Քառակուսացման բանաձևերի ցանկ
Քառակուսացման բանաձևերի ցանկ- տարբեր քառակուսացման բանաձևերի ցանկը՝ թվային ինտեգրման համար։
Նշանակումը խմբագրել
Թվային ինտեգրման բանաձևը ընդհանուր տեսքը հետևյալն է․
- ,
- -ինտեգրվող ֆունկցիան
- -ինտեգրվող մեծությունը
- - վարպետ-տարր կոորդինատային համակարգը․
- Յակոբիի մատրիցա՝ վարպետ-տարրի անցնելու համար։
Ինտեգրալի ադիտիվության հիման վրա, որպես ինտեգրման տիրույթ քննարկվում են պարզ տիրույթներ (եռանկյուն, քառանկյուն, հնգանկյուն)։ Բարդ երկրաչափության դեպքում՝ տիրույթը ներկայացվում է որպես պարզ տիրույթների միություն և հաշվվում են ինտեգրալները ըստ այդ տիրույթների։
Բնական կոորդինատները ներկայացվում են փոփոխականներով, իսկ վարպետ-տարրի նշանակման համար՝ ։
Միաչափ ինտեգրալ խմբագրել
Միաչափ ինտեգրումը, դա հատվածով ինտեգրումն է։
- Ինտեգրման տիրույթը հատվածն է․
- Կառուցման տարրը հատվածն է
- Անցում վարպետ-տարրին՝ ;
- Անցում վարպետ-տարրից՝ ;
- Յակոբիի ինտեգրալ՝ .
Համար | Կետերի քանակ | Ինտեգրման կարգը | Լրացուցիչ | ||
---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | Ուղղանկյունների մեթոդ | ||
2 | 2 | 1 | Սեղանների մեթոդ | ||
3 | 2 | 3 | Գաուսի մեթոդ-2 | ||
4 | 3 | 3 | Սիմպսոնի մեթոդ | ||
5 | 3 | 5 | Գաուսի մեթոդ-3 | ||
6 | 4 | 7 | Գաուսի մեթոդ-4 | ||
7 | 5 | 9 | Գաուսի մեթոդ-5 | ||
Երկչափ ինտեգրալ խմբագրել
Քառակուսի կառուցման տարր խմբագրել
- Ինտեգրման տիրույթը՝ ուղղանկյուն
- Վարպետ-տարրը՝ քառակուսի
- Վարպետ-տարրի անցումը․
- ;
- Վարպետ-տարրից անցումը․
- ;
- Յակոբիան․ .
Քառակուսով ինտեգրելու բանաձևերից շատերը կարելի է ստանալ, հատվածներով ինտեգրելու բանաձևերի կոմբինացիաներով։ Այդ մեթոդների օրինակներ են հանդիսանում ուղղնկյան, սեղանի և գաուսի -2 մեթոդները։
Համար | Կետերի քանակը | Ինտեգրման կարգը | Լրացուցիչ | |||
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | Ուղղանկյունների մեթոդ (միջինի մեթոդ) | |||
2 | 4 | 1 | Սեղանի մեթոդ | |||
3 | 4 | 3 | Գաուսի մեթոդ 2 | |||
4 | 12 | 7 |
Հանգույցների քանակը նվազագույնն է[1]։ | |||
Եռանկյուն կառուցման տարր խմբագրել
- Ինտեգրման տիրույթը եռանկյուն է կառուցված գագաթներով ․
- Վարպետ-տարրը եռանկյուն է կառուցված գագաթներով .
Վարպետ-տարրին անցնելու համար օգտագործվում է բարոցենտրական կոորդինատները (L-կոորդինատներ), նշանակենք դրանք՝ .
L-կոորդինատների գործակիցները հաշվելու համար օգտագործվում է մատրիցը՝
Գործակիցների -ին հետ անցման մատրիցը է։
- Վարպետ-տարրին անցումը՝
- Վարպետ-տարրրից անցումը՝
- Յակոբիան՝ .
Համար | Կետերի քանակ | Ինտեգրման կարգը | Լրացուցիչ | |||
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | Միջինի մեթոդ | |||
2 | 3 | 1 | - | |||
2 | 3 | 2 | Գաուսի մեթոդ-3 | |||
4 | 4 | 3 | Գաուսի մեթոդ 4 | |||
5 | 7 | 3 | Նյուտոն-կոտեսի մեթոդ(անգլ.՝ Newton-Cotes) | |||
Եռաչափ ինտեգրալ խմբագրել
Խորանարդային կառուցման տարր խմբագրել
- Ինտեգրման տիրույթը զուգահեռանիստն է․
- Վարպետ-տարրը խորանարդն է․
- Անցում վարպետ-տարրին՝
- Անցում վարպետ-տարրից՝
- ;
- ;
- Յակոբիան՝ .
Համար | Կետերի քանակ | Ինտեգրման կարգ | Լրացուցիչ | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | Ուղղանկյունների մեթոդ (միջինի մեթոդ) | ||||
2 | 8 | 3 | Գաուսի մեթոդ-2 | ||||
3 | 14 | 5 | Ապրոքսիմացիայի 5-րդ կարգի բանաձևերի դասում պարունակող հանգույցների քանակ[2]։ | ||||
Քանի որ բարձր կարգի ինտեգրալները մեծ քանակով կետեր են պարունակում ՝ դրանք կդիտարկենք առանձին։
- Կարգ 7, կետերի քանակը 34․
Կետի համար | Լրացուցիչ | ||||
---|---|---|---|---|---|
1 | ,
, , , , , | ||||
2 | |||||
3 | |||||
4 | |||||
5 | |||||
6 | |||||
7 | |||||
8 | |||||
9 | |||||
10 | |||||
11 | |||||
12 | |||||
13 | |||||
14 | |||||
15 | |||||
16 | |||||
17 | |||||
18 | |||||
19 | |||||
20 | |||||
21 | |||||
22 | |||||
23 | |||||
24 | |||||
25 | |||||
26 | |||||
27 | |||||
28 | |||||
29 | |||||
30 | |||||
31 | |||||
32 | |||||
33 | |||||
34 |
Քառանիստ վարպետ տարր խմբագրել
- Ինտեգրման տիրույթը՝ քառանիստ է գագաթներով։
- Վարպետ-տարրը՝ քառաննիստ է գագաթներով։
Եռանկայն նման այստեղ էլ վարպետ-տարրին անցնելու համար օգտվում են քառանիստի L-կոորդինատից, որոնց կնշանակենք :
Գործակիցների մատրիցան որոշվում է որպես , որտեղ
- Անցում վարպետ-տարրի՝
- Վարպետ-տարրից անցում՝
- Յակոբիան՝ .
Համար | Կետերի քանակ | Ինտեգրման կարգ | Լրացուցիչ | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | Միջինի մեթոդ | ||||
2 | 4 | 3 | Գաուսի մեթոդ-4 | ||||
3 | 11 | 4 | Գաուսի մեթոդ-11 | ||||
Ծանոթագրություններ խմբագրել
- ↑ Мысовских, 1981, էջ 285
- ↑ Мысовских, 1981, էջ 280
Գրականություն խմբագրել
- Мысовских И. П. Интерполяционные кубатурные формулы. — Москва: Наука, 1981. — С. 336.
Արտաքին հղումներ խմբագրել
- «Numerical Integration over the Triangular Domain» (անգլերեն) — Интегрирование по треугольному элементу. Արխիվացված է օրիգինալից 2014 թ․ հուլիսի 14-ին. Վերցված է 2014 թ․ հունիսի 12-ին.
- «Numerical Integration over the Tetrahedral Domain» (անգլերեն) — Интегрирование по тетраэдальному элементу. Արխիվացված է օրիգինալից 2014 թ․ հուլիսի 14-ին. Վերցված է 2014 թ․ հունիսի 12-ին.