Անհավասարությունը հայտնի է Սեդրակյանի անհավասարություն , Էնգըլի տեսք և Տիտուի լեմմա անուններով՝ համապատասխանաբար ըստ Նաիրի Սեդրակյանի 1997 թվականի «Մի անհավասարության կիրառության մասին» հոդվածի[1] Արթուր Էնգըլի 1998 թվականի «Խնդիրներ լուծելու ռազմավարություններ» և Տիտու Անդրեեսկուի 2003 թվականի «Մաթեմատիկական օլիմպիական գանձեր» գրքերի։ Անհավասարությունն ուղիղ հետևանք է Կոշի-Բունյակովսկու անհավասարության ։ Այդուհանդերձ, իր հոդվածում Սեդրակյանը նկատել է, որ անհավասարության այս գրելաձևն ունի խիստ օգտակար նոր կիրառություններ, և ցույց է տվել բազմաթիվ օրինակներ, թե ինչպես այն կարող է օգտագործվել տարատեսակ անհավասարություններ ապացուցելու համար։ «Հանրահաշվական անհավասարություններ» գրքում Սեդրակյանը տալիս է այս անհավասարության մի քանի ընդհանրացում[2]
Անհավասարության ձևակերպումը
խմբագրել
Կամայական
a
1
,
a
2
,
a
3
,
…
,
a
n
{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}}
b
1
,
b
2
,
b
3
,
…
,
b
n
{\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots ,b_{n}}
a
1
2
b
1
+
a
2
2
b
2
+
⋯
+
a
n
2
b
n
≥
(
a
1
+
a
2
+
⋯
+
a
n
)
2
b
1
+
b
2
+
⋯
+
b
n
{\displaystyle {\frac {a_{1}^{2}}{b_{1}}}+{\frac {a_{2}^{2}}{b_{2}}}+\cdots +{\frac {a_{n}^{2}}{b_{n}}}\geq {\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n})^{2}}{b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n}}}}
Ուղղակի կիրառություններ
խմբագրել
Օրինակ 1․ Նեսբիթի անհավասարություն ․
Եթե
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
a
b
+
c
+
b
a
+
c
+
c
a
+
b
≥
3
2
{\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}}
Օրինակ 2. Միջազգային մաթեմատիկական օլիմպիադա (IMO) 1995.
Եթե
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
a
b
c
=
1
{\displaystyle abc=1}
1
a
3
(
b
+
c
)
+
1
b
3
(
b
+
c
)
+
1
c
3
(
a
+
b
)
≥
3
2
{\displaystyle {\frac {1}{a^{3}(b+c)}}+{\frac {1}{b^{3}(b+c)}}+{\frac {1}{c^{3}(a+b)}}\geq {\frac {3}{2}}}
Օրինակ 3․
Եթե
a
,
b
{\displaystyle a,b}
8
(
a
4
+
b
4
)
≥
(
a
+
b
)
4
{\displaystyle 8(a^{4}+b^{4})\geq (a+b)^{4}}
Օրինակ 4․
Եթե
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
1
a
+
b
+
1
b
+
c
+
1
a
+
c
≥
9
2
(
a
+
b
+
c
)
{\displaystyle {\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{b+c}}+{\frac {1}{a+c}}\geq {\frac {9}{2(a+b+c)}}}
Օրինակ 1․
Ունենք, որ
a
b
+
c
+
b
a
+
c
+
c
a
+
b
=
a
2
a
(
b
+
c
)
+
b
2
b
(
a
+
c
)
+
c
2
c
(
a
+
b
)
≥
(
a
+
b
+
c
)
2
2
(
a
b
+
b
c
+
a
c
)
≥
3
2
{\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}={\frac {a^{2}}{a(b+c)}}+{\frac {b^{2}}{b(a+c)}}+{\frac {c^{2}}{c(a+b)}}\geq {\frac {(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ac)}}\geq {\frac {3}{2}}}
Օրինակ 2․
Ունենք, որ
(
1
a
)
2
a
(
b
+
c
)
+
(
1
b
)
2
b
(
a
+
c
)
+
(
1
c
)
2
c
(
a
+
b
)
≥
(
1
a
+
1
b
+
1
c
)
2
2
(
a
b
+
b
c
+
a
c
)
=
a
b
+
b
c
+
a
c
2
≥
3
a
2
b
2
c
2
3
2
=
3
2
{\displaystyle {\frac {{\Big (}{\frac {1}{a}}{\Big )}^{2}}{a(b+c)}}+{\frac {{\Big (}{\frac {1}{b}}{\Big )}^{2}}{b(a+c)}}+{\frac {{\Big (}{\frac {1}{c}}{\Big )}^{2}}{c(a+b)}}\geq {\frac {{\Big (}{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}{\Big )}^{2}}{2(ab+bc+ac)}}={\frac {ab+bc+ac}{2}}\geq {\frac {3{\sqrt[{3}]{a^{2}b^{2}c^{2}}}}{2}}={\frac {3}{2}}}
Օրինակ 3․
Ունենք, որ
a
4
+
b
4
=
a
4
1
+
b
4
1
≥
(
a
2
+
b
2
)
2
2
≥
(
(
a
+
b
)
2
2
)
2
2
=
(
a
+
b
)
4
8
{\displaystyle a^{4}+b^{4}={\frac {a^{4}}{1}}+{\frac {b^{4}}{1}}\geq {\frac {(a^{2}+b^{2})^{2}}{2}}\geq {\frac {{\Big (}{\frac {(a+b)^{2}}{2}}{\Big )}^{2}}{2}}={\frac {(a+b)^{4}}{8}}}
Օրինակ 4․
Ունենք, որ
1
a
+
b
+
1
b
+
c
+
1
a
+
c
≥
(
1
+
1
+
1
)
2
2
(
a
+
b
+
c
)
=
9
2
(
a
+
b
+
c
)
{\displaystyle {\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{b+c}}+{\frac {1}{a+c}}\geq {\frac {(1+1+1)^{2}}{2(a+b+c)}}={\frac {9}{2(a+b+c)}}}
Ծանոթագրություններ
խմբագրել
![{\displaystyle {\frac {{\Big (}{\frac {1}{a}}{\Big )}^{2}}{a(b+c)}}+{\frac {{\Big (}{\frac {1}{b}}{\Big )}^{2}}{b(a+c)}}+{\frac {{\Big (}{\frac {1}{c}}{\Big )}^{2}}{c(a+b)}}\geq {\frac {{\Big (}{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}{\Big )}^{2}}{2(ab+bc+ac)}}={\frac {ab+bc+ac}{2}}\geq {\frac {3{\sqrt[{3}]{a^{2}b^{2}c^{2}}}}{2}}={\frac {3}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f91c1a45eed3510f2bd876036ed2dd9cd54e4cd2)
