Պրոյեկտիվ երկրաչափություն

Պրոյեկտիվ երկրաչափություն, երկրաչափության բաժին, ուսումնասիրում է պատկերների այնպիսի հատկություններ, որոնք անփոփոխ են մնում պրոյեկտիվ ձևափոխությունների (օրինակ՝ կենտրոնական պրոյեկտման) դեպքում․ այդպիսի հատկությունները անվանում են պրոյեկտիվ։

Տերմինաբանություն

Պրոյեկտիվ հատկություն չեն, օրինակ, ուղիղների զուգահեռությունը (որովհետև, օրինակ, ուղանկյուն պրոյեկտման դեպքում հատվող ուղիղները կարող են պրոյեկտվել զուգահեռ ուղիղների), անկյունների և պատկերների հավասարությունը և այլն։

Պրոյեկտիվ հատկություն է, օրինակ, մեկ ուղիղ գծի վրա ընկած չորս կետերի կրկնակի հարաբերությունը՝ պրոյեկտիվ երկրաչափությունյան կառուցման համար հարմար է մտցնել, այսպես կոչված, «պրոյեկտիվ ուղիղ», «պրոյեկտիվ հարթություն», «պրոյեկտիվ աարածություն» հասկացությունները։ Սովորական՝ էվկլիղեսյան հարթությունից պրոյեկտիվ հարթություն ստանալու համար նախ այդ հարթության յուրաքանչյուր ուղղին և դրան զուգահեռ յուրաքանչյուր ուղղի միացնում են ձևական սիմվոլ, որին վերագրվում են սովորական կետի բոլոր հատկությունները (անվանում են «անվերջ հեռու» կամ «ոչ սեփական» կետ), ապա՝ բոլոր ուղիղների բոլոր ոչ սեփական կետերի բազմությունը (այն անվանում են «անվերջ հեռու» կամ «ոչ սեփական» ուղիղ) միացնում են էվկլիդեսյան հարթությանը, արդյունքը պրոյեկտիվ հարթությունն է։

Նույն կերպ կա ռուցվում է պրոյեկտիվ տարածությունը։ Ավելի խիստ՝ պրոյեկտիվ հարթությունը (և տարածությունը) մտցվում է որոշակի աքսիոմների համակարգի միջոցով։ Պրոյեկտիվ հարթություն (տարածություն) մուծելուց հետո արդեն, պրոյեկտիվ ձևափոխությունը սահմանվում է՝ որպես պրոյեկտիվ հարթության (տարածության) այնպիսի փոխմիարժեք արտապատկերում ինքն իր վրա, որի դեպքում ուղիղ գծի վրա ընկած կետերը փոխանցվում են ուղիղ գծի վրա ընկած կետերի (ուղիղները փոխանցվում են ուղիղների)։

Պրոյեկտիվ երկրաչափությունյան մեջ կարևոր դեր է խաղում Դեզարգի թեորեմը, եթե եռանկյունների համապատասխան կողմերը հատվում են միևնույն ուղղի վրա ընկած կետերում, ապա համապատասխան գագաթները միացնող ուղիղները հատվում են մի կետում։ Ճիշտ է նաև հակառակ պնդումը։ Պրոյեկտիվ երկրաչափությունյան կարևոր դրույթներից է և երկակիության սկզբունքը, ըսա որի՝ եթե ճիշտ է որևէ պնդում, որը ձևակերպվում է միայն կետերի և ուղիղների պատկանելիության տերմիններով («կետը ընկած է ուղղի վրա», «ուղիղն անցնում է կետով»), ապա ճիշտ է նաև «կետ» և «ուղիղ» տերմինների տեղերը փոխելուց ստացված պնդումը։ Օրինակ, Դեզարգի թեորեմի նկատմամբ կիրառելով այս սկզբունքը՝ կստանանք այդ թեորեմի հակառակ թեորեմը։ Պրոյեկտիվ հարթության մեջ մտցվում են, այսպես կոչված, համասեռ կոորդինատներ կետի համասեռ կոորդինատներ են անվանում թվերի յուրաքանչյուր այնպիսի եռյակ, իսկ անվերջ հեռու (օօ) կետի կոորդինատներն են՝ (1, 2, 0), որտեղ (1, 2)-ը (օօ) կետը որոշող զուգահեռ ուղիղների փընջին զուգահեռ որևէ վեկտորի կոորդինատներն են։

Պրոյեկտիվ հարթության յուրաքանչյուր ուղիղ որոշվում է տեսքի հավասարումով, որտեղ թվերից գոնե մեկը զրո չէ ոչ սեփական ուղղի հավասարումն։ Երկրորդ կարգի կորը որոշվում է։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 9, էջ 442)։