Պյութագորասի եռյակ

Պյութագորասի եռյակ, կարգավորված 3 բնական թվերի հավաքածու $(x,\;y,\;z),$ որը բավարարում է հետևյալ համասեռ քառակուսի հավասարմանը։

Պյութագորասի թեորեմ: a² + b² = c²

Պյութագորսի պարզագույն եռյակի վրա կառուցված անիմացիա։ 3² + 4² = 5².

$x^{2}+y^{2}=z^{2}.$

Պյութագորասի եռյակ կազմող թվերը կոչվում են Պյութագորասի թվեր։ Անվանվել են Պյութագորաս Սամոսացու պատվին՝ չնայած դրանք հայտնի էին նրանից շատ առաջ։

Քանի որ, $x^{2}+y^{2}=z^{2}$հավասարումը համասեռ է, ապա $x$, $y$ և $z$ թվերը նույն թվով բազմապատկելիս ստացվում է մի ուրիշ Պյութագորասի եռյակ։ Պյութագորասի եռյակը կոչվում է պրիմիտիվ, եթե այն չի կարող ստացվել մի այլ եռյակից նույն ձևով։ $x,\;y,\;z$փոխադարձ պարզ թվերով եռյակը պրիմիտիվ է։ Այլ բառերով՝ $(x,y,z)$պրիմիտիվ եռյակի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 1-ն է։

$(x,y,z)$պարզագույն եռյակում $x$ և $y$ թվերը տարբեր զույգություն ունեն, ընդ որում՝ զույգը բաժանվում է 4-ի, իսկ $z$-ը միշտ կենտ է։

Ցանկացած պարզագույն $(x,y,z)$Պյութագորասի եռյակ, որտեղ $x$-ը կենտ է, իսկ $y$-ը՝ զույգ, միանշանակ ունի $(m^{2}-n^{2},\;2mn,\;m^{2}+n^{2})$տեսքը։

Որոշ փոխադարձ պարզ $m>n$և տարբեր զույգության թվերի համար այդ թվերը կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևերով․

${\begin{cases}m={\sqrt {\frac {z+x}{2}}}={\frac {{\sqrt {z+y}}+{\sqrt {z-y}}}{2}}\\n={\sqrt {\frac {z-x}{2}}}={\frac {{\sqrt {z+y}}-{\sqrt {z-y}}}{2}}\end{cases}}$

Ցանկացած $(m,\;n)$-ի նման թվերը կազմում են Պյութագորասի եռյակ $(m^{2}-n^{2},\;2mn,\;m^{2}+n^{2})$.

Օրինակներ

Կա 16 պարզագույն Պյութագորասի եռյակ, որտեղ $z\leqslant 100$:

(3, 4, 5)	(5, 12, 13)	(8, 15, 17)	(7, 24, 25)
(20, 21, 29)	(12, 35, 37)	(9, 40, 41)	(28, 45, 53)
(11, 60, 61)	(16, 63, 65)	(33, 56, 65)	(48, 55, 73)
(13, 84, 85)	(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(65, 72, 97)

Ոչ բոլոր $z\leqslant 100$ եռյակներն են պարզագույն, օրինակ՝ (6, 8, 10) ստացվում է (3, 4, 5) եռյակը երկուսով բազմապատկելիս.

$100<z\leqslant 300$պարզագույն եռյակները։

(20, 99, 101)	(60, 91, 109)	(15, 112, 113)	(44, 117, 125)
(88, 105, 137)	(17, 144, 145)	(24, 143, 145)	(51, 140, 149)
(85, 132, 157)	(119, 120, 169)	(52, 165, 173)	(19, 180, 181)
(57, 176, 185)	(104, 153, 185)	(95, 168, 193)	(28, 195, 197)
(84, 187, 205)	(133, 156, 205)	(21, 220, 221)	(140, 171, 221)
(60, 221, 229)	(105, 208, 233)	(120, 209, 241)	(32, 255, 257)
(23, 264, 265)	(96, 247, 265)	(69, 260, 269)	(115, 252, 277)
(160, 231, 281)	(161, 240, 289)	(68, 285, 293)

Պյութագորասի եռյակներում $z$-ի հնարավոր արժեքները կազմում են հետևյալ շարքը։

5, 10, 13, 15, 17, 20, 25, 26, 29, 30, 34, 35, 37, 39, 40, 41, 45, 50, …

Ֆիբոնաչիի թվերի հատկությունների վրա հենվելով՝ կարելի է այդ թվերից կազմել Պյութագորասի եռյակներ․

$x=F_{n}F_{n+3};\quad y=2F_{n+1}F_{n+2};\quad z=F_{n+1}^{2}+F_{n+2}^{2}$.

Պատմություն

Plimpton 322 աղյուսակ

Զարգացած հնագույն մշակույթում ամենահայտնի եռյակն (3, 4, 5) է, որը հնարավորություն էր տալիս հին մարդուն ուղիղ անկյուններ կառուցել։ Վիտրուվիուսը համարում էր եռյակը մաթեմատիկայի բարձրագույն նվաճումը, իսկ Պլատոնը ամուսնության սիմվոլ էր համարում, ինչը խոսում է հնագույն մարդու կողմից (3, 4, 5) եռյակին մեծ նշանակություն տալու մասին։

Հին Միջագետքի տապանաքարերի ճարտարապետությունում գոյություն ունի կանոնավոր եռանկյուն՝ բաղկացած 9, 12 և 15 կանգուն երկարությամբ կողմերից։ Փարավոն Սինոֆրի բուրգերը (մ.թ.ա. 27-րդ դար) կառուցված են 20, 21 և 29 կանգուն կողմերով, ինչպես նաև 18, 24 և 30 տասնյակ եգիպտական կանգուն երկարությամբ կողմերով եռանկյունների միջոցով։

Բաբելոնյան մաթեմատիկոսները կարողացել են հաշվարկել Պյութագորասի եռյակները։ Բաբելոնյան կավե աղյուսակը, որը կոչվում է Plimpton 322, պարունակում է տասնհինգ Պյութագորասյան եռյակ (ավելի ճիշտ, տասնհինգ $a,c$ զույգ թվեր, այնպիսիք, ինչպիսին է՝ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$։ Ենթադրվում է, որ այդ աղյուսակը ստեղծվել է Ք․ա․ 1800 թվականին։

Պյութագորասի եռյակների տարրական հատկություններ

Պյութագորասի (a, b, c) պարզագույն եռյակի հատկությունները, որտեղ a < b < c չի նշվում a կամ b թվերի զույգությունը։

• ${\tfrac {(c-a)\cdot (c-b)}{2}}$ միշտ լրիվ քառակուսի է.
• Առավելագույնը միայն մեկն է a, b և c հանդիսանում թվերից քառակուսի։
• Պյութագորասի եռանկյան մակերեսը չի կարող հավասար լինել թվի քառակուսու կամ բնական թվի կրկնակի քառակուսուն։
• a-ն և b-ն միշտ զույգ են, իսկ c-ն միշտ կենտ է ։
• a-ն կամ b-ն միշտ բաժանվում է 3-ի։
• a-ն կամ b-ն միշտ բաժանվում է 4-ի։
• a, b կամ c բաժանվում է 5-ի։
• Ամենամեծ թիվը, որին բաժանվում է abc-ն, հավասար է 60-ի։
• c-ի բոլոր պարզ բաժանարարները 4n + 1 տեսքի են։ Այսպիսով՝ նա ունի 4n + 1 տեսքը։
• (K = ab/2) մակերեսը զույգ համընկնող թիվ է։
• Ցանկացած 2-ից մեծ ամբողջ թիվ մտնում է պարզագույն կամ ոչ պարզագույն եռյակի մեջ։ Օրինակ՝ 6-ը, 10-ը, 14-ը և 18-ը չեն մտնում ոչ մի պարզագույն եռյակի մեջ, բայց «6, 8, 10», «14, 48, 50» և «18, 80, 82» եռյակների անդամ են։
• Գոյություն ունի անվերջ մեծ թվով եռյակներ, որտեղ էջերը տարբերվում են մեկով։ Օրինակ՝ 20² + 21² = 29²։
• Ցանկացած բնական n թվի համար գոյություն ունի n Պյութագորասի եռյակ՝ տարբեր ներգնաձիգներով, բայց նույն մակերեսներով։
• Ցանկացած բնական n թվի համար գոյություն ունի առնվազն n տարբեր Պյութագորասի եռյակներ, նույն a էջով, որտեղ a-ն բնական թիվ է։
• Ցանկացած բնական n թվի համար գոյություն ունի առնվազն n տարբեր Պյութագորասի եռյակներ, նույն ներգնաձիգով։

Հատուկ դեպքեր

Յակոբի-Մադենի հավասարում․

Հավասարում

$a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4}$

Համարժեք է հատուկ դիոֆոնտի եռյակին․

$(a^{2}+ab+b^{2})^{2}+(c^{2}+cd+d^{2})^{2}=((a+b)^{2}+(a+b)(c+d)+(c+d)^{2})^{2}$

Այս հավասարման համար գոյություն ունեն անսահման քանակի լուծումներ, որոնք կարելի է գտնել էլիպսաձև կորի միջոցով։

Դրանցից են՝

$a,b,c,d=-2634,955,1770,5400$

$a,b,c,d=-31764,7590,27385,48150$

Երկու քառակուսիների հավասար գումարներ

$a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}$ հավասարումը լուծելու համար a, b, c, d պետք է պարամետրել m, n, p, q թվերով հետևյալ կերպ՝

$(m^{2}+n^{2})(p^{2}+q^{2})=(mp-nq)^{2}+(np+mq)^{2}=(mp+nq)^{2}+(np-mq)^{2}.$

Երկու քառորդ աստիճանների գումարների հավասարություն

Եթե տրված են երկու խումբ պյութագորասյան եռյակներ,

$(a^{2}-b^{2})^{2}+(2ab)^{2}=(a^{2}+b^{2})^{2}$

$(c^{2}-d^{2})^{2}+(2cd)^{2}=(c^{2}+d^{2})^{2}$

խնդիրը, էջի և ներգնաձիքի հավասար արտադրյալների գտնելն է։

$(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})=(c^{2}-d^{2})(c^{2}+d^{2})$,

Հեշտ է նկատել, որ այն համարժեք է

$a^{4}-b^{4}=c^{4}-d^{4}$:

Սրա ահամար Էյլերը գտել է $a,b,c,d=133,59,158,134$լուծումը։

Դեկարտի թեորեմը շրջանագծերի մասին

Դեկարտի թեորեմի դեպքում, երբ բոլոր փոփոխականները քառակուսիներ են՝

$2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}$

Էյլերն ապացուցեց, որ դա համարժեք է երեք պյութագորասյան եռյակների․

$(2ab)^{2}+(2cd)^{2}=(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}$

$(2ac)^{2}+(2bd)^{2}=(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2}$

$(2ad)^{2}+(2bc)^{2}=(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})^{2}$

Գոյություն ունեն անվերջ թվով լուծումներ, իսկ հատուկ $a+b=c$ դեպքում, հավասարումը պարզեցվում է մինչև

$4(a^{2}+ab+b^{2})=d^{2}$,

որը ունի հետևյալ լուծումները $a,b,c,d=3,5,8,14$։

Գրականություն

• R. D. Carmichael The Theory of Numbers and Diophantine Analysis. — Dover Publ, 1959. — С. Diophantine analysis.
• Waclaw Sierpinski Pythagorean Triangles. — Dover, 2003. — ISBN 978-0-486-43278-6
• John Stillwell Numbers and Geometry. — Springer, 1998. — С. 133. — (Undergraduate Texts in Mathematics). — ISBN 9780387982892
• Thomas Koshy Elementary Number Theory with Applications. — Academic Press, 2002. — С. 545. — ISBN 9780124211711
• David Houston Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking / Roger B. Nelsen. — Mathematical Association of America, 1993. — С. 141. — ISBN 978-0-88385-700-7
• Alfred S. Posamentier The Pythagorean Theorem: The Story of Its Power and Beauty. — Prometheus Books, 2010. — ISBN 9781616141813
• Des MacHale, Christian van den Bosch Generalising a result about Pythagorean triples // Mathematical Gazette. — 2012. — Т. 96.
• Judith D. Sally Roots to Research: A Vertical Development of Mathematical Problems. — American Mathematical Society, 2007. — ISBN 9780821872673.
• Neal Koblitz Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. — Springer, 1993. — Т. 97. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 9780387979663
• Arthur Baragar A Survey of Classical and Modern Geometries: With Computer Activities. — Prentice Hall, 2001. — ISBN 9780130143181
• Paul Yiu Heron triangles which cannot be decomposed into two integer right triangles. — 41st Meeting of Florida Section of Mathematical Association of America, 2008.
• Clifford A. Pickover The Math Book. — Sterling, 2009. — С. Глава «Pythagorean Theorem and Triangles». — ISBN 1402757964
• John Stillwell Elements of Number Theory. — Springer, 2002. — ISBN 978-0-387-95587-2
• Pythagorean Triples and the Unit Circle, chap. 2-3, in «A Friendly Introduction to Number Theory» by Joseph H. Silverman, 3rd ed., 2006, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, ISBN 0-13-186137-9
• Дмитрий Викторович Аносов Взгляд на математику и нечто из нее. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2003. — Т. 3. — 32 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — 3000+1500 экз. — ISBN 5-94057-111-5

Արտաքին հղումներ

• Paul Yiu Recreational Mathematics // Course Notes, Dept. of Mathematical Sciences, Florida Atlantic University. — 2003.
• Frank R. Bernhart, H. Lee Price Heron's formula, Descartes circles, and Pythagorean triangles. — 2005. arXiv
• Steven Rosenberg, Michael Spillane, Daniel B. Wulf Heron triangles and moduli spaces // Mathematics Teacher. — May 2008. — Т. 101.
• Gauss C. F. Theoria residuorum biquadraticorum // Comm. Soc. Reg. Sci. Gött. Rec.. — 1832. — Т. 4.
• Albert Fässler Multiple Pythagorean number triples // American Mathematical Monthly. — 1991. — В. 6. — Т. 98.
• Manuel Benito, Juan L. Varona Pythagorean triangles with legs less than n. — 2002. — Т. 143. —
• Roger C. Alperin The modular tree of Pythagoras // American Mathematical Monthly. — Mathematical Association of America, 2005. — В. 9. — Т. 112. — С. 807–816.
• B. Berggren Pytagoreiska trianglar (Swedish) // Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi. — 1934. — Т. 17. — С. 129–139.
• Ernest Eckert Primitive Pythagorean triples // The College Mathematics Journal. — Mathematical Association of America, 1992. — В. 5. — Т. 23. — С. 413–7.
• Ernest J. Eckert, Preben Dahl Vesrergaard Groups of integral triangles // The Fibonacci Quarterly. — 1989. — В. 5. — Т. 27. — С. 458—464.
• Ernest J. Eckert The Group of Primitive Pythagorean Triangles // Mathematics Magazine. — 1984. — Т. 57.
• Noam Elkies Pythagorean triples and Hilbert's theorem 90.
• Artemas Martin Rational right angled triangles nearly isosceles // The Analyst. — Annals of Mathematics, 1875. — В. 2. — Т. 3. — С. 47–50. —
• Andrzej Trautman Geometric universe / S.A. Hugget, L.J. Mason, K.P. Tod, S.T. Tsou, N.M.J. Woodhouse. — 1998.
• Weisstein, Eric W., "Pythagorean Triple", MathWorld.