Ֆունկցիայի էքստրեմում

Ֆունկցիայի էքստրեմում, մաթեմատիկայում տրված բազմության ֆունկցիայի ամենամեծ կամ ամենափոքր կետն է։ Կետը, որին էքստրեմումը հասնում է, կոչվում է էքստրեմումի կետ։ Ըստ այդմ, եթե հասնում է ամենափոքր կետին, էքստրեմումի կետը կոչվում է մինիմումի կետ, իսկ եթե ամենամեծին՝ մաքսիմումի կետ։ Մաթեմատիկական վերլուծության մեջ առանձնանում է «տեղական էքստրեմում» հասկացությունը։

Սահմանումներ

Եթե $f:M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,$ и $x_{0}\in M^{0}$, ապա $f.$-ի որոշման տիրույթի ներքին կետը կոչվում է ֆունկցիայի տեղական մաքսիմում։ Եթե ${\dot {U}}(x_{0})$, ապա $\forall x\in {\dot {U}}(x_{0})\quad f(x)\geq f(x_{0}).$։

• ։ $x_{0}$ է կոչվում $f,$ ֆունկցիայի տեղական մինիմումը, եթե գոյություն ունի ${\dot {U}}(x_{0})$ հարթություն, որի համար
• ։ $\forall x\in {\dot {U}}(x_{0})\quad f(x)\geq f(x_{0}).$։ Եթե տարբերությունը չափազանց մեծ է, ապա $x_{0}$-ն կոչվում է խիստ սահմանափակ տարածության համապատասխանաբար մինիմում կամ մաքսիմում կետը։
• $x_{0}$ է կոչվում հիմնական մաքսիմում կետ, եթե
• ։ $\forall x\in M\quad f(x)\leq f(x_{0});$
• $x_{0}$ է կոչվում հիմնական մինիմում կոտ, եթե
• ։ $\forall x\in M\quad f(x)\geq f(x_{0}).$

$f(x_{0})$ ֆունկցիայի նշանակությունը անվանում են հիմնական մաքսիմում կամ մինիմում՝ կախված իրավիճակից։ Մինիմում կամ մաքսիմում համարվող կետերը կոչվում են հիմնական էքստրեմումի կետեր։

Նշում

$M,$ տարածությունում բաժանված $f,$ ֆունկցիան կարող է ունենալ և մեկից ավել հիմնական և բացարձակ էքստրեմումներ։ Օրինակ՝ $f(x)=x,\;x\in (-1,1).$

Հիմնական էքստրեմումների գոյության անհրաժեշտ պայմաններ

• Ֆերմայի թեորեմից հետևում է՝

Օրինակ, եթե $x_{0}$-ը $~f$ ֆունկցիայի էքստրեմումի կետն է $x_{0}$ տարածքում, ապա

կա՛մ $~f'(x_{0})$ գոյություն չունի, կա՛մ $~f'(x_{0})=0$.

Բավարար պայմաններ հիմնական էքստրեմումների գոյության համար

• Օրինակ, եթե $f\in C(x_{0})$-ն շարունակական է $x_{0}\in M^{0},$ տիրույթում և եթե գոյություն ունեն վերջավոր կամ անվերջ միակողմանի ածանցյալներ՝ $~f'_{+}(x_{0}),f'_{-}(x_{0})$, ապա

$f'_{+}(x_{0})<0,\;f'_{-}(x_{0})>0$

պայմանում $x_{0}$-ն հանդիսանում է խիստ սահմանափակ մաքսիմումի կետ։ Իսկ եթե

$f'_{+}(x_{0})>0,\;f'_{-}(x_{0})<0,$

ապա $x_{0}$ հանդիսանում է խիստ սահմանափակ մինիմումի կետ։

Նկատենք, որ այս ֆունկցիայի դեպքում ոչ դիֆերենցելի $x_{0}$ կետը

• ։ $~f'(x_{0})=0$ и $~f''(x_{0})<0$

պայմանում $x_{0}$-ը հանդիսանում է հիմնական մաքսիմումի կետը, իսկ

$~f'(x_{0})=0$ и $~f''(x_{0})>0$

պայմանում $x_{0}$-ը հանդիսանում է հիմնական մինիմումի կետը։

• ։ $f$ ֆունկցիան $x_{0}$ կետում դիֆերենցելի է $n$ անգամ և $f'(x_{0})=f''(x_{0})=\dots =f^{(n-1)}(x_{0})=0$, իսկ $f^{(n)}(x_{0})\neq 0$։

Եթե $n$-ն հաշվելի է և $f^{(n)}(x_{0})<0$, ապա $x_{0}$ հիմնական մաքսիմումի կետն է։ Եթե $n$-ն հաշվելի է և $f^{(n)}(x_{0})>0$, ապա $x_{0}$-ն հիմնական մինիմումի կետն է։ Եթե $n$-ն անհաշիվ է, ապա էքստրեմում գոյություն չունի։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 7, էջ 559)։