել է պարզ կոդ, որը որոշակի ձևով ուղղում է սխալները: Հեմինգն ուղղիչ կոդերը դիտարկում է միայն   դաշտի վրա[30]։ Շուտով նմանատիպ կոդեր ստեղծվեցին կամայական վերջնական դաշտերի վրա 1949 թվականին Գոլեյում [31]։ Սակայն այդ տեսության մեջ ամենամեծ ներդրումը այնուամենայնիվ Հեմինգին է պատկանում[30]։

ԾածկագրությունԽմբագրել

Վերջնավոր դաշտերը լայն կիրառություն են ստացել ծածկագիտության մեջ։ Հիմնարար աշխատանք է համարվում ծածկագրության մասին բաց բանալիով Դիֆֆի և Հելմանի հոդվածը, որի մեջ ներկայացված է բանալիների փոխանակման արձանագրություն[4]։ Այս աշխատանքում օգտագործվել են որոշակի տեսքի վերջավոր դաշտեր։ Ավելի ուշ ի հայտ եկան վերջավոր դաշտերի վրա հիմնված բազմաթիվ կրիպտոգրաֆական արձանագրություններ և կրիպտոգրաֆական համակարգեր: Դրանց թվին են պատկանում Էլ-Գամալի սխեման, Advanced Encryption Standard[32], Շնորրի սխեման, Չաումայի (կույր ստորագրություն) ալգորիթմը, XTR կրիպտոգրաֆական համակարգը և շատ ուրիշներ։ Ժամանակակից կրիպտոգրաֆիայի մեջ հիմնական օբյեկ հանդիսացող Էլիպտական կորերի վրա հիմնված ալգորիթմները նույնպես օգտագործում են վերջավոր դաշտեր[33]։

Բացի այդ, հաճախ կոդավորման որակը կախված է մեծ պարզ թվերի արագ գեներացնելու կարողությունից։ Համապատասխանաբար, խնդիր է ծագում թվի՝ պարզ արտադրիչների վերլուծման ալգորիթմի կառուցման (այս կամ այն թվի պարզության որոշում)։ Միխայել Ռաբինը հրապարակել է ուսումնասիրություն, որում նա առաջարկում է պարզության թեստ՝ հիմնված դաշտի մուլտիպլիկատիվ խմբի հատկությունների վրա[33]։

ԱյլԽմբագրել

 
Տիեզերական զոնդ «Վոյաջեր»

1960 թվականին Ռեյ Բոուզը և Ռոյ-Չոուդխուռին հրապարակեցին աշխատանք, որում հետազոտել են բազմանդամների ընտանիքը վերջավոր դաշտում։ Ալեքսիս Հոկվինգն ընդհանրացրեց նրանց տեսությունը, ինչը հանգեցրեց ԲՉՀ կոդի ստեղծմանը, որի մասնավոր դեպքը Ռիդ - Սոլոմոնի հայտնի կոդն է, որը ունի շատ լայն կիրառություն։ Այն օգտագործվում է ձայնագրման և ընթերցման ժամանակ՝ օպերատիվ հիշողության կարգավորիչներում, տվյալների արխիվացման, ինֆորմացիայի կոշտ սկավառակների (ECC) և CD/DVD վրա ձայնագրման համար։ Հատկանշական է, որ տեղեկատվության զգալի ծավալի վնասման կամ սկավառակային կրիչի մի քանի հատվածների վնասման դեպքում Ռիդա - Սոլոմոնի կոդը թույլ է տալիս վերականգնել կորցրած տեղեկատվության մեծ մասը։ ԲՉՀ կոդը օգտագործվում է ՆԱՍԱ -ի որոշ զոնդերի (ինչպիսին է Վոյաջերը[34]) կապի համակարգում։

ԾանոթագրություններԽմբագրել

  1. 1,0 1,1 Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 68
  2. 2,0 2,1 2,2 Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 66
  3. 3,0 3,1 3,2 3,3 Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 5
  4. 4,0 4,1 Diffie, Hellman, 1976
  5. 5,0 5,1 5,2 Ю.И.Журавлев, Ю.А.Флеров, М.Н.Вялый. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. — М.: МЗ Пресс, 2007. — С. 151. — 224 с.
  6. Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 69-70
  7. Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 71
  8. Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 119
  9. Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 121
  10. Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 65
  11. Егоров А. А. Сравнения по модулю и арифметика остатков // Квант. — 1970. — № 5. — С. 28—33.
  12. Винберг, 2011, էջ 32
  13. Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 67-68
  14. Винберг, 2011, էջ 409
  15. Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 51, 66
  16. Габидулин Э. М., Кшевецкий А. С., Колыбельников А. И., Владимиров С. М. Защита информации. Учебное пособие. Версия от 22 ноября 2015 года. — С. 249.
  17. Mullen, Gary L.; Panario, Daniel Handbook of Finite Fields. — CRC Press, 2013. — ISBN 978-1-4398-7378-6
  18. Ю.И.Журавлев, Ю.А.Флеров, М.Н.Вялый. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. — М.: МЗ Пресс, 2007. — С. 152. — 224 с.
  19. Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 10
  20. Evariste Galois (1830), Sur la théorie des nombres. Bulletin des sciences mathématiques de M. Férussac 13, pp 428—435 (1830)
  21. Бурбаки Н. Очерки по истории математики / пер. с фр. И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. — М.: ИЛ, 1963. — С. 102.
  22. Israel Kleiner. A History of Abstract Algebra. — Birkhäuser, 2007. — С. 70. — 168 с. — ISBN 978-0-8176-4684-4
  23. G. Frei. The Unpublished Section Eight: On the Way to Function Fields over a Finite Field. — Goldstein Schappacher Schwermer, 2007. — С. 159-198.
  24. Moore, Eliakim Hastings. A doubly-infinite system of simple groups // Chicago Congr. Papers. — 1896. — P. 208-242. Архивировано из первоисточника 19 Նոյեմբերի 2015.
  25. H. Weber, " Die allgemeinen Grundlagen der Galois’schen Gleichungstheorie ", Mathematische Annalen, vol. 43, 1893, p. 521—549
  26. Ernst Steinitz, " Algebraische Theorie der Körper ", Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 137, 1910, p. 167—309 (ISSN 0075-4102)
  27. Ю.И.Журавлев, Ю.А.Флеров, М.Н.Вялый. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. — М.: МЗ Пресс, 2007. — С. 38. — 224 с.
  28. R. Dedekind, Supplément XI des Leçons en théorie des nombres de Dirichlet, 1894
  29. Шеннон, К. Математическая теория связи // Работы по теории информации и кибернетике. — М.: Издательство иностранной литературы, 1963. — С. 243—332.
  30. 30,0 30,1 Хэмминг, К. Коды с обнаружением и исправлением ошибок. — М.: Издательство иностранной литературы, 1956. — С. 7-23.
  31. Golay M. J. E. Notes on digital coding // Proceedings IRE. 1949. V. 37, P.657.
  32. О.С Зензин, М.А. Иванов Стандарт криптографической защиты - AES. Конечные поля.. — КУДИЦ-Образ, 2002. — С. 41 - 78. — 176 с. — ISBN 5-93378-046-4
  33. 33,0 33,1 Анатолий Болотов, Сергей Гашков, Александр Фролов, Анатолий Часовских Элементарное введение в эллиптическую криптографию. Алгебраические и алгоритмические основы. — КомКнига, 2006. — С. 390 — 398. — 527 с. — ISBN 5-484-00443-8
  34. Bose R. C., Ray-Chaudhuri D. K. On a class of error-correcting binary group codes // Inform. Control. — vol. 3. — mars 1960. — p. 68—79.

ԳրականությունԽմբագրել